高考数学文科二轮复习高考22题12+4分项练4函数与导数

12＋4 分项练 4函数与导数
1．已知函数 y＝ xf′(x)的图象以以下图所示(此中 f′(x)是函数 f(x)的导函数 )，以下四个图象中y＝ f(x)
的图象大概是()
答案C
分析由函数 y＝ xf′(x)的图象可知，
当 x<－ 1 时， xf′(x)<0， f′(x)>0，此时 f( x)单一递加；
当－ 1<x<0 时， xf′(x)>0， f′(x)<0 ，此时 f(x) 单一递减；
当 0<x<1 时， xf′(x)<0， f′(x)<0 ，此时 f(x)单一递减；
当 x>1 时， xf′(x)>0 ， f′(x)>0，此时 f(x)单一递加．
故切合 f(x)的图象大概为 C.
2． (2017 届河北省衡水中学押题卷)若函数 f(x)＝ mln x＋ x2－ mx 在区间 (0，＋∞)内单一递加，
则实数 m 的取值范围为 ()
A ． [0,8]B． (0,8]
C． (－∞，0] ∪[8，＋∞ )D． (－∞，0)∪(8，＋∞)
答案A
分析
m
2x－ m≥0恒建立，即
m m
很显然 m≥0，且 f′(x)＝＋m≤＋ 2x，所以 m≤＋ 2x min，
x x x
由基本不等式的结论得m
＋ 2x≥22m，x
据此有 m 2≤8m ，解得 0≤m ≤ 8故.选 A.
3． (2017 届山西省太原市模拟 )已知函数 f(x)＝
f ′1
e x ＋
f 0 x 2－ x ，若存在实数
m 使得不等式
e
2
2
－ n 建立，则实数 n 的取值范围为 ()
f(m) ≤2n A. － ∞，－ 1
∪[1 ，＋ ∞)
2
1
B ． (－∞，－ 1]∪ 2，＋ ∞
－ ∞， 0 1
，＋ ∞
]∪ 2
C.(
1
D. － ∞，－ 2 ∪[0 ，＋ ∞)
答案
A
分析 对函数求导可得，
f ′1
x
f 0
f ′(x)＝
e ·e ＋
2 ×2x － 1，
∴ f ′(1)＝ f ′(1)＋ f(0) － 1，得 f(0) ＝ 1，
且 f(0) ＝f ′1
＝ 1，
e
∴ f ′(1)＝ e ， f(x)＝ e x ＋ 1
x 2－
x ， 2
f ′(x)＝ e x ＋ x －1， [f ′ (x)] ＝′e x ＋ 1>0 ，
则函数 f ′(x)单一递加，而 f ′(0)＝ 0，
故 f(x)min ＝ f(0) ＝ 1，
由存在性的条件可得对于实数
n 的不等式 2n 2－ n ≥1，
解得 n ∈ －∞，－
1
∪ [1 ，＋ ∞)．应选 A.
2
4． (2017 ·山西省实验中学模拟 )若点 P 是曲线 y ＝ 3 x 2
－ 2ln x 上随意一点，则点
P 到直线 y ＝x
2
－
5
的距离的最小值为 (
)
2
3 3
A. 2
B. 2
3 2
C. 2
D. 5
答案 C
分析
点 P 是曲线 y ＝
3
x 2－ 2ln x 上随意一点，
2
所以当曲线在点 P 的切线与直线 y ＝ x －
5
2平行时，点
P 到直线 y ＝ x －
5
2的距离最小，直线
y ＝ x
5 2 或 x ＝－
2 － 的斜率为
1，由 y ′＝3x － ＝ 1，解得 x ＝ 1
(舍 )．
2
x
3
3
所以曲线与直线的切点为
P1，2.
点 P 到直线 y ＝ x － 5
的距离最小值是
2
1－ 3－
5
3 2
2
2
＝
12＋ 12 2 .应选 C.
