高三数学二轮专题复习课件：点、直线与平面的位置关系

符号语言
a⊂α，b⊂α，a∩b ＝P，a∥β，b∥β ⇒α∥β
定理名称 文字语言
如果两个平行
面面平行 平面同时和第
的性质定 三 个 平 面 相
理
交，那么它们
的交线平行
图形语言
符号语言
α∥β 且 γ∩α ＝a 且 γ∩β ＝b⇒a∥b
定理名称 文字语言
一条直线和一
个平面内的两 线面垂直
条相交直线都 的判定定
垂直，则该直 理
线与此平面垂
直
图形语言
符号语言
a⊂α，b⊂α，a∩b ＝A，l⊥a，l⊥b ⇒l⊥α
定理名称 文字语言
线面垂直 垂直于同一平
的性质定 面的两条直线
理
平行
一个平面过另 面面垂直
一个平面的垂 的判定定
线，则这两个 理
平面垂直
图形语言
符号语言 a⊥α，b⊥α
⇒a∥b
a⊥α，a⊂β， ⇒α⊥β
[解析] 以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图，依题意 得 A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)证明：易得B→1C1＝(1,0，－1)，C→E＝(－1,1，－1)，于 是B→1C1·C→E＝0，所以 B1C1⊥CE.
又 F 为 A1D 的中点，∴AF⊥A1D， 又 AF⊥A1B1，∴AF⊥平面 A1B1D. ∴AF⊥B1D，又 AF、AC 为平面 ACF 内的相交直线． ∴B1D⊥平面 ACF.即 B1H⊥平面 ACF.
(文)(2013·北京东城区模拟)如图，已知 AD⊥平面 ABC， CE⊥平面 ABC，F 为 BC 的中点，若 AB＝AC＝AD＝12CE.
定理名称 文字语言
两个平面垂
面面垂直 直，则一个平
的性质定 面内垂直于交
理
线的直线与另
一个平面垂直
图形语言
符号语言
α⊥β，b∈β，α∩β ＝a，b⊥a⇒b⊥α
3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明 确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算 公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判 定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直 关系的相互转化是解答相关几何题的基础．
有一个平面
在同一平面 α 内且
α 是唯一的．
如果两个不重合 平面 α 与 β 不重
的平面有一个公 合，若 P∈α，且 P
共点，那么它们有 ∈β，则 α∩β＝a，
且只有一条过该 且 P∈a
点的公共直线.
(2)平行公理、等角定理 公理 4：若 a∥c，b∥c，则 a∥b. 等角定理：若 OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1 或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.
C．①②③Biblioteka D．①③④[答案] D
[解析] 由 α∥β，l⊥α 得 l⊥β，又 m⊂β，∴l⊥m，①正 确；由 α⊥β，l⊥α 得 l⊂β 或 l∥β，故不能得到 l∥m，②错误； 由 l⊥α，l∥m 得 m⊥α，又 m⊂β，∴α⊥β，③正确；由 l⊥m， l⊥α 得 m⊂α 或 m∥α，故 m，α 不相交，④正确．故选 D.
(2)要证两平面垂直，只要在一个平面内能够找到一条直线 与另一个平面平行，考虑到侧面 ACC1A1 与底面垂直，F1 为 A1C1 的中点，则不难想到 B1F1⊥平面 ACC1A1，而平面 AB1F1 经过 B1F1，因此可知结论成立．
[解析] (1)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点， ∴B1B A1A FF1， ∴B1BFF1 为平行四边形．∴B1F1∥BF， 又 AF CF1，∴AF1C1F 为平行四边形， ∴AF1∥C1F， 又∵B1F1 与 AF1 是两相交直线， ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF.
专题四
第二讲 点、直线与平面的位置关系
考向聚焦
3
高频考点
核心整合
4 课后强化作业
考向聚焦
考向分析 (1)空间中的平行、垂直关系的判断及命题和充要条件结 合． (2)空间中平行、垂直位置关系的证明，或探索性问题．
命题规律 (1)以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的 命题真假判断或充要条件判断等． (2)以几何体的直观图、三视图为载体，考查考生识图、 用图能力和对空间线面位置关系的掌握情况． (3)以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线 面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形 式呈现．
高频考点
线面位置关系的命题真假判断 (2013·安徽理，3)下列命题中，不是公理的是
() A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 F、H 分别为 A1D、 A1C 的中点．
(1)证明：A1B∥平面 AFC； (2)证明：B1H⊥平面 AFC. [分析] 分别利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定 定理证明．
[解析] (1)连 BD 交 AC 于点 E，则 E 为 BD 的中点，连 EF，又 F 为 A1D 的中点，所以 EF∥A1B.
(2)解：B→1C＝(1，－2，－1)． 设平面 B1CE 的法向量 m＝(x，y，z)，
则 mm··BC→→1EC＝＝00，，
即 x－－x2＋y－y－z＝z＝0， 0.
消去 x，得 y＋2z＝0，不妨令 z＝1，可得一个法向量为 m
＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又 CC1⊥B1C1，可得 B1C1⊥平面 CEC1， 故B→1C1＝(1,0，－1)为平面 CEC1 的一个法向量．
核心整合
知识方法整合
1．点、线、面的位置关系
(1)平面的基本性质
名称
图形
文字语言
如果一条直线
上的两点在一
公理 1
个平面内，那 么这条直线在
此平面内
符号语言
A∈l BA∈∈lα⇒l⊂α B∈α
名称 公理 2
公理 3
图形
文字语言
符号语言
过不在一条直线 若 A、B、C 三点不
上的三点有且只 共线，则 A、B、C
(3)直线、平面的位置关系
位置关系
公共点的个数
共面 相交直线 有且仅有 1 个公共点 直线与
直线 平行直线 在同一平面内，没有公共点 直线
异面直线 不同在任何平面内，没有公共点
直线与 直线在平面内 直线与平面有无穷多个公共点
平面
位置关系
公共点的个数
直线和平
直线
直线与平面有一个公共点
直线与
面相交
在平
于是
cos〈m，B→1C1〉＝
→ m·B1C1
→
|m|·|B1C1|
＝
－4 14×
2＝－2 7 7，
从而 sin〈m，B→1C1〉＝ 721，
所以二面角 B1－CE－C1 的正弦值为
21 7.
