【高考推荐】2020-2021高考数学二轮复习专题五解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质能力
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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
一、选择题
1.(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225-y 2
20=1的渐近线方程为( )
A .y =±4
5x
B .y =±5
4x
C .y =±1
5
x
D .y =±25
5
x
解析:在双曲线 x 225-y 220=1中,a =5,b =25,而其渐近线方程为y =±b
a x ,∴其渐近线方
程为y =±25
5
x ,故选D.
答案:D
2.已知椭圆C 的方程为x 2
16+y 2m 2=1(m >0),如果直线y =2
2
x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的
射影恰好是椭圆的右焦点F ,则m 的值为( )
A .2
B .2 2
C .8
D .2 3
解析:根据已知条件得c =16-m 2
,则点⎝ ⎛⎭
⎪⎫16-m 2,2216-m 2在椭圆x 2
16+y 2
m 2=1(m >0)上,
∴16-m 2
16+16-m
2
2m
2=1,可得m =2 2.
答案:B
3.(2018·张掖模拟)双曲线x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+(y -2)2
=1相切,则双
曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C .2 D .3
解析:双曲线x 2a 2-y 2b
2=1的渐近线与圆x 2+(y -2)2
=1相切,则圆心(0,2)到直线bx -ay =0的
距离为1,所以
2a
a 2+b
2
=1,即2a c =1,所以双曲线的离心率e =c
a
=2,故选C. 答案:C
4.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2,且以线
段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( )
A.
63 B.33 C.23 D.13
解析:以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0),半径为a .由题意,圆心到直线bx -
ay +2ab =0的距离为2ab
a 2+b
2=a ,即a 2
=3b 2
.又e 2
=1-b 2a 2=23,所以e =6
3.
答案:A
5.已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的焦距为45,渐近线方程为2x ±y =0,则双曲线的方
程为( )
A.x 24-y 2
16=1 B.x 216-y 2
4=1 C.x 216-y 264
=1 D.
x 2
64-y 2
16
=1 解析:易知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上,所以由渐近线方程为2x ±y =0,
得b a
=2,因为双曲线的焦距为45,所以c =25,结合c 2=a 2+b 2
,可得a =2,b =4,所以双曲线的方程为x 24-y 2
16
=1,故选A.
答案:A
6.(2018·长春模拟)已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2
-y 2
=1的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH |=( )
A .1
B .2
C .4
D.12
解析:不妨设P 在双曲线的左支,如图,延长F 1H 交PF 2
于点M ,由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ,故△PF 1M 为等
腰三角形,|PF 1|=|PM |且H 为F 1M 的中点,所以OH 为△MF 1F 2的中位线,所以|OH |=12|MF 2|=12(|PF 2|-|PM |)=1
2(|PF 2|-|PF 1|)=
1.故
选A.
答案:A
7.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)
到C 的渐近线的距离为( )
A. 2 B .2 C.32
2
D .2 2
解析:由题意,得e =c a
=2,c 2=a 2+b 2,得a 2=b 2
.又因为a >0,b >0,所以a =b ,渐近线方程为x ±y =0,点(4,0)到渐近线的距离为
42
=22,
故选D. 答案:D
8.(2018·石家庄一模)已知直线l :y =2x +3被椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)截得的弦长为7,
有下列直线:①y =2x -3;②y =2x +1;③y =-2x -3;④y =-2x +3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
解析:易知直线y =2x -3与直线l 关于原点对称,直线y =-2x -3与直线l 关于x 轴对称,直线y =-2x +3与直线l 关于y 轴对称,故由椭圆的对称性可知,有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.选C.
答案:C
9.(2018·洛阳模拟)设双曲线C :x 216-y 2
9=1的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的渐近线的垂线,
垂足分别为M ,N ,若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离,则d
|PF |
的值为( )
A.34
B.45
C.54
D .无法确定
解析:双曲线C :x 216-y 2
9=1中,a =4,b =3,c =5,右焦点F (5,0),渐近线方程为y =±3
4x .
不妨设M 在直线 y =34x 上,N 在直线y =-34x 上,则直线MF 的斜率为-43,其方程为y =-4
3(x -
5),设M (t ,34t ),代入直线MF 的方程,得34t =-43(t -5),解得t =165,即M (165,12
5
).由对称性
可得N (165,-125),所以直线MN 的方程为x =165.设P (m ,n ),则d =|m -165|,m 216-n 2
9=1,即n
2
=916
(m 2
-16),则|PF |=m -5
2
+n 2
=14|5m -16|.故d |PF |=|m -165
|
14
|5m -16|=45
,故选B.
答案:B
10.(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2
=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23
的直线与
C 交于M ,N 两点,则FM →·FN →
=( )
A .5
B .6
C .7
D .8
解析:由题意知直线MN 的方程为y =2
3(x +2),
联立直线与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧
y =23
x +2,
y 2=4x ,
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x =1,y =2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x =4,y =4.
不妨设M 为(1,2),N 为(4,4).
