人教版七年级数学上册：第四章4.2《直线、射线、线段》例题与讲解

4.2直线、射线、线段
1．直线
(1)概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始的概念，直线常用“一根拉得很紧的细线”，“一张纸的折痕”等实际事物进行描述．
(2)特点：直线向两方无限延伸，不可度量，没有粗细；并且同一平面内的两条相交直线只有一个交点．
(3)直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．即“两点确定一条直线”．
(4)直线的两种表示法：一是用一个小写字母表示：如直线a，b，c 或直线是用直线上两个点的大写字母表示，如：直线 AB 或直线 BA.如图：表示为直线l 的字母位置可以交换)．
l 等．另一个或直线 AB(点
(5)直线与点的位置关系：一是点在直线上，也叫做直线经过这点；另一种是点在直线外，也叫做直线不经过这个点．
【例 1－ 1】下面几种表示直线的写法中，错误的是(
A ．直线 a B．直线 Ma
C．直线 MN D．直线 MO
解析：直线的表示法有两种，一种是用一个小写字母表示，大写字母表示，所以直线Ma 这种表示法不正确，故选 B.
答案： B )．
另一种是用直线上两个点的
【例 1－ 2】如图，下列说法错误的是()．
A ．点C．点A 在直线
B 在直线
m 上
l 上
B．点 A 在直线 l 上
D．直线 m 不经过 B 点
解析：点与直线有两种位置关系，一是点在直线上，也称作直线过这点，另一种是点在
直线外．所以 C 错误．
答案： C
2．射线
(1)定义：直线上一点和它一旁的部分，叫做射线．它是直线的一部分．如图就是一条
射线，其中 O 是射线的端点．
(2)表示法：同直线一样，射线也有两种表示方法，一种是用一个小写字母表示：如射
线a，b，c 或射线 l 等，另一个是用射线上两个点的大写字母表示，其中前面的字母表示的
点必须是端点．如图：表示为射线l 或射线 OA .
(3)特点：射线只有 1 个端点，向一方无限延伸，因此不可度量．
【例 2－ 1】如图，若射线AB 上有一点C，下列与射线AB 是同一条射线的是() ．
A ．射线BA
B ．射线AC
C．射线BC D ．射线CB
解析：端点相同，在同一条直线上，且方向一致，就是同一条射线，所以 B 正确．
答案： B
3．线段
(1)定义：直线上两点和它们之间的部分，叫做线段．它是直线的一部分．
(2)特点：有两个端点，不能向两方无限延伸，因此它有长度，有大小．
(3)表示法：同直线一样，线段也有两种表示法，一种是用一个小写字母表示，如线段a，b， c.另一种是用线段两个端点的大写字母表示．如图：可以表示为：线段AB 或线段 BA，或线段 a.
(4)线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简单的说成：“两点之间，线段
最短．”意义：选取最短路线的原则和依据．
(5)两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离．
破疑点线段的表示表示线段的两端点的字母可以交换，如线段 AB 也是线段 BA，但端点字母
不同线段就不一样．
【例 3】如图有几条直线？几条射线？几条线段？并写出．
分析：直线主要看有几条线向两方无限延伸，图中只有一条；射线主要看端点，再看延伸方向， 3 个端点，所以有 6 条，线段主要是看端点， 3 个端点，所以有 3 条．
解：有一条直线AB(或 AC，AD，AE，BE，BD ，CD， )；射线有 6 条： CA，CB ，DA，DB ，EA，EB .线段有 3 条： CD ， CE， DE .
4.线段的画法
(1)画一条线段等于已知线段
画法：①测量法：用刻度尺先量出已知线段的长度，画一条等于这个长度的线段；
②尺规法：如图：画一条射线AB，在这条射线上截取(用圆规 )AC＝ a.
(2)画线段的和差
测量法：量出每一条线段的长度，求出它们的和差，画一条线段等于计算结果的长度．如：已知线段 a，b(a＞ b)，画线段 AB＝ a－b，就是计算出 a－ b 的长度，画出线段 AB 等于 a－ b 的长度即可．
尺规法：如图，已知线段a， b，画一条线段，使它等于画法：如图，①画一条射线AB ，在这条射线上连续截取②再以 A 为一个端点，截取AD= a，那么 DC=2 b－ a.2b－ a.
(用圆规)AC=2b ，
【例4】如图，已知线段a， b，c，画一条线段，使它等于a＋b－ c(用尺规法)．
画法：如图，①画射线(直线也可 )AB，在射线AB 上分别截取AC＝ a， CD＝ b.
