2024届全国高考(统考版)理科数学复习历年好题专项(函数的图像)练习(附答案)

2024届全国高考（统考版）理科数学复习历年好题专项（函数的图像）练习
命题范围：简单函数图像及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022ꞏ全国甲卷(理)，5]函数y ＝(3x －3－
x )cos x 在区间⎣⎡⎦
⎤－π2，π2 的图像大致为( )
2．为了得到函数y ＝log 2x －1 的图像，可将函数y ＝log 2x 图像上所有点的( ) A ．纵坐标缩短为原来的1
2 ，横坐标不变，再向右平移1个单位 B ．纵坐标缩短为原来的1
2 ，横坐标不变，再向左平移1个单位 C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
3．[2023ꞏ安徽省滁州市高三质检]函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )
A ．f (x )＝x 2sin |x |
e x B ．
f (x )＝x 2cos |x |
e x C ．
f (x )＝x 2|sin x |
e x D ．
f (x )＝x 2|cos x |
e x
4．[2023ꞏ河南省郑州市高三质量预测]函数f (x )＝3x －3－
x
x 2＋|x |－2
的部分图像大致是( )
5．[2023ꞏ江西省九江市二模]已知函数y ＝f (x )的部分图像如图所示，则y ＝f (x )的解析式可能是( )
A ．f (x )＝sin x
e x ＋e
－x B ．f (x )＝sin x e x －e －x
C ．f (x )＝
cos x
e x
－e
－x D ．f (x )＝cos x e －x
－e x 6．对于函数f (x )＝
x ＋2
x ＋1
的图像及性质的下列表述，正确的是( ) A ．图像上点的纵坐标不可能为1 B ．图像关于点(1，1)成中心对称 C ．图像与x 轴无交点
D ．图像与垂直于x 轴的直线可能有两个交点
7．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图像对应的函数为( )
A ．y ＝f (|x |)
B ．y ＝f (－|x |)
C ．y ＝|f (x )|
D ．y ＝－f (|x |)
8．[2023ꞏ全国甲卷(理)]函数y ＝f (x )的图象由函数y ＝cos (2x ＋π6 )的图象向左平移π
6 个单位长度得到，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝12 x －1
2 的交点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 9．函数y ＝1
1－x
的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像的所有交点的横坐标之和等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 二、填空题
10．若函数y ＝f (x )的图像经过点(2，3)，则函数y ＝f (－x )＋1的图像必定经过的点的坐标为________．
11．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图像如图所示，那么不等式f （x ）
cos x <0的解集为________.
12．已知函数y ＝|x 2－1|
x －1 的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取
值范围是________．
[能力提升]
13．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图像的形状大致是( )
14．[2023ꞏ安徽省江南十校一模]函数f (x )＝|x ＋1|＋ax 的图像不可能是( )
15．[2023ꞏ江西省南昌市高三二模]已知函数f (x )＝1
3 x 3＋ax 2＋bx ＋c (a <0，b <0)，则函数f (x )的图像可能是( )
16．[2023ꞏ郑州市质检] 已知函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，h (x )＝kx －2k ＋1(k ∈R )，给出下列四个命题，其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)
①存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根； ②存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根；
③任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)； ④任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1).
参考答案
1．A 设函数f (x )＝(3x －3－x )cos x ，则对任意x ∈[－π2 ，π2 ]，都有f (－x )＝(3－
x －3x )cos (－x )＝－(3x －3－
x )cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因此排除B ，D 选项．又f (1)＝(3
－3－
1)cos 1＝83 cos 1＞0，所以排除C 选项．故选A.