又∵抛物线焦点为F (1,0),∴FM →=(0,2),FN →
=(3,4), ∴FM →·FN →
=0×3+2×4=8. 故选D. 答案:D
11.(2018·广西五校联考)已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,
过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ,N 两点,若MF 1→·NF →
1>0,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A .(2,2+1)
B .(1,2+1)
C .(1,3)
D .(3,+∞)
解析:设F 1(-c,0),F 2(c,0),
依题意可得c 2a 2-y 2b 2=1,得到y =b 2
a
,
不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,N ⎝
⎛⎭⎪⎫c ,-b 2
a , 则MF →
1·NF →1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2c ,-b 2
a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫-2c ,b 2
a =4c 2
-b 4
a
2>0,
得到4a 2c 2-(c 2-a 2)2
>0, 即a 4
+c 4
-6a 2c 2
<0, 故e 4
-6e 2
+1<0,
解得3-22<e 2
<3+22, 又e >1,所以1<e 2<3+22, 解得1<e <1+ 2 答案:B
12.(2018·南昌模拟)抛物线y 2
=8x 的焦点为F ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线上的两个动点,若x 1+x 2+4=23
3
|AB |,则∠AFB 的最大值为( )
A.π3
B.3π4
C.5π6
D.2π3
解析:由抛物线的定义可得|AF |=x 1+2,|BF |=x 2+2,又x 1+x 2+4=23
3|AB |,
得|AF |+|BF |=23
3|AB |,
所以|AB |=
3
2
(|AF |+|BF |). 所以cos ∠AFB =|AF |2
+|BF |2
-|AB |
2
2|AF |·|BF |
=
|AF |2
+|BF |2
-⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32()|AF |+|BF |2
2|AF |·|BF |
=14|AF |2+14|BF |2
-32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |
=18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |+|BF ||AF |-34≥1
8×2|AF ||BF |·|BF ||AF |-34=-1
2
,而0<∠AFB <π, 所以∠AFB 的最大值为2π
3
.
答案:D 二、填空题
13.(2018·成都模拟)已知双曲线x 2a 2-y 22
=1(a >0)和抛物线y 2
=8x 有相同的焦点,则双曲线
的离心率为________.
解析:易知抛物线y 2
=8x 的焦点为(2,0),所以双曲线x 2a 2-y 22
=1的一个焦点为(2,0),则a 2
+
2=22
,即a =2,所以双曲线的离心率e =c a
=
22
= 2.
答案: 2
14.(2018·武汉调研)双曲线Γ:y 2a 2-x 2
b
2=1(a >0,b >0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离
为3,则Γ的实轴长等于________.
解析:双曲线的焦点(0,5)到渐近线y =a b
x ,即ax -by =0的距离为
|5b |
a 2+b
2
=5b
c
=b =3,所以
a =4,2a =8.
答案:8
15.(2018·唐山模拟)过抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF |=2|BF |=6,则p =________.
解析:设AB 的方程为x =my +p
2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1>x 2,将直线AB 的方程代入抛
物线方程得y 2
-2pmy -p 2
=0,所以y 1y 2=-p 2,
4x 1x 2=p 2
.设抛物线的准线为l ,过A 作AC ⊥l ,垂足为C ,过B 作BD ⊥l ,垂足为D ,因为|AF |=2|BF |=6,根据抛物线的定义知,|AF |=|AC |=x 1+
p
2=6,|BF |=|BD |=x 2+p
2=3,所以x 1-x 2=3,x 1+x 2=9-p ,所以(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2=4x 1x 2=p 2
,
即18p -72=0,解得p =4.
答案:4
16.(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设A ,B 是椭圆C :x 23+y 2
m =1长轴的两个端点.若C 上存在点
M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范围是________.
解析:当0<m <3时,焦点在x 轴上, 要使C 上存在点M 满足∠AMB =120°, 则a b
≥tan 60°=3,即
3
m
≥ 3,
解得0<m ≤1.
当m >3时,焦点在y 轴上,
要使C 上存在点M 满足∠AMB =120°, 则a b
≥tan 60°=3,即
m
3
≥3,解得m ≥9.
故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 答案:(0,1]∪[9,+∞) 三、解答题
17.(2018·辽宁五校联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上
顶点为B ,若△BF 1F 2的周长为6,且点F 1到直线BF 2的距离为b .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设A 1,A 2是椭圆C 长轴的两个端点,P 是椭圆C 上不同于A 1,A 2的任意一点,直线A 1P 交直线x =m 于点M ,若以MP 为直径的圆过点A 2,求实数m 的值.
解析:(1)由题意得F 1(-c,0),F 2(c,0),B (0,b ), 则2a +2c =6,①
直线BF 2的方程为bx +cy -bc =0, 所以|-bc -bc |c 2+b 2
=b ,即2c =a ,② 又a 2
=b 2
+c 2
,③
所以由①②③可得a =2,b =3, 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2
3
=1.
(2)不妨设A 1(-2,0),A 2(2,0),P (x 0,y 0), 则直线A 1P 的方程为y =y 0
x 0+2
(x +2),
所以M (m ,
y 0
x 0+2
(m +2)),
又点P 在椭圆C 上,所以y 20
=3(1-x 20
4
),
若以MP 为直径的圆过点A 2,则A 2M ⊥A 2P ,A 2M →·A 2P →
=0, 所以(m -2,
y 0x 0+2
(m +2))·(x 0-2,y 0)=(m -2)(x 0-2)+
y 20x 0+2
(m +2)=(m -2)(x 0-2)+
31-
x 20
4x 0+2
(m +2)=(x 0-2)(14m -7
2
)=0.
