2019苏教版一轮优化探究(文科数学)练习：第二章 第一节 函数及其表示含解析

一、填空题1．已知f (x )＝Error!
则f ()＋f (－)的值等于________．4
343解析：f ()＝；f (－)＝f (－)＋1＝f ()＋243124
31
32
3＝，f ()＋f (－)＝3.5
24
34
3答案：3
2．已知f ()＝，则f (x )的解析式可取为________．
1－x
1＋x 1－x 2
1＋x 2解析：(换元法)令t ＝，由此得x ＝，所以f (t )＝
＝，从而f (x )的解析式1－x
1＋x 1－t
1＋t 1－(
1－t 1＋t )2
1＋(1－t
1＋t )2
2t
1＋t 2可取为.
2x
1＋x 2答案：2x
1＋x 23．设f (x )＝Error!
则f [f ()]＝________.
1
2解析：f [f ()]＝f (－)＝.
123
24
13答案：4
13
4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________．
解析：令x ＝－3，y ＝1，则f (－2)＝f (1)＋f (－3)－6.又∵f (1)＝2，∴f (－3)＝f (－2)＋4.
令x ＝－2，y ＝1，则f (－1)＝f (1)＋f (－2)－4，∴f (－2)＝f (－1)＋2.
令x ＝－1，y ＝1，f (0)＝f (－1)＋f (1)－2.又x ＝y ＝0时，f (0)＝0，∴f (－1)＝0，∴f (－3)＝f (－2)＋4＝f (－1)＋6＝6.答案：6
5．已知函数f (x )＝ax ＋－4(a ，b 为常数)，f (lg 2)＝0，则f (lg )＝________.
b
x 1
2解析：由题意得f (lg
2)＝a lg
2＋－4＝0，有a lg
2＋＝4，则f (lg
)＝a lg
b
lg 2b
lg 212＋－4＝－a lg 2－－4＝－8.
12b lg 1
2b
lg 2答案：－8
6．定义在R 上的函数f (x )满足f (m ＋n 2)＝f (m )＋2[f (n )]2，m ，n ∈R ，且f (1)≠0，则f (2 014)
＝________.
解析：令m ＝n ＝0，得f (0＋02)＝f (0)＋2[f (0)]2，所以f (0)＝0；令m ＝0，n ＝1，得f (0＋12)＝f (0)＋2[f (1)]2，
由于f (1)≠0，所以f (1)＝；令m ＝x ，n ＝1，1
2得f (x ＋12)＝f (x )＋2[f (1)]2，
所以f (x ＋1)＝f (x )＋2×()2，
1
2
即f (x ＋1)＝f (x )＋，
1
2这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为，公差为的等差数列，所以f (2 014)＝＋(2 014－1)×＝1 1
21
21
21
2007.答案：1 007
7．已知f (＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.
2
x 解析：令＋1＝t (t >1)，则x ＝，
2
x 2
t －1∴f (t )＝lg (t >1)，f (x )＝lg (x >1)．
2
t －12
x －1答案：lg (x >1)
2
x －18．函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为
________．答案：f (x )＝Error!
9．已知a 、b 为实数，集合M ＝，N ＝{a,0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射{b
a ，1}到集合N 中仍为x ，则a ＋
b ＝________.
解析：由题意可知＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1.b
a 答案：1二、解答题
10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝Error!(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3
，
∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，
故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝Error!
当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时， f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝Error!
11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线
OB 上自O 开始移动．设
OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积
为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象．
解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝x ，
1
2∴S ＝x ·x ＝x 2；
121
21
4当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，
∴S ＝×3×1－(3－x )·(3－x )
1
21
2＝－x 2＋3x －3；
1
2
当x >3时，S ＝.3
2∴S ＝f (x )＝Error!.函数图象如图所示．
12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x .(1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；
(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．解析：(1)因为对任意x ∈R 有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.
又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a .(2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，
又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0.在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x ＋x 0＝x 0.20又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x ＝0，20故x 0＝0或x 0＝1.
若x 0＝0，则f (x )＝x 2－x ，但方程x 2－x ＝x 有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x 0≠0.
若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件．综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。