【试题】湖南省桃江县第一中学高三数学第二次月考试题理

【关键字】试题
桃江一中2019届高三第二次月考理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. {1,2}
B. {-2，-1,1,2}
C. {1}
D. {0,1,2}
2. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）
A．B． C. D．
3. 一物体在变力F(x)=5-（F的单位：N,x的单位：m）的作用下，沿与力F成30°的方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时力F(x)所做的功为（）
A．B．C．D．
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）
A.1 B C.3 D.4
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A. 25π
B. 26π
C. 32π
D. 36π
6. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7. 设x,y满足不等式组，若的最大值为，最小值为a+1，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）
A. 函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C. 函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行
D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
9. 已知函数，若满足，则的取值范围是（）
A. B. C. (-1,1) D. [-1,1]
10. 已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（m>0），点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（）
A. B. C. D.
11. 已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为
A. B. C. D.
12.已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使成立，则实数a的值为（）A．-1-ln2 B．ln2．-ln2 D．ln2
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 若复数z满足(12+5i)=, 则=
14. 在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为．
15．定义在R上的偶函数f(x) 满足①当 x≧-1时都有f(x＋2)＝(x)，②当x∈[0,1)时，f(x)＝x2；则在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k零点个数最多时，实数k的取值范围是________．
16. 已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，g(x)>f(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，＋＝.若数列的前n项和大于62，则n的最小值为________．
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知f (x) =sin (ωx+φ) –cos (ωx+φ) (0＜φ＜π，ω＞0)，若f (–x) = f (x)，f (x) = f (π–x)对任意实数x 都成立．（i）求f ()的值．（ii）将函数y = f (x)的图象向右移个单位后，再将得到的图象上的各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到函数y = g (x)的图象，试求y = g (x)的对称中心。

18.(本小题满分12分)
某普通中学拟开设美术课.为了了解学生喜欢美术是否与性别有关,该学校对男女生各100名进行了问卷调查,得到如下列联表:
(1)请将上述2×2的前提下认为喜欢美术与性别有关系.
(2)针对问卷调查的200名学生,学校决定从喜欢美术的人中按分层抽样的方法随机抽取9人成立美术宣传组,并在这9人中任选2人作为宣传组的组长,设这2人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B = 900，D 为棱BB1上一点，且面DA ⊥面AA. (1)求证：D 点为棱BB1的中点； (2)若二面角A －A1D － C 的平面角为600，求的值。

20.(本小题满分12分)
如图，已知点E(m,0)(m ＞0)为抛物线y2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． (1)若m ＝1，k1k2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 21.(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝k [(log a x )2
＋(log x a )2
]－(log a x )3
－(log x a )3
， g (x )＝(3－k 2
)(log a x ＋log x a )， (其中a ＞1)，设t ＝log a x ＋log x a .
(1)当x ∈(1，a )∪(a ，＋∞)时，试将f (x )表示成t 的函数h (t )，并探究函数h (t )是否有极值；
(2)若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立，试求k 的范围．
请考生在第22,23,题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.
22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为3)3
cos(=+π
θρ，曲线C 的极坐标方程为ρ=4a cos θ (a >0).
（1）设t 为参数，若t y 2
1
32+
-=，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P,Q ，设)32,0(-M ，且||||||2
MQ MP PQ =，求实数a 的值.
23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲
设f (x )＝|x －3|＋|x －4|．（Ⅰ）解不等式f (x )≤2；（Ⅱ）若存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．
桃江一中2019届高三第二次月考理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D B C C B C C A A A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 14。

或 15. 16. 6
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）f (x) = sin () – cos () = 2sin () ……（2分）
由f (–x) = f (x)可得sin= 0 ∴= 0 ∴……（4分）
又∵f (x) = f (–x) ∴f (–x) = f (–x) ∴周期T = ∴= 2 ……（6分）∵f (x) = 2cos 2x∴f () = 0 ……（7分）
（2）据题意易得g (x) = f () = 2cos2 () = 2cos() ……（9分）
∴= k∴x = 2 k (k∈Z)……（11分）
∴对称中心为（2 k，0）k∈Z ……（12分）
18. 【解析】(1)补充完整的2×2列联表如下:
喜欢美术不喜欢美术合计
男生20 80 100
女生70 30 100
合计90 110 200
计算得K2的观测值k=.001的前提下认为喜欢美术与性别有关系.
(2)喜欢美术的共90人,按分层抽样抽取9人,则每人被抽到的概率均为,从里面需抽取男生2人,女生7人,故X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
故X的分布列为
X0 1 2
P
数学期望EX=0×+1×+2×=.
19. 解：1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF﹑EF。