5．(2017 届辽宁省锦州市质检
)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f ′(x)，? x ∈ R ，有 f(－ x)＋ f(x) ＝x 2，
在 (0，＋ ∞)上 f ′(x)<x ，若 f(2－m)＋ f( －m)－ m 2＋ 2m － 2≥0，则实数 m 的取值范围为 () A ． [－1,1]
B ． [1，＋ ∞)
C ． [2，＋∞ )
D ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋ ∞)
答案 B
2
x
分析
令 g(x)＝ f(x)－ ，
则 g(－ x)＋ g(x)＝ 0， g(x)是 R 上的奇函数．
又 g ′(x)＝f ′(x)－x<0， g(x)是 R 上的单一减函数，
g(2－ m) ＋g(－ m) ≥ 0.
所以 2－m ≤m ，m ≥1，应选 B.
6．对于三次函数 f(x)＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＋ d(a ≠0)，给出定义：设 f ′(x)是函数 y ＝ f(x) 的导数， f ″(x)
是 f ′(x)的导数，若方程 f ″(x)＝ 0 有实数解 x 0，则称点 (x 0，f( x 0))为函数 y ＝f(x)的 “拐点 ”．某同学 经过研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且
“拐点 ”就是对称中心．若
1 3
1 2
f(x)＝
x
－ x
3
2
＋ 3x － 5
，请你依据这一发现判断函数 1 3
1 2
5
的对称中心为 (
)
f(x)＝ x
－ x ＋ 3x －
12
3
2
12
1 1 A. 2
，
1
B. －2，1
1
，－ 1
D. －1
，－ 1
C. 2
2
答案 A
分析
依题意，得 f ′(x)＝ x 2－ x ＋ 3，∴ f ″(x)＝ 2x － 1，
由 f ″(x)＝ 0，即 2x － 1＝ 0，得 x ＝ 1
，
2
1 1
3
1 2 5
的对称中心为 1
， 1)． 又 f( ) ＝1，∴函数 f(x)＝
x － x ＋ 3x －
12 ( 2
3
2
2 7．(2017 届陕西省西安市铁一中学模拟
)已知奇函数 f(x)的导函数为 f ′(x)，且当 x ∈ (0，＋∞)时，
xf ′(x)－ f(x)＝ x ，若 f(e)＝ e ，则 f(x)>0 的解集为 ( )
A ． (－∞，－ e)∪ (0， e)
B ． (－ e,0)∪(e ，＋ ∞)
C ． (－∞，－ 1)∪ (0,1)
D ． (－1,0)∪ (1，＋ ∞)
答案 D
分析 因为当 x>0 时， xf ′(x)－ f(x)＝ x ，
所以
xf ′x － f x
1
，即
f x
1，
2
x ＝ x
x ′＝ x 所以 f(x)＝x(ln x ＋ c)，由 f(e)＝ e ，解得 c ＝ 0， 所以 f(x)＝xln x( x>0) ．
因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝ xln|x|，
因为 f(x)>0，即 xln|x|>0，
x>0， x<0，
得
或
ln － x <0，
ln x>0
解得 x>1 或－ 1<x<0，应选 D.
x
1
， e ，? k ∈ [ －a ，a](a>0) ，使得方程 f(x)＝ k 有解，
8．已知函数 f(x)＝ e ln x (x>0)，若对 ? x ∈ e 则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0， e e ] B ． [e e ，＋ ∞)
1
C ． [e ，＋ ∞ ) D. [e e ,e e ]
答案 B
分析
当 x ∈
1
，1 时，
e
x
1
x
ln 1
＋ 1 ＝0，
f ′(x)＝ e ln x ＋ x >e e
当 x ∈ [1， e]时， f ′(x)＝ e x ln x ＋ 1
>0，
x
1
所以 f(x)∈ [
e e ,e e ] ，
1 e
所以
[ e
e
，应选 B.
e ,e
] ? [－ a ，a]? a ≥e
9． (2017 ·福建省厦门第一中学模拟 )若曲线 C 1： y ＝ax 2(a>0)与曲线 C 2： y ＝ e x 存在公共切线，
则 a 的取值范围为 ( )
A.
0， e
2
B. 0，
e 2
8 4
2
2
C. e ，＋ ∞ e ，＋ ∞
8
D. 4
答案 D
分析
设公共切线在曲线
C 1，C 2 上的切点分别为
2
t
t
＝
am 2－e t (m ，am ) ，(t ， e) ，则 2am ＝e
，所
m － t
e t
(t>1) ，令 f( t)＝ e t t
以 m ＝ 2t －2， a ＝
(t>1)，则 f ′(t)＝ e t －
2 2，则当 t>2 时， f ′(t)>0 ； 4 t － 1
4 t －1 4 t － 1 当 1<t<2 时， f ′(t)<0 ，所以 f(t) ≥f(2) ＝ e 2 e 2
，所以 a ≥ ，应选 D.