②以 D 为一个端点在AD 上截取 DE＝ c，线段 AE 即为所求．
5．线段的比较
(1)测量法：就是用刻度尺测量出两条线段的长度，再比较它们的大小．
(2)叠合法：把两条线段的一端对齐，放在一起进行比较．如图：
①若 C 点落在线段AB 内，那么AB＞ AC；
②若 C 点落在线段AB 的一个端点上，那么AB＝ AC；
③若 C 点落在线段AB 外 (准确的说是AB 的延长线上 )，那么 AB＜ AC.
谈重点线段的比较用叠合法比较两条线段的大小，一端一定要对齐，看另一个端点的落点，测量法要注意单位的统一．
【例 5】已知：如图，完成下列填空：
(1)图中的线段有 ________ 、 ________、 ________、 ________、 ________ 、 ________共六条．
(2)AB＝ ________＋ ________＋________ ；AD＝ ________＋ ________； CB＝ _______＋__________.
(3)AC＝ AB－__________ ； CD ＝ AD－__________ ＝ BC－ __________ ；
(4)AB＝__________ ＋ __________.
注意 (4)题有两种可能．
解析：根据图形和线段间的和差关系填空，
答案： (1)AC AD AB CD CB DB
(2)AC CD DB AC CD CD DB
(3)CB AC DB
(4)AD DB 或 AC CB
6．线段中点、线段等分点
(1)定义：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 MB ，点 M 叫做线段 AB 的中点．
(2)拓展：把一条线段分成相等的三条线段的点叫做这条线段的三等分点.
(3)等量关系：在上图中：
1
AM＝ BM＝2AB； 2AM ＝2BM ＝ AB.
【例 6】如图，点 C 是线段 AB 的中点．
(1)若 AB＝ 6 cm，则 AC＝ __________cm.
(2)若 AC＝ 6 cm，则 AB＝ __________cm.
解析：若 AB ＝6 cm，那么 AC＝1
2AB ＝ 3(cm)．
若AC＝ 6 cm，那么 AB＝ 2AC＝ 2×6＝ 12(cm)．
答案： 3 12
7．关于延长线的认识
延长线是重要的，也是应用较多的几何术语，是初学者最易错，最不好理解的地方，
下面介绍几种关于延长线的术语：
如图 (1)延长线段AB，就是由 A 往 B 的方向延长，并且延长线一般在作图中都用虚线表示；如图 (2) 叫做反向延长线段AB，就是由 B 向 A 的方向延长；如图(3) 延长 AB 到 C，就是到 C 不再延长；如图(4)延长 AB 到 C，使 AB＝ BC；如图 (5)点 C 在 AB 的延长线上等．
几种常见的错误，延长射线
AB 或延长直线 AB ，都是错误的，图 (6) 中只能反向延长射
线 AB.
【例 7－ 1】 若 AC ＝1
AB ，那么点 C 与 AB 的位置关系为 ( )．
2
A ．点 C 在 A
B 上 B ．点
C 在 AB 外 C ．点 C 在 AB 延长线上
D ．无法确定 答案： D
【例 7－ 2】 画线段 AB ＝ 5 cm ，延长 AB 至 C ，使 AC ＝2AB ，反向延长 AB 至 E ，使 AE
＝1
CE ，再计算： 3
(1)线段 AC 的长； (2) 线段 AE ， BE 的长． 分析： 按要求画图．
由画图过程可知：
AC ＝ 2AB ，且 C 在 AB 的延长线上，所以 AB ＝ BC ＝ 1
AC ， E 在 AB
AE ＝1
CE ，所以 AB ＝ BC ＝AE ＝5 c m. 2 的反向延长线上，且
3
解： 如图： (1) 因为 AC ＝ 2AB ，所以 BC ＝ AB ＝ 5 cm ，
所以 AC ＝AB ＋BC ＝5＋ 5＝ 10 (cm) ．
1
(2)因为 AE ＝ 3CE ，所以 AE ＝ AB ＝ BC ＝ 5 cm ， 所以 BE ＝ AB ＋ AE ＝ 5＋ 5＝ 10 (cm) ．
8.线段的计数公式及应用
一条直线上有 n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：
为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即 A → AB ，AC ，AD ，B → BC ，
BD ，C → CD ，线段总数为 3＋ 2＋ 1＝6，若是更多的点，由以 A 为顶点的线段的条数可以看
出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有
n 个点时，以 A 为顶点的线段就有 (n － 1)条，同样以
B 为顶点的线段也有 (n － 1)条，因此 n 个顶点共有 n(n －1) 条线段；但由 A 到 B 得到的线段 AB 和由 B 到 A 得到的线段 BA 是同一条，而每条线段
的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了
2 次，所以除以 2 就是所得线段的实际条数， 即当一条直线上有 n 个点时，线段的总条数就等于 1
2
n(n － 1)．
【例 8－ 1】 从秦皇岛开往 A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间
的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？
分析：这个问题相当于一条直线上有
4 个点，求这条直线上有多少条线段． 因为任意两 站之间的票价都不相同， 因此有多少条线段就有多少种票价， 根据公式我们很快可以得出有 6 种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有 12 种车
票．
解： 当 n ＝ 4 时，有 n(n － 1)＝ 4× (4－1)
＝6(种 )不同的票价．
几种常见的错误，延长射线
AB 或延长直线 AB ，都是错误的，图 (6) 中只能反向延长射
线 AB.