又点P 不同于点A 1,A 2,所以x 0≠±2, 所以m =14.
18.(2018·福州模拟)抛物线C :y =2x 2
-4x +a 与两坐标轴有三个交点,其中与y 轴的交点为P .
(1)若点Q (x ,y )(1<x <4)在C 上,求直线PQ 斜率的取值范围; (2)证明:经过这三个交点的圆E 过定点.
解析:(1)由题意得P (0,a )(a ≠0),Q (x,2x 2
-4x +a )(1<x <4), 故k PQ =2x 2
-4x +a -a
x
=2x -4,
因为1<x <4,所以-2<k PQ <4,
所以直线PQ 的斜率的取值范围为(-2,4). (2)证明:法一:P (0,a )(a ≠0).
令2x 2
-4x +a =0,则Δ=16-8a >0,a <2,且a ≠0, 解得x =1±
4-2a
2
, 故抛物线C 与x 轴交于A (1-
4-2a 2,0),B (1+4-2a
2
,0)两点. 故可设圆E 的圆心为M (1,t ), 由|MP |2
=|MA |2
,得12
+(t -a )2
=(4-2a 2)2+t 2
,解得t =a 2+14
, 则圆E 的半径r =|MP |=
1+
14-a 2
2
.
所以圆E 的方程为(x -1)2
+(y -a 2-14)2=1+(14-a 2
)2,
所以圆E 的一般方程为x 2+y 2
-2x -(a +12)y +a 2=0,
即x 2+y 2
-2x -12y +a (12
-y )=0.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2+y 2-2x -1
2
y =0,
12-y =0,
得⎩⎪⎨⎪⎧
x =0,y =1
2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x =2,y =1
2
,
故圆E 过定点(0,12),(2,1
2
).
法二:P (0,a )(a ≠0),设抛物线C 与x 轴的两个交点分别为A (x 1,0),B (x 2,0),圆E 的一般方程为x 2
+y 2
+Dx +Fy +G =0,则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
1+Dx 1+G =0,x 2
2+Dx 2+G =0,a 2+Fa +G =0.
因为x 1,x 2是方程2x 2
-4x +a =0,即x 2
-2x +a
2=0的两根,
所以x 2
1-2x 1+a
2=0,x 2
2-2x 2+a
2=0,
所以D =-2,G =a
2, 所以F =-G -a 2
a =-(a +1
2
),
所以圆E 的一般方程为x 2+y 2
-2x -(a +12)y +a 2=0,
即x 2+y 2
-2x -12y +a (12-y )=0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
+y 2
-2x -1
2y =0,12-y =0,
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x =0,y =1
2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x =2,y =1
2
,
故圆E 过定点(0,12),(2,1
2
).
19.(2018·广州模拟)如图,在直角坐标系xOy 中,椭圆C :y 2a 2+x 2
b 2=1(a >b >0)的上焦点为
F 1,椭圆C 的离心率为12
,且过点(1,
26
3
). (1)求椭圆C 的方程;
(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与x 轴交于点H ,若F 1B →·F 1H →
=0,且|MO |=|MA |,求直线l 的方程.
解析:(1)因为椭圆C 的离心率为12,所以c a =1
2
,即a =2c .
又a 2
=b 2
+c 2
,所以b 2
=3c 2
,即b 2
=34a 2,所以椭圆C 的方程为y 2
a 2+x
2
34
a 2
=1.
把点(1,263)代入椭圆C 的方程中,解得a 2
=4.
所以椭圆C 的方程为y 24+x 2
3
=1.
(2)由(1)知,A (0,2),设直线l 的斜率为k (k ≠0),则直线l 的方程为y =kx +2,
由⎩⎪⎨⎪⎧
y =kx +2,x 23+y
24
=1,得(3k 2+4)x 2
+12kx =0.
设B (x B ,y B ),得x B =-12k
3k 2
+4
, 所以y B =-6k 2
+83k 2+4
,
所以B (-12k 3k 2+4,-6k 2
+8
3k 2
+4
). 设M (x M ,y M ),因为|MO |=|MA |,所以点M 在线段OA 的垂直平分线上, 所以y M =1,因为y M =kx M +2,所以x M =-1k ,即M (-1
k
,1).
设H (x H,0),又直线HM 垂直于直线l ,所以k MH =-1k ,即1-1k
-x H
=-1
k
.
所以x H =k -1k ,即H (k -1
k
,0).
又F 1(0,1),所以F 1B →
=(-12k 3k 2+4,4-9k 2
3k 2+4),F 1H →
=(k -1k
,-1).
因为F 1B →
·F 1H →
=0,所以-12k 3k 2+4·(k -1k )-4-9k
2
3k 2+4
=0,
11 解得k =±263
. 所以直线l 的方程为y =±263
x +2.。