(3)解：A→E＝(0,1,0)，E→C1＝(1,1,1)．
设E→M＝λE→C1＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有A→M＝A→E＋E→M＝(λ，
λ＋1，λ)．可取A→B＝(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量．
设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角，则
sinθ＝|cos〈A→M，A→B〉|＝
→→ |AM·AB| →→
|AM|·|AB|
＝
λ2＋λ＋21λ2＋λ2×2＝
λ 3λ2＋2λ＋1.
于是 3λ2＋λ2λ＋1＝ 62，解得 λ＝13， 所以 AM＝ 2.
(1)求证：AF∥平面 BDE； (2)求证：平面 BDE⊥平面 BCE.
[证明] (1)取 BE 的中点 G，连接 GF，GD. 因为 F 是 BC 的中点， 则 GF 为△BCE 的中位线． 所以 GF∥EC，GF＝12CE. 因为 AD⊥平面 ABC，CE⊥平面 ABC， 所以 GF∥EC∥AD. 又因为 AD＝12CE， 所以 GF＝AD.
(1)求证：平面 AB1F1∥平面 C1BF； (2)求证：平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.
[分析] (1)在正三棱柱中，由 F、F1 分别为 AC、A1C1 的 中点，不难想到四边形 AFC1F1 与四边形 BFF1B1 都为平行四边 形，于是要证平面 AB1F1∥平面 C1BF，可证明平面 AB1F1 与平 面 C1BF 中有两条相交直线分别平行，即 BF∥BF1，FC1∥AF1.
[方法规律总结] 1．要证线面平行，先在平面内找一条直线与已知直线平 行，或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面，找出交线， 证明二线平行． 2．要证线线平行，可考虑公理 4 或转化为线面平行． 3．要证线面垂直可转化为证明线线垂直，应用线面垂直 的判定定理与性质定理进行转化.
面面位置关系
底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．如图，在 正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝AB＝a，F、F1 分别是 AC、 A1C1 的中点．
a∥b
定理名称 文字语言
一条直线与一
个平面平行，
线面平行 则过这条直线
的性质定 的任何一个平
理
面与此平面的
交线与该直线
平行
图形语言
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β ＝b，⇒a∥b
定理名称 文字语言
如果一个平面
内有两条相交 面面平行
的直线都平行 的判定定
于另一个平 理
面，那么这两
个平面平行
图形语言
所以四边形 GFAD 为平行四边形． 所以 AF∥DG. 因为 DG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE， 所以 AF∥平面 BDE.
(2)因为 AB＝AC，F 为 BC 的中点， 所以 AF⊥BC. 因为 EC∥GF，EC⊥平面 ABC， 所以 GF⊥平面 ABC. 又 AF⊂平面 ABC， 所以 GF⊥AF. 因为 GF∩BC＝F， 所以 AF⊥平面 BCE. 因为 AF∥DG，
平面
直线和平
面外
直线与平面没有公共点
面平行
平面与 两个平面平行 两个平面没有公共点
平面 两个平面相交 两个平面有一条公共直线
2.直线、平面的平行与垂直
定理名称 文字语言 图形语言
平面外一条直
线与平面内的 线面平行
一条直线平 的判定定
行，则这条直 理
线与此平面平
行
符号语言
a⊄α

b⊂α⇒a∥α
且只有一条过该点的公共直线 [答案] A
[解析] 由空间几何中的公理可知，仅有 A 不是公理，其 余皆为公理．
已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，给出下面有四个命 题：
①α∥β⇒l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒m 与 α 不相交．
则其中正确的命题为( )
A．①②
B．①③
又 EF⊂平面 AFC，A1B⊄平面 AFC， ∴A1B∥平面 AFC. (2)连接 B1C，在正方体中四边形 A1B1CD 为长方形， ∵H 为 A1C 的中点， ∴H 也是 B1D 的中点，
∴只要证 B1D⊥平面 ACF 即可． 由正方体性质得 AC⊥BD，AC⊥B1B， ∴AC⊥平面 B1BD，∴AC⊥B1D.
疑难误区警示 1．应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时， 必须按照定理的要求找足条件． 2．作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依 据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图．注 意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化．
3．若 a、b、c 代表直线或平面，△代表平行或垂直，在 形如 aa△△bc⇒b△c 的命题中，要切实弄清有哪些是成立的， 有哪些是不成立的．例如 a、b、c 中有两个为平面，一条为直 线，命题 aa⊥⊥αβ⇒α∥β 是成立的. aa∥∥αβ⇒α∥β 是不成立的．
所以 DG⊥平面 BCE. 又 DG⊂平面 BDE， 所以平面 BDE⊥平面 BCE.
(理)(2013·天津理，17)如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， 侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1 ＝AB＝2，E 为棱 AA1 的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE； (2)求二面角 B1－CE－C1 的正弦值； (3)设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1A1 所 成角的正弦值为 62，求线段 AM 的长．
[方法规律总结] 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据 平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂 直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利 用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平 面几何中的结论不能完全移植到立体几何中.
线线、线面位置关系