上海建设中学必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)

一、选择题
1．当
z =时，100501z z ++=（ ）
A ．1
B ．-1
C ．i
D ．i -
2．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，
32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）
A ．55i -+
B ．55i -
C ．55i +
D ．55i --
3．若复数(1a i
z i i
+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
4．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26
B ．24，26
C ．12，0
D ．6，8
5．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则
OAB ∆一定是
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
6．已知集合，(
)(
){}
2
2
1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，
则实数m 的值为 （ ） A ．4
B ．－1
C ．4或－1
D ．1或6
7．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4
B ．2
C ．0
D ．2-
8．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +
B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i --
10．在复平面内，复数20181
2z i i
=++对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则
01z -的取值范围是（ ）
A
．
)
2 B
．
)
1 C
．)
2-
D
．)
1-
二、填空题
13．设z 为复数，且1z =，当2
3
4
13z z z z ++++取得最小值时，则此时复数
z =______.
14．若复数z
满足||1z i -
，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 15．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______. 16．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________. 17．若复数z
满足5z z +=，则复数z =________________.
18．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2
2
12z z +=________.
19．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________. 20．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．
参考答案
三、解答题
21．（1）计算：
(
)()
4
3
2-2i （i 为虚数单位）；
（2）已知z 是一个复数，求解关于z 的方程，313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）. 22．化简下列复数 （1）()()6532i i -++ （2）()()()56234i i i -+---+
23．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2
OM 的取值范围.
24．已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为(2,1)A -，(,3)B a ，（a R ∈）. （1）若125z z +≤，求a 的值；
（2）若复数12·
z z 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值. 25．（1
）已知1（其中i 为虚数单位）是关于x 的方程
1x b
a x
+=的一个根，求实数a ，b 的值；
（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？
26．已知复数z =22
761
a a a -+-2
(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；
（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据100501z z ++的结构特点，先由
z =，得到()2
212
-=
=-i z i ，再代入
100501z z ++求解.
【详解】
因为
z =
所以()2
21,2
-=
=-i z i
所以()
()()25
50
2
50100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，
所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.
2．B
解析：B 【分析】
由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】
向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．
由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，
根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】
解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
3．C
解析：C 【分析】
利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i
z i
+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】
()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22
a a a a
z +++-+=
==+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩
，即1a =，故选C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
4．A
解析：A 【分析】
复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】
因为23i -是方程2
20x px q ++=的一个根，所以2
2(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以2240
3100
p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
因为1212z z z z +=-，所以2
2
||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.
6．B
解析：B 【分析】
根据交集的定义可得(
)(
)
2
2
31563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】
因为(
)(
){}
2
2
1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，
所以(
)(
)
2
2
31563m m m m i --+--=，
可得22
313
1560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.
7．C
解析：C 【分析】
根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】
因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程2
0x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，
所以1z i =+也是方程的一个根，
故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩，
所以0p q +=，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】
复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525
z i =-． ∴712525
z i =
+．
则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫
⎪⎝
⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】
此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.
9．A
解析：A 【分析】
根据复数的运算法则得()()()()
31242112i i i Z i
i i +--===-+--，即可求得其共轭复数.
【详解】
由题：()13Z i i +=+，所以()()()()
31242112i i i Z i
i i +--===-+--，
所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】
此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.
10．C
解析：C 【解析】 因为201812z i i =
++()()22231122555i i i i i i --=
+=-=--+- ，复数201812z i i
=++对应的点的坐标为3
1,5
5⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，故复数20181
2z i i
=
++对应的点位于第三象限,故选C. 11．D
解析：D 【解析】
()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,2
2
z z =+=+13i,2
2
z z
=-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.
12．A
解析：A 【分析】
根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0
z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.
【详解】
因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<
由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=
则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质
解析：115
44
-±
【分析】
设复数z 的辐角为θ，将2
3
4
13z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】
设复数z 的辐角为θ，
()()22
44234
0013sin 2sin 2cos 2cos 2n n z z z z n n θθθθ==⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑
=
2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 2
1334cos 444θ⎛
⎫=++≥ ⎪⎝
⎭
所以1cos 4θ=-，sin θ=
所以144z =-
±，
故答案为：144
i -± 【点睛】
本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.
14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案
1
【分析】
设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径
的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)
B 的距离，数形结合即可得到答案. 【详解】
设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上
的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，
2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，
故min 11PB AB =-==1.
所以2z i +-1.
1 【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.
15．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的
解析：4 【分析】
本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值． 【详解】 由题意，可知
1123z z +-=，2223z z +-=，
则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.