【例 7－ 1】 若 AC ＝1
AB ，那么点 C 与 AB 的位置关系为 ( )．
2
A ．点 C 在 A
B 上 B ．点
C 在 AB 外 C ．点 C 在 AB 延长线上
D ．无法确定 答案： D
【例 7－ 2】 画线段 AB ＝ 5 cm ，延长 AB 至 C ，使 AC ＝2AB ，反向延长 AB 至 E ，使 AE
＝1
CE ，再计算： 3
(1)线段 AC 的长； (2) 线段 AE ， BE 的长． 分析： 按要求画图．
由画图过程可知：
AC ＝ 2AB ，且 C 在 AB 的延长线上，所以 AB ＝ BC ＝ 1
AC ， E 在 AB
AE ＝1
CE ，所以 AB ＝ BC ＝AE ＝5 c m. 2 的反向延长线上，且
3
解： 如图： (1) 因为 AC ＝ 2AB ，所以 BC ＝ AB ＝ 5 cm ，
所以 AC ＝AB ＋BC ＝5＋ 5＝ 10 (cm) ．
1
(2)因为 AE ＝ 3CE ，所以 AE ＝ AB ＝ BC ＝ 5 cm ， 所以 BE ＝ AB ＋ AE ＝ 5＋ 5＝ 10 (cm) ．
8.线段的计数公式及应用
一条直线上有 n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：
为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即 A → AB ，AC ，AD ，B → BC ，
BD ，C → CD ，线段总数为 3＋ 2＋ 1＝6，若是更多的点，由以 A 为顶点的线段的条数可以看
出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有
n 个点时，以 A 为顶点的线段就有 (n － 1)条，同样以
B 为顶点的线段也有 (n － 1)条，因此 n 个顶点共有 n(n －1) 条线段；但由 A 到 B 得到的线段 AB 和由 B 到 A 得到的线段 BA 是同一条，而每条线段
的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了
2 次，所以除以 2 就是所得线段的实际条数， 即当一条直线上有 n 个点时，线段的总条数就等于 1
2
n(n － 1)．
【例 8－ 1】 从秦皇岛开往 A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间
的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？
分析：这个问题相当于一条直线上有
4 个点，求这条直线上有多少条线段． 因为任意两 站之间的票价都不相同， 因此有多少条线段就有多少种票价， 根据公式我们很快可以得出有 6 种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有 12 种车
票．
解： 当 n ＝ 4 时，有 n(n － 1)＝ 4× (4－1)
＝6(种 )不同的票价．
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几种常见的错误，延长射线
AB 或延长直线 AB ，都是错误的，图 (6) 中只能反向延长射
线 AB.
