直线方程高二数学选择性必修第一册)(原卷版)

专题3直线方程
目录
【题型一】倾斜角.............................................................................................................................1【题型二】斜率.................................................................................................................................2【题型三】直线平行与垂直.............................................................................................................3【题型四】截距式及截距应用.........................................................................................................4【题型五】动直线（含参）...........................................................................................................5【题型六】动直线与距离最值.........................................................................................................6【题型七】动直线:三角函数型（切线型）................................................................................7【题型八】双动直线.........................................................................................................................8【题型九】平行线之间的距离.........................................................................................................8培优第一阶——基础过关练.............................................................................................................9培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................11培优第三阶——培优拔尖练.. (12)
【题型一】倾斜角
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）直线5πcos sin 0,0,6x y θθθ⎛⎫
+=∈ ⎪⎝⎭
的斜率的取值范围为
（）
A ．
(-∞B ．(2,)+∞C ．(D ．(,2)
-∞
1.（2021·北京市第十二中学高二阶段练习）直线cos 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（
）
A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪
⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥
⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥
⎣⎦⎝⎦
D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
2.（2021·全国·高二期中）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，若k ⎡⎤∈⎣⎦，则α的取值
范围为（）
A ．20,,43ππ
π⎡⎤
⎡⎫
⋃⎪
⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．50,,46ππ
π⎡⎤
⎡⎫
⋃⎪
⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D ．3,34ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
3.（2022·江苏·高二专题练习）若,62ππα⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，则直线4cos 670x y α+-=的倾斜角的取值范
围是（）
A ．,62ππ⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
B ．5,6ππ⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
C ．0,6π⎛⎤
⎥
⎝⎦
D ．5,26ππ⎛⎤ ⎥
⎝⎦
【题型二】斜率
【典例分析】
（2021·全国·高二单元测试）已知四边形OABC 各顶点的坐标分别为(0,0)O ，(2,1)A ，()1,3B ，(1,2)C -，点D 为边OA 的中点，点E 在线段OC 上，且DBE ∆是以角B 为顶角的等腰三角形，记直线EB ，DB 的倾斜角分别为α，β，则sin()αβ+=
A ．35-
B ．45-
C ．35
D ．
45
1.（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点()()2,3,2,1A B --，若直线():12l y k x =--与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（）
A ．1,53⎛⎫- ⎪
⎝⎭
B ．1,3⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭C ．()
5,+∞D ．()
1,5,3∞∞⎛
⎫--⋃+ ⎪⎝
⎭2.（2022·全国·高二课时练习）若直线l 经过点()1,2A ，且在x 轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（）
A ．11,2⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭B ．1,02⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C ．()1
,1,2⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎝⎭
D ．()1,1,2⎛⎫
-∞-⋃-+∞ ⎪
⎝⎭
3..（2022·全国·高二课时练习）设集合()3
,2,,1y A x y x y R x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭
，(){},4160,,B x y x ay x y R =+-=∈，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（）
A ．()()
,44,-∞⋃+∞B ．()()
,22,-∞--+∞C ．()()()
,22,44,-∞-⋃-⋃+∞D ．()()()
,44,22,-∞-⋃-⋃+∞【题型三】直线平行与垂直
【典例分析】
.（2022·全国·高二单元测试）已知点()1,1A -，()3,5B ，若点A ，B 到直线l 时距离都为2，则直线l 的方程不可能为（）
A ．
20x y -+-=B ．20x y -++=C ．3
y =D ．10
x y --=
1.（2021·四川绵阳·高二阶段练习（理））已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，
()(){},2310B x y ax a y =
++-=.若A
B =∅，则实数=a （
）
A ．3
B ．1
-C ．3或1
-D ．3-或1
2..（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知0a >，0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则21
12a a b
+++的最小值为（）
A ．2
B ．4
C ．45
D ．
9
5
3.（2021·全国·高二专题练习）已知直线21cos 20l x α+=：，若12l l ⊥，则2l 的倾斜角的取值范围是（）A ．,32ππ⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
B ．0,6π⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
【题型四】截距式及截距应用
【典例分析】
（2021·全国·高二课时练习）过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
1.（2022·江苏·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，设函数
()(2)3f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；②存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有二条；③存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条．其中，所有真命题的序号是．A ．①②③B ．③④C ．②④D ．②③④2.（2022·全国·高二课时练习）过点()1,3作直线l ，若l 经过点(),0a 和()0,b ，且,a b *∈N ，则可作出这样的直线l 的条数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．多于3
3.（2022·全国·高三专题练习）已知过定点直线40kx y k -+-=在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）
A ．270x y --=
B ．270
x y -+=C ．260
x y +-=D ．260
x y +-=【题型五】动直线（含参）
【典例分析】
2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）不论k 为何实数，直线
()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（
）
A ．()5,2
B ．()2,3
C ．()
5,9D ．1,32⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
1.（2022·全国·高二）无论k 为何实数，直线212()()(0)8k x k y k +---=+恒过一个定点，这个定点是（）
A ．(0,0)
B ．(2,3)
C ．(3,2)
D ．(2,3)
-2.
