2019-2020学年高中数学人教A版选修1-1单元优选卷：11生活中的优化问题举例

单元优选卷（11）生活中的优化问题举例
1、某工厂要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边需要砌新的墙壁,若使所用的材料最省,则堆料场的长和宽应分别为( ) A.32m,16m
B.30m,15m
C.64m,8m
D.36m,18m
2、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31
812343
y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
3、把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为( ) A. 1:2
B. 1:π
C. 2:1
D. 2:π
4、正三棱柱的体积是V ，当其表面积最小时，底面边长为( ) 3V
32V
34V
D.32V 5、把一个周长为12cm 的长方形纸片围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( ) A.1:2
B.1:π
C.2:1
D.2:π
6、方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( ) A.4
B.6
C.4.5
D.8
7、路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以2m/s 的速度从路灯在地面上的射影点C 开始沿某直线在地面上行走，那么人影长度的变化速度v 为( ) A.7
m /s 20
B.
7
m /s 24
C.
7
m /s 22
D.1
m /s 2
8、已知表面积为100π的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为( ) A.4000
243
π B.
4000
81
π C.
4000
27
π D.
4000
9
π 9、甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示.现有下列四种说法： ①前四年该产品年产量增长速度越来越快； ②前四年该产品年产量增长速度越来越慢； ③第四年后该产品停止生产； ④第四年后该产品年产量保持不变. 其中说法正确的有( )
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③
10、如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
A. 3131255y x x =
- B. 324
1255y x x =-
C. 3
3125
y x x =-
D. 331
1255
y x x =-+
11、如图,内接于抛物线21y x =-的矩形ABCD ,其中,A B 在抛物线上运动,,C D 在x 轴上运动,则此矩形的面积的最大值是________.
12、若曲线()1y x R α
α=+∈在点()1,2处的切线经过坐标原点,则α=__________.
13、已知某物体的运动方程是23
s t t
=+(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则物体在4t =时的加
速度a =____________.
14、在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为__________m .
15、如图,两个工厂,A B 相距0.6?km ,变电站C 距,A B 都是0.5km ,计划铺设动力线,先由C 沿AB 的垂线至D ,再与,A B 相连, D 点选在距AB __________km 处时,动力线最短.
答案以及解析
1答案及解析： 答案：A
解析：要使材料最省,则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场宽为m x ,则长为512
m x
,因此新墙总长512()2(0)L x x x x =+
>,则2512
'()2L x x
=-.令'()0L x =,解得16x =(16x =-舍去).故当16x =时,()L x 取得最小值,此时长为
512
32(m)16
=.
2答案及解析： 答案：C
解析：2'81y x x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去). 当()0,9x ∈时,0y '>, 当()9,x ∈+∞时,0y '<, 则当9x =时,y 有最大值.
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.
3答案及解析： 答案：C 解析：
4答案及解析： 答案：C
解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ， 则2
1sin 602V x l =
⋅︒⋅，∴2
3l x =
， ∴223432sin 603V
S S S x x l =+=⋅︒+⋅⋅=+
表底侧. 令43'=30V
S x =表，∴34x V =，即34x V 又当34)x V ∈时，'0y <；当3(4,)x V ∈+∞时，'0y >. ∴当34x V =.
5答案及解析： 答案：C
解析：设圆柱高为cm x ，底面半径为cm r ，
则62x r -=π，圆柱体积2
3261(1236)(06)24x V x x x x x -⎛⎫
=π⋅=-+<< ⎪ππ⎝⎭
， 3
'(2)(6)4V x x =
--π
，当2x =时，V 最大. 此时底面周长为4，底面周长：高4:22:1==.
6答案及解析： 答案：A
解析：设底面边长为x ，高为h ，则2()256V x x h =⋅=， 所以2256h x =
，所以表面积222
22561024()44S x x xh x x x x x
=+=+⋅=+， 所以21024'()2S x x x =-.令'()0S x =，解得8x =，所以2256
48
h ==.
7答案及解析： 答案：D
解析：如图，设人从点C 运动到点B 的路程为m x ，时间为s t ，AB 为人影长度，AB 长为m y .由于//DC BE ， 则
AB BE
AC CD
=
，即 1.6185y y x ==+. 又2x t =，∴1142y x t =
=，∴1
'm /s 2
v y ==.
8答案及解析： 答案：B
解析：设球的半径为R ，内接圆锥的底面半径为r ，高为h ， 由题意知，24100R π=π，解得5R =，
5)r <≤，
所以5h =
所以该圆锥的体积21
(53
V r =π.
设5)t t =≤<，
则23211
(25)(5)(525125)(05)33
V t t t t t t =π-+=π--++≤<.
所以211
'(31025)(35)(5)33
V t t t t =π--+=-π-+，
当5
03t ≤<时，'0V >，
当5
53
t <<时，'0V <. 所以当53t =时，max 400081
V =π，故选B.
9答案及解析： 答案：B
解析：增长速度是年产量对时间的导数，即图像中切线的斜率.由图像可知，②④是正确的.
10答案及解析： 答案：A
解析：根据题意,知所求函数在(5,5)-上单调递减,
对于A ,313
1255y x x =
-, ∴22333
'(25)1255125
y x x =-=-
∴(5,5)x ∀∈-,0y '<, ∴313
1255
y x x =
-在(5,5)-内为减函数, 同理可验证B,C,D 均不满足此条件,故选A.
11答案及解析：
解析：设CD x =，则点2,0,,122
4x x
x C B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴矩形ABCD 的面积231
()1,(0,2)44x S x x x x x ⎛⎫=⋅-=-+∈ ⎪⎝
⎭.
由23
'()10
4S x x =-+=，得x ，
此时，()S x
12答案及解析： 答案：2 解析：1
y x αα-'=,
∴1|x y α='=.
曲线在点()1,2处的切线方程为()21y x α-=-, 将点()0,0代入方程,得2α=.
13答案及解析： 答案：
67
m /s 32
解析：路程关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是加速度， 所以23
36
'2,'2v s t a v t t ==-
==+
. 当4t =时，23667
2(m /s )432
a =+=.
14答案及解析： 答案：20
解析：设矩形花园的宽为y m , 则
404040
x y -=
, 所以40x y +=,
所以面积2
4002x y S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭
,
当且仅当20x y ==时等号成立, 即当20x =时面积最大.
15答案及解析：
解析：
设 CD AB ⊥,垂足为E ,DE 的长为xkm . 由0.6,0.5AB AC BC ===,得0.3AE EB ==.
∴0.4CE =
==.
∴0.4CD x =-.
∴AD BD ==
==∴动力线总长2
20.090.4l AD BD CD x x =++=+-. 令2
2
2
0.09'2120.090.09x l x
x
+=-=
++,
即2
20.09=0x x +.解得3
x =
.(∵0x >) 当3x <
时, '0l <;当3x >, '0l >. ∴l 在3
10
x =时有最小值.。