【例 7－ 1】 若 AC ＝1
AB ，那么点 C 与 AB 的位置关系为 ( )．
2
A ．点 C 在 A
B 上 B ．点
C 在 AB 外 C ．点 C 在 AB 延长线上
D ．无法确定 答案： D
【例 7－ 2】 画线段 AB ＝ 5 cm ，延长 AB 至 C ，使 AC ＝2AB ，反向延长 AB 至 E ，使 AE
＝1
CE ，再计算： 3
(1)线段 AC 的长； (2) 线段 AE ， BE 的长． 分析： 按要求画图．
由画图过程可知：
AC ＝ 2AB ，且 C 在 AB 的延长线上，所以 AB ＝ BC ＝ 1
AC ， E 在 AB
AE ＝1
CE ，所以 AB ＝ BC ＝AE ＝5 c m. 2 的反向延长线上，且
3
解： 如图： (1) 因为 AC ＝ 2AB ，所以 BC ＝ AB ＝ 5 cm ，
所以 AC ＝AB ＋BC ＝5＋ 5＝ 10 (cm) ．
1
(2)因为 AE ＝ 3CE ，所以 AE ＝ AB ＝ BC ＝ 5 cm ， 所以 BE ＝ AB ＋ AE ＝ 5＋ 5＝ 10 (cm) ．
8.线段的计数公式及应用
一条直线上有 n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：
为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即 A → AB ，AC ，AD ，B → BC ，
BD ，C → CD ，线段总数为 3＋ 2＋ 1＝6，若是更多的点，由以 A 为顶点的线段的条数可以看
出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有
n 个点时，以 A 为顶点的线段就有 (n － 1)条，同样以
B 为顶点的线段也有 (n － 1)条，因此 n 个顶点共有 n(n －1) 条线段；但由 A 到 B 得到的线段 AB 和由 B 到 A 得到的线段 BA 是同一条，而每条线段
的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了
2 次，所以除以 2 就是所得线段的实际条数， 即当一条直线上有 n 个点时，线段的总条数就等于 1
2
n(n － 1)．
【例 8－ 1】 从秦皇岛开往 A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间
的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？
分析：这个问题相当于一条直线上有
4 个点，求这条直线上有多少条线段． 因为任意两 站之间的票价都不相同， 因此有多少条线段就有多少种票价， 根据公式我们很快可以得出有 6 种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有 12 种车
票．
解： 当 n ＝ 4 时，有 n(n － 1)＝ 4× (4－1)
＝6(种 )不同的票价．
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几种常见的错误，延长射线
AB 或延长直线 AB ，都是错误的，图 (6) 中只能反向延长射
线 AB.
【例 7－ 1】 若 AC ＝1
AB ，那么点 C 与 AB 的位置关系为 ( )．
2
A ．点 C 在 A
B 上 B ．点
C 在 AB 外 C ．点 C 在 AB 延长线上
D ．无法确定 答案： D
【例 7－ 2】 画线段 AB ＝ 5 cm ，延长 AB 至 C ，使 AC ＝2AB ，反向延长 AB 至 E ，使 AE
＝1
CE ，再计算： 3
(1)线段 AC 的长； (2) 线段 AE ， BE 的长． 分析： 按要求画图．
由画图过程可知：
AC ＝ 2AB ，且 C 在 AB 的延长线上，所以 AB ＝ BC ＝ 1
AC ， E 在 AB
AE ＝1
CE ，所以 AB ＝ BC ＝AE ＝5 c m. 2 的反向延长线上，且
3
解： 如图： (1) 因为 AC ＝ 2AB ，所以 BC ＝ AB ＝ 5 cm ，
所以 AC ＝AB ＋BC ＝5＋ 5＝ 10 (cm) ．
1
(2)因为 AE ＝ 3CE ，所以 AE ＝ AB ＝ BC ＝ 5 cm ， 所以 BE ＝ AB ＋ AE ＝ 5＋ 5＝ 10 (cm) ．
8.线段的计数公式及应用
一条直线上有 n 个点，如何不重复不遗漏地数出该直线上分布着多少条线段呢？以下图为例：
为避免重复，我们一般可以按以下方法来数线段的条数：即 A → AB ，AC ，AD ，B → BC ，
BD ，C → CD ，线段总数为 3＋ 2＋ 1＝6，若是更多的点，由以 A 为顶点的线段的条数可以看
出，每个点除了自身以外，和其他任何一个点都能组成一条线段，因此当有
n 个点时，以 A 为顶点的线段就有 (n － 1)条，同样以
B 为顶点的线段也有 (n － 1)条，因此 n 个顶点共有 n(n －1) 条线段；但由 A 到 B 得到的线段 AB 和由 B 到 A 得到的线段 BA 是同一条，而每条线段
的数法都是如此，这样对于每一条线段都数了
2 次，所以除以 2 就是所得线段的实际条数， 即当一条直线上有 n 个点时，线段的总条数就等于 1
2
n(n － 1)．
【例 8－ 1】 从秦皇岛开往 A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站之间
的票价都不相同，那么有多少种不同的票价？有多少种车票？
分析：这个问题相当于一条直线上有
4 个点，求这条直线上有多少条线段． 因为任意两 站之间的票价都不相同， 因此有多少条线段就有多少种票价， 根据公式我们很快可以得出有 6 种不同的票价，因为任意两站往返的车票不一样，所以，从秦皇岛到达目的地有 12 种车
票．
解： 当 n ＝ 4 时，有 n(n － 1)＝ 4× (4－1)
＝6(种 )不同的票价．
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