4 4
x
10．(2017 届辽宁省沈阳市大东区质检
)已知函数 f(x)＝ e
，对于 x 的方程 f 2( x)－ 2af(x)＋ a － 1＝
|x|
0 (a ∈ R )有 3 个相异的实数根，则
a 的取值范围是 ()
2
2
－ 1
e － 1
B. －∞，
e
A. ，＋ ∞
2e － 1
2e － 1
e 2－1
e 2 －1
C. 0，
2e － 1 D.
2e － 1
答案
D
x
e
， x>0，
x
分析
f(x)＝
x
－
e
x ， x<0，
当 x>0 时， f ′(x)＝ e x x － 1
，
2
x
当 0<x<1 时， f ′(x)<0 ，函数单一递减，当 x>1 时， f ′(x)>0 ，函数单一递加，
当 x ＝ 1 时，函数获得极小值 f(1) ＝ e ，
e x x － 1
>0，函数单一递加，如图，画出函数的图象，
当 x<0 时， f ′(x)＝－
2
x
设 t ＝f(x)，当 t ＝ e 时， t ＝ f(x) 有 2 个实根，当 0<t<e 时， t ＝ f(x)有 1 个实根，考虑到原方程的
鉴别式大于零恒建立， 所以原方程等价于 t 2－ 2at ＋ a －1＝ 0 有 2 个相异实根，此中 t 1＝ e ，t 2∈ (0，
2
2
e － 1
e)，当 t ＝ e 时， e － 2ae ＋ a － 1＝0，解得 a ＝ ，查验知足条件，应选 D.
11． (2017 届陕西省渭南市高三二模 )若函数 y ＝f(x)的图象上存在两个点
A ，
B 对于原点对称，
则对称点 ( A ， B) 为 y ＝ f(x)的 “孪生点对 ”，点对 (A ，B)与 (B ， A)可看作同一个 “孪生点对 ”，若函
数 f(x)＝
2， x<0，
恰巧有两个 “孪生点对 ”，则实数 a 的值为 ()
－ x 3＋ 6x 2－ 9x ＋ 2－ a ， x ≥0
A ．4
B ． 2
C ． 1
D ．0
答案
D
分析 当 x>0 时，f(x)＝－ x 3＋ 6x 2－ 9x ＋ 2－ a ，f ′(x)＝－ 3x 2＋ 12x －9＝－ 3(x －1)( x － 3)，可知 f(x) 在 (0,1)，(3，＋ ∞)上单一递减，在 (1,3)上单一递加．要使得函数 y ＝ f(x)有两个 “孪生点对 ”，只
需 y ＝ f(x) (x>0)的图象与 y ＝－ 2 的图象有两个交点．
当 y ＝ f(x)( x>0) 的极小值为－ 2 时， f(1) ＝－ 1＋ 6－ 9＋ 2－a ＝－ 2，解得 a ＝0，切合；
当 y ＝ f(x)( x>0) 的极大值为－ 2 时， f(3) ＝－ 27＋ 54－ 27＋2－ a ＝－ 2, 解得 a ＝ 4，但此时 f(0) ＝
2－ a ＝－ 2，只有一个交点，不切合． 综上， a ＝ 0，应选 D.
12．若函数 f(x)＝ xln x － a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为 ()
A. 0， 1
B. － 1，
1
e e e C. 0， 1 D. －1
，0
e e
答案 D
分析
函数的定义域为 (0，＋ ∞)．
由 f(x)＝ xln x －a ＝ 0，得 xln x ＝ a. 设 g(x)＝ xln x ，则 g ′(x)＝ ln x ＋ 1.