（2021·湖北·高二阶段练习）无论m 为何值，直线21y mx m =++所过定点的坐标为（）
A ．(2,1)--
B ．(2,1)-
C ．(2,1)-
D ．(2,1)3.已知直线0)2()3(=-++-n y n m x n m 则当m 、n 变化时，直线都通过定点
【题型六】动直线与距离最值
【典例分析】
（2022·江苏·高二单元测试）已知点(2,1)P --和直线:(12)(13)20l x y λλλ++-+-=，则点P 到直线l 的距离的取值范围是（）
A ．(
B ．⎡⎣
C ．(
0,D ．0,⎡⎣
【变式训练】
1.（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）原点到直线l ：()342220x y x y λ+-+++=的距离的最大值为（）
A ．
2
5
B ．
C
D 2.（2021·河北·大名县第一中学高三阶段练习）已知点(2,2)P -，直线
:(2)(1)460l x y λλλ+-+--=，则点P 到直线l 的距离的取值范围为__________.
3.（2021·全国·高二阶段练习）对于任意实数k ，直线()()2120k x k y --＋＋＝与点()22--，
的距离为d ，则d 的取值范围是（）
A ．0⎡⎣
B ．(
C ．0⎡⎢⎣
⎦D ．0⎛ ⎝⎦
【题型七】动直线:三角函数型（切线型）
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=（02θπ≤≤），则下列命
题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M 中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点P 不在M 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A ．3B ．4C ．5D ．6
1.（2021·浙江省青田县中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 内，点(1,1)M ，集合
{}=(,)|cos sin 2,P x y x y R θθθ-=∈，任意的点N P ∈，则||MN 的取值范围是___________.
2.（2022·江苏·高二单元测试）已知直线12:10,:10,l ax y l x ay a R -+=++=∈，以下结论不正确的是（
）
A ．不论a 为何值，1l 与2l 都互相垂直
B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -
C ．不论a 为何值，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称
D ．若
1l 与2l 交于点M ．则MO
3.（2021·吉林·白城一中高二阶段练习）已知集合S ={直线l sin cos |1,x y m n
θθ
+=其中,m n 是正常数[)0,2θ∈π}，下列结论中正确的是（）
A ．当4πθ=
时，S 中直线的斜率为n m
B ．S 中所有直线均经过同一个定点
C ．当m n ≥时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【题型八】双动直线
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）设R m ∈，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线
20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．
1.（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．
B ．
C ．3
D ．6
2.（2023·全国·高三专题练习）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）A
B ．5
C ．
D ．
5
2
3.（2022·全国·高二）过定点A 的直线()0x my m R -=∈与过定点B 的直线()30mx y m m R +-+=∈交于点(),P x y ，则22||PA PB +的值为（
）A
B ．10
C ．
D ．20
【题型九】平行线之间的距离
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a ，
b 是方程20x x
c ++=的两个实根，且1
08
c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小
值分别是（）
A ．1
B ，13
C ，12
D ．1
1.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
2.（2022·全国·高二课时练习）若P ，Q 分别为直线34120x y +-=与直线6810x y ++=上任意一点，则PQ 的最小值为（）A ．
3
2
B ．
135
C ．
2310
D ．
52
3.（2022·全国·高二期末）某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210x y ++=和230x y ++=，另一组对边所在的直线方程分别为1340x y c -+=和2340x y c -+=，则12c c -=（
）
A ．
B ．
C ．2
D ．4
培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二）直线sin 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）
A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪
⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥
⎣⎭⎝⎦C ．30,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥
⎣⎦⎝⎦
D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
2..（2021·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知两点()3,4A -，()3,2B ，直
线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______．
3.（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二期中（文））“2m =-”是“直线1l ：460mx y +-=与直线2l ：30x my +-=平行”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.（2022·江苏·高二课时练习）已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是