2．A 把函数y ＝log 2x 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的1
2 ，横坐标不变，得到函数y ＝12 log 2x 的图像，再向右平移1个单位，得到函数y ＝1
2 log 2(x －1)的图像，即函数y ＝log 2(x －1)1
2
＝log 2x －1 的图像．
3．A 对于B 选项，f (π
2 )＝0，与题图不符；
对于C 选项，当π<x <3π2 时，|sin x |>0，则f (x )＝x 2|sin x |
e x >0，与题图不符；对于D 选项，
f (π
2 )＝0，与题图不符．
排除BCD 选项．
4．C f (－x )＝
3－
x －3x
（－x ）2＋|－x |－2 ＝3－
x －3x x 2＋|x |－2
＝－3x －3－
x
x 2＋|x |－2
＝－f (x )，
所以f (x )为奇函数，排除A 选项；令x 2＋|x |－2＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以f (x )在x ＝1和x ＝－1处没有意义，函数图像存在虚线，当取1.000 001时，f (x )分母为正，分子为正所以函数值为正数，排除B 选项；
当x ＝－1
2 时，f (x )分母为负，分子为负，所以f (x )为正数，排除D 选项；对比图像和函数值知只有C 选项符合题意．
5．D 函数f (x )在x ＝0处无定义，排除选项A ，函数f (x )的图像关于原点对称，故f (x )为奇函数，排除选项B ，当0<x <1时，cos x >0，e x >e －
x ，故cos x e x －e
－x >0，排除选项C.
6．A 函数f (x )＝
x ＋2x ＋1 ＝1＋1x ＋1 ，∵1
x ＋1 ≠0，∴f (x )≠1.故A 正确；显然f (x )的图像关于(－1，1)成中心对称，故B 不正确；∵当x ＝－2时，f (x )＝0，故图像与x 轴有交点，C 不正确；由函数的概念知D 不正确．
7．B 图②是由图①y 轴左侧图像保留，左右关于y 轴对称得，故图②对应的答案解析式为y ＝f (－|x |).
8．C 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向左平移π
6 个单位长度后得到函数f (x )＝cos ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝－sin 2x 的图象．作出函数f (x )的部分图象和直线y ＝12 x －12 如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.
9．D 由题意知y ＝1
1－x ＝－1x －1 的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y
＝2sin πx 的周期为T ＝2π
π ＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，
因此两图像的交点也一定关于点(1，0)成中心对称， 再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，
因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.故选D. 10．(－2，4)
答案解析：由题意得f (2)＝3，又y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，∴y ＝f (－x )过点(－2，3)，∴y ＝f (－x )＋1的图像过点(－2，4).
11.⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭
⎫1，π2 答案解析：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2 时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4 时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图像知， 当1<x <π
2 时，f （x ）cos x <0. 又函数y ＝f （x ）
cos x 为偶函数，
∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π
2，－1 ， 所以f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π
2 . 12．(0，1)∪(1，4)
答案解析：根据绝对值的意义，
y ＝|x 2－1|x －1 ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）.
在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．
13．A y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1
2x ，0≤x <1，
34－x
4，1≤x <2，54－12
x ，2≤x ≤52， 画出分段函数的大致图像，如图所示．故选
A.
14．D 当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＋1，x ≥－1
－x －1，x <－1 ，图像为A ； 当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋x ＝⎩⎪⎨
⎪⎧2x ＋1，x ≥－1
－1，x <－1 ，图像为C ；当a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|－x ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧1，x ≥－1
－2x －1，x <－1 ，图像为B. 当x ≥－1时f (x )＝x ＋1＋ax ＝(1＋a )x ＋1为常数函数，则1＋a ＝0，解得a ＝－1，显然与B 的图像矛盾，故D 错误．
15．B 由题f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b (a <0，b <0)，Δ＝4a 2－4b >0， 导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x 1，x 2， 且x 1＋x 2＝－2a >0，x 1ꞏx 2＝b <0，只有B 图符合． 16．①②④
答案解析：画出|f (x )|＝|e x －2|的函数图像，如图：
h (x )＝kx －2k ＋1经过定点(2，1)，从图中可以看出存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根；①正确；
存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根，②正确；
要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，只需函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )始终有两个交点，当a ＝1时，g (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12 )2－1
4 ，开口向上，且最小值为－1
4 ，此时图像如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；
要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＝－[g (x 1)－g (x 2)]，只需f (x )＝e x －2与－g (x )＝－x 2－ax ，无论a 取何值，都有两个交点，其中－g (x )＝－x 2
－ax ＝－(x ＋a 2 )2＋a 24 开口向下，且有最大值为a 2
4 ≥0，且恒过(0，0)，
画出两函数图像如下，其中－g (x )＝－x 2
－ax ＝－(x ＋a 2 )2＋a 24 为一组抛物线，用虚线表示：
无论a 取何值，都有两个交点，④正确．。