2025版高考数学一轮总复习考点突破第六章数列专题突破10构造法求数列的通项公式

专题突破10 构造法求数列的通项公式
数列通项公式常见求解形式如下（为直观简洁，各式中参数范围略去未写，如⑤中
,1,,⑥中且（为等差型））,累加、累乘法6.1节已讲解，本节重点讲解构造法求通项公式.
序号
基本解题策略
形式（,,,,,等均为常数）
①累加
②
累乘
③
·a na n+1 两边同除以化为①
④
待定系数法化为等比数列
⑤④的特例
⑥两边同取倒数化为⑤
⑦
两边同除以化为⑤
⑧
配凑为等比数列
⑨
配凑为等比数列
核心考点精准突破
考点一构造等差数列求通项公式
例1 求下列数列的通项公式.
（1），;
解：由,知.两边取倒数,得
.所以是以为首项，为公差的等差数列，所以
，.
（2），.
[答案]
等式两边同时除以，得,即.
所以数列是等差数列，公差,首项.
所以.所以.
【点拨】通过对递推式变形得到为常数），可知数列是公差为，首项为的等差数列，进而求出以及.
变式1 求下列数列的通项公式.
（1）,；
解：等式两边同时取倒数,得,
所以.
所以数列是等差数列,且首项,公差为2.
则,所以.
（2），.
[答案]
等式两边同时除以,得.
所以数列是等差数列，公差,首项.
所以.
所以.
考点二构造等比数列求通项公式
例2 求下列数列的通项公式.
（1），；
解：由题意,知，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以，所以
（2）,.
[答案]
（方法一）设,即,比较系数得.
所以.
则数列是首项为,公比为2的等比数列.
所以,
所以.
（方法二）将的两边同除以,得.
令,则.
设,即.
比较系数,得.
则,所以是以为首项,为公比的等比数列.所以
,
则.
所以.
【点拨】是一个典型的可配凑成等比数列求解的递推关系，很多递推关系都可以化为这种类型，比如例或变.配凑时一般用待定系数法确定常数.
变式2 求下列数列的通项公式.
（1），；
解：（方法一）（累乘法）
，得，即.
所以，,, ,.
将这些等式两边分别相乘,得.
因为，所以，
即.
所以.
又也适合上式，
故数列的一个通项公式为.
（方法二）（迭代法）
，
即
，
所以.
又也满足上式，
故数列的一个通项公式为.
（2），.
[答案]
（方法一）设，
即，所以.
即.
则数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以.
（方法二）等式两边同时除以,得.
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，则.
所以.
考点三型数列求通项公式
例3 已知在数列中,,,,求这个数列的通项公式.
解：因为,
所以.
又,
所以是首项为7,公比为3的等比数列.
则.
又,,
所以是首项为,公比为的等比数列.则
.
,得,
所以.
当时,符合上式.
综上,.
【点拨】可配凑化为
，其中,是方程的两个根.若1是方程的根，则干脆构造;若1不是方程的根,则须要构造两个数列，利用消元法求.
变式3 [2024年八省联考节选]已知各项都为正数的数列满足.若,，求的通项公式.
解：因为，所以.
又，所以为常数列，且，即. 所以是以为首项，3为公比的等比数列.
所以.。