y kx b =+的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.（2022·浙江舟山·高二期末）下列对动直线()()34330m x y m m R ++-+=∈的四种表述不正确的是（
）
A ．与曲线C ：2220x y +=可能相离，相切，相交
B ．恒过定点()
3,3-C ．3m =-时，直线斜率是0
D ．1m =时，直线的倾斜角是135°
6.（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线()():324220l x y λλλ++++-=的距离的最大值为（）
A ．
5
B ．
25
C ．
D ．
5
广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知实数,x y 满足cos sin 1x y αα+=，则
_______．
8.（2021·重庆市万州第二高级中学高二期末）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和
过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）
A ．
B ．
C ．6
D ．3
9.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）
A
3
B C D ．
3
培优第二阶——能力提升练
1.（2018·四川省资阳中学高一阶段练习（理））已知
()11αtanαx x 0,2x ⎛⎫
=+≠ ⎪⎝⎭为直线的倾斜角，且则倾斜角α的取值范围为_________
2..（2022·全国·高二）设点(3,5)A -，(2,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直
线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³或3k ≤-B ．31k -≤≤C ．13k -≤≤D ．以上都不对3..（2022·全国·高二课时练习）已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p .则m n p +-等于（）A ．24
B ．20
C ．4
D ．0
4.（2022·全国·高二专题练习）已知0a b >>0，，直线x
y b a
+=在x 轴上的截距为1，则9a b +的最小值为（）A ．3
B ．6
C ．9
D ．10
5.（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（
）
A ．互相平行
B ．都经过一个定点
C ．其中某一条直线与另两条直线垂直
D ．其中不可能存在两条直线互相垂直
6.（2021·江苏·高二专题练习）已知直线:10(00)l Ax By C A B ++-=>>，恒过定点()0m
，，若点()22，
到直线l 的最大距离为2，则11
2A C
+的最小值为（）A ．
1
4
B ．
34
C ．4
D ．
92
7.（2022·全国·高二课时练习）对于直线系:cos (1)sin 2M x y θθ+-=，02θπ≤≤，下列说法错误的有（
）．
A ．存在定点C 与M 中的所有直线距离相等
B ．M 中不存在两条互相平行的直线
C ．M 中存在两条互相垂直的直线
D ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上
8.
（2020·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）已知m R ∈，动直线1l ：10x my +-=过定点A ，动直线2l ：230mx y m --+=过定点B ，若1l 与2l 交于点P （异于点A ，B ），则PA PB +的最大值为______.
9..（2021·湖北·武汉市第十一中学高二阶段练习）若动点()11,M x y ，()22,N x y 分别在直线70x y ++=与直线50x y ++=上移动，则MN 的中点P 到原点的距离的最小值为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．培优第三阶——培优拔尖练
.1.（2022·全国·高二课时练习）1:1l x =与直线sin cos 104
2x y π
πααα⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭的夹角是
（）
A ．α
B ．2
πα-
C ．
2
π
α-D ．πα
-
2.
（2023·全国·高三专题练习）曲线13y =与过原点的直线l 没有交点，则l 的倾斜角α的取值范围是
A ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪
⎢⎢⎣⎦⎣⎭
U B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
C ．2,3ππ⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
D ．0,3π⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
3.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）过坐标原点O 作直线l ：()()2160a x a y ++--=的垂线，垂足为(),H s t ，则22s t +的取值范围是（）
A ．0,⎡⎣
B ．(
0,C ．[]0,8D ．(]
0,84.（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（）A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
5.（2022·北京市十一学校高一阶段练习）已知直线():22l y k x =-+，当k 变化时，点()1,2P -到直线l 的距离的取值范围是（）
A ．[)
0,∞+B ．[]
0,2C ．[]
0,3D ．[)
0,36.2023·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定
点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12
1m n
++的最小值为（）A ．2
3B ．43C ．2D ．4
7.（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）直线系:(3)cos sin 2A x y αα-+=，直线系A 中能组成正三角形的面积等于______.
8.（2021·江苏·高二专题练习）设m R ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点()P x y ，，则PA PB +的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．⎡⎣
D ．5⎡⎣9.（2021·全国·高二课时练习）若倾斜角为45°的直线m 被直线1:10l x y +-=与
2:30l x y +-=所截得的线段为AB ，则AB 的长为（
）
A ．1
B
C D ．2。