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C
∴直线DE⊥面AA1C1C ………3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C 由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，
又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，
又点F是AC的中点，所以DB ＝EF ＝ AA1＝ BB1，
所以D点为棱BB1的中
点；………6分
2）解法1：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，
过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知： A1 G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角；………9分
设AA1＝ 2b，AB＝BC＝；
在直角三角形A1A G中，易知 AB ＝ BG。

在直角三角形DB G中，BH＝＝，
在直角三角形CHB中，tan∠CHB＝＝，
据题意有：＝tan600 ＝，
解得：，
所以 ＝ 。

………12分
2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝ ， 则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0) 所以， ………8分
设面DA 1C 的法向量为
则 可取 又可取平面AA 1DB 的法向量
cos 〈〉 ………10分
据题意有：
，解得： ＝ ………12分
20.解 (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD . 设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由y2＝4x ，y ＝k1(x －1得k 1y 2
－4y －4k 1＝0， y 1＋y 2＝k14，y 1y 2＝－4. ∵M 2y1＋y2，∴M k12，同理，点N (2k 12
＋1，－2k 1)，
∴S △EMN ＝21|EM |·|EN |＝2122·2＝2＋22≥2＝4，当且仅当k 12＝12
，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取得最小值4.
(2)设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由y2＝4x y ＝k1(x －m 得k 1y 2
－4y －4k 1m ＝0， y 1＋y 2＝k14，y 1y 2＝－4m ，
∵M 2y1＋y2，∴M k12，
同理，点N k22， ∴k MN ＝k1＋k2k1k2
＝k 1k 2.
∴直线MN 的方程为y －k12＝k 1k 2＋m 2
，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．
21. 解 (1)∵(log a x )2
＋(log x a )2
＝(log a x ＋log x a )2
－2＝t 2
－2， (log a x )3
＋(log x a )3
＝(log a x ＋log x a )[(log a x ＋log x a )2
－3]＝t 3
－3t ， ∴h (t )＝－t 3
＋kt 2
＋3t －2k ，(t ＞2)． ∴h ′(t )＝－3t 2
＋2kt ＋3
设t 1，t 2是h ′(t )＝0的两根，则t 1t 2＜0，∴h ′(t )＝0在定义域内至多有一解，
欲使h (t )在定义域内有极值，只需h ′(t )＝－3t 2
＋2kt ＋3＝0在(2，＋∞)内有解，且h ′(t )的值在根的左右两侧异号，∴h ′(2)＞0得k ＞49.
综上：当k ＞49时h (t )在定义域内有且仅有一个极植，当k ≤49
时h (t )在定义域内无极值． (2)∵存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立等价于f (x )－g (x )的最大值大于0. ∵t ＝log a x ＋log x a ，∴m (t )＝－t 3
＋kt 2
＋k 2
t －2k ，(t ≥2)， ∴m ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋k 2
＝0得t 1＝k ，t 2＝－3k . 当k ＞2时，m (t )max ＝m (k )＞0得k ＞2；
当0＜k ≤2时，m (t )max ＝m (2)＞0得217－1
＜k ≤2； 当k ＝0时，m (t )max ＝m (2)＜0不成立． 当－6≤k ＜0时，
m (t )max ＝m (2)＞0得－6≤k ＜217－1
；
当k ＜－6时，m (t )max ＝m 3k
＞0得k ＜－6. 综上得：k 的取值范围是217－1∪，＋∞17－1
. 22.【解析】
（1）直线的极坐标方程为所以，即
因为为参数，若，代入上式得，
所以直线的参数方程为（为参数）
（2）由
，得
由代入，得
将直线
的参数方程与
的直角坐标方程联立得
（*）
，设点
分别对应参数恰为上述方程的根
则，
由题设得，则有
，得或
因为
，所以
.
23.【解析】
（Ⅰ）f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝2x －7，x ＞4．1，3≤x≤4，
……………………………2分
作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为2 5 和2 9
，由图象知 不等式f (x )≤2的解集为[2 5 ，2 9
]．
……………………………5分
（Ⅱ）函数y ＝ax －1的图象是过点(0，－1)的直线．
当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ．
由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[2 1
，＋∞)． ………………………10分
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