由 g ′(x)＝ln x ＋1>0 ，得 x>1
，此时函数 g(x)单一递加；
e
由 g ′(x)＝ln x ＋1<0 ，得 0<x<
1
e ，此时函数 g(x)单一递减．
1
故当 x ＝ 时，函数 g(x)获得极小值
g 1 1
1 ＝－ 1
，
e
＝ ln e e e
当 x 靠近于 0 时， g( x)也靠近于 0，
函数 g(x)的图象以下图．
∴要使函数 f(x)＝ xln x － a 有两个零点，即方程
xln x ＝ a 有两个不一样的根，
即函数 g(x)和 y ＝ a 有两个不一样的交点，则－ 1
e <a<0.
应选 D.
13．(2017 ·宁省葫芦岛模拟辽)已知函数 f(x)＝ ax3＋ x2＋ bx＋ 2 中 a，b 为参数，已知曲线y＝ f(x)在 (1， f(1)) 处的切线方程为 y＝ 6x－1，则 f(－ 1)＝ ________.
答案1
分析∵ f ′(x)＝ 3ax2＋ 2x＋ b，∴ 6＝ 3a＋ 2＋ b.
又∵ 5＝a＋ 1＋ b＋ 2，∴ a＝ 1， b＝ 1，
∴f( －1) ＝－ a＋ 1－b＋ 2＝1.
14．已知f(x)为偶函数，当x<0 时， f(x)＝ ln( － x)＋3x，则曲线y＝ f(x)在点 (1，－ 3)处的切线方程是 ____________．
答案2x＋ y＋ 1＝ 0
分析当 x>0 时，－ x<0，则 f(－ x)＝ ln x－ 3x.
因为 f(x)是偶函数，所以f(x) ＝f(－ x)＝ ln x－ 3x，
所以 f′(x)＝1
－3，切线斜率为f′(1)＝－ 2，
x
所以切线方程为y＋ 3＝－ 2(x－1) ，即 2x＋ y＋1＝ 0.
15．已知函数
2
e x＋ ex
f(x)＝－ x－ 6x－3， g(x)＝ex，实数 m，n 知足 m<n<0，若 ? x1∈ [m，n] ，
? x2∈ (0，＋∞)，使得 f(x1)＝ g(x2)建立，则 n－m 的最大值为 ________．答案4
分析
e x＋ ex e x x－ 1
，分母恒大于x
因为 g(x)＝，所以 g′(x)＝20，且 e >0，由题意议论 x>0 即可，ex ex
则当 0< x<1 时， g′(x)<0，g(x)单一递减；当x>1 时， g′(x)>0 ，g(x) 单一递加，所以g(x)min＝ g(1)
＝ 2.
f(x)＝－ (x＋ 3)2＋ 6≤6，作函数 y＝ f(x)的图象以下图，当f(x)＝ 2 时，方程－ (x＋ 3)2＋ 6＝ 2 的
两根分别为－ 5 和－ 1，则 n－ m 的最大值为－1－ (－5)＝ 4.
16．(2017 ·建省三明市质检福)对于定义域为R 的函数f(x)，若知足①f(0)＝0；②当x∈ R，且x≠0
时，都有 xf′(x)>0；③当 x1≠x2，且 f(x1)＝ f(x2)时， x1＋ x2<0，则称 f( x)为“偏对称函数”．现
给出四个函数：
x 1＋12
－12x x≠0，
g(x) ＝2
0x＝ 0 ；
h(x) ＝ln － x＋ 1x≤0，2x x>0 ；
3 3 2
k(x) ＝－ x ＋2x ；
φ(x)＝ e x－ x－1.
则此中“偏对称函数”的函数个数为 ________．
答案2
分析由题意可得，“偏对称函数”知足①函数的定义域为R，且过坐标原点；
②函数在区间 (0，＋∞)上单一递加，在区间 (－∞， 0)上单一递减；
③若 x1<0< x2，且 |x1|＝ |x2 |，则 f(x1)<f(x2)，
由函数的分析式可知，则函数φ(x)， h(x)是“偏对称函数”．
k(1) ＝－ 1＋3
＝
1
， k(2) ＝－ 8＋
3
×4<k(1)，不知足②，则函数k( x)不是“偏对称函数”．222
310
g(－ 1)＝－2，g(－ 2)＝－3<g(－1) ，不知足②，则函数 g(x)不是“偏对称函数”．
综上可得，“偏对称函数”的个数为2.。