124z z ∴+≤．
故12z z +的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】
本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．
16．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题 解析：2i ±
【分析】
设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】
设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，
即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪
⎨-++=⎪⎩，所以4050
a c
b d a
c b
d ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪
⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结
合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或1
1b d =-⎧⎨
=⎩
.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】
本小题主要考查复数运算，属于中档题.
17．【分析】由一定为实数由题可知的虚部为设进而求解即可【详解】因为所以的虚部为设则解得所以故答案为:【点睛】本题考查相等复数考查复数的模的
应用
解析：11
5
【分析】
由z 一定为实数,由题可知z 设()a a R z =∈,进而求解即可 【详解】
因为5z z +=+,所以z
设()a a R z =∈,则5a =,解得115a =,所以11
5
z =
,
故答案为:11
5
【点睛】
本题考查相等复数,考查复数的模的应用
18．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100
【解析】 【分析】
设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2
2
12z z +的值.
【详解】
设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，
又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，
所以2
2
2
2
2
12
1212100z z OM OM M M =+=+=.
故答案为：100. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题 解析：1i -
【分析】
根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.
【详解】
因为()1z i i =-1i =+，
所以 1z i =-，
故填1i -
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.
20．1【解析】由|z －2|＝|z ＋2|知z 对应点的轨迹是到(20)与到(－20)距离相等的点即虚轴|z －1|表示z 对应的点与(10)的距离∴|z －1|min ＝1点睛：要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为
解析：1
【解析】
由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.
点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b
、模为(,)a b 、共轭为.-a bi
三、解答题
21．（1）8；（2）13z i =-+或1z =-
【分析】
（1）(
)()()(
)(
)()
42
2
2232-22-22-28i i i i -=即可化简得值；
（2）设,,z a bi a b R =+∈，建立等式()()()313a bi a bi i a bi i +---
=+，列方程组求解.
【详解】
（1）(
)(
)()()()(
)4222232-22-22-26488i i i -===-； （2）设,,z a bi a b R =+∈，313z z i z i ⋅-⋅=+，即()()()313a bi a bi i a bi i +---=+， 2
23313a b b ai i +--=+，所以2231,33a b b a +-=-=，解得13a b =-⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩， 所以13z i =-+或1z =-.
故答案为：13z i =-+或1z =-
【点睛】
此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解. 22．（1）93i -；（2）11i -.
【分析】
利用复数的加减运算法则求解.
（1）()()6532i i -++，
()()6325i =++-，
93i =-.
（2）()()()56234i i i -+---+，
()()523614i =--+---，
11i =-.
【点睛】
本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．1z i =+,3⎡-+⎣
【详解】
分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得2
34OM πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围. 详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件
解得11a b =⎧⎨=⎩
，所以1z i =+. ()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++
()()222
11OM sin cos θθ=-++ ()32sin cos θθ=--
322sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
因为1sin 14πθ⎛⎫-≤-
≤ ⎪⎝⎭，所以334πθ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭ 3≤+
即233OM -≤≤+
故所求1z i =+，2OM 的取值范围是3⎡-+⎣.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
24．(1)15a -≤≤;(2)1a =-.
分析：（1）由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z z ，的代数形式，通过复数的模125z z +≤，列出不等式即可求出a 的范围； （2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出结果．
详解：1）由题意可知12z i =-+,23z a i =+
∴()1224z z a i +=-+ ∴()2
212216z z a +=-+ ∴()2
21625a -+≤即()()510a a -+≤ ∴15a -≤≤ 由12z i =-- ∴()()()()12·23326z z i a i a a i =--+=--+ 由12·z z z =对应的点在二、四象限的角分线上可知()()3260a a --+=
∴1a =-
点睛：本题考查了复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，先由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z i =-+,23z a i =+求出a 的范围，再借助12·z z 的积，然后运用题设建立方程求解．
25．（1）2a b ==；（2）120.
【分析】
（1
）根据题意，将1x =-代入方程1x b a x +=
可得11a =
，变形可得1()14b i a ++-=，由复数相等的定义分析可得答案； （2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，②选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】
（1
）根据题意，1是方程1x b a x +=
的一个根，则有11a =，
变形可得：1()14b i a ++=，
则有11404
b a a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎪⎩， 解可得2a b ==；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①选出的3个数字中含有0，此时有21113
42248C C C A =种情况，即有48个没有重复数字的三位数；
②选出的3个数字中不含0，此时有21334372C C A =种情况，即有72个没有重复数字的三
位数；
故可以组成4872120+=个没有重复数字的三位数．
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算、复数相等以及排列组合的应用，属于基础题．
26．（1）6；（2）(,1)
(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z
为纯虚数．
【分析】
根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.
【详解】
由于210a -≠，所以1a ≠±.
（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．
【点睛】
本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.。