东辽一中2016-2017学年高二上学期数学(文)期末考试题及答案

辽源市东辽一中2016-2017学年度上学期期末考试
高二数学（文）试题
2017-01-04
本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题，共计60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假
C ．q 为真
D ．不能判断q 的真假
2．椭圆14
2
2=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或3
3.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）
A. π322
B. π22
C. π28
D. π328
4. 以双曲线19
16
2
2
=-
y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A ．x y
162
= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=
5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6. 函数f(x)＝π2cosx ，则f′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝( )
A ．－π2
B ．1
C ．0 D.π
2
7. 函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋2在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4
正视图 俯视图
侧视图
.
8. 已知双曲线
124
49
2
2
=-
y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，
则三角形21F PF 的面积为（ ）
A ．20
B ．22
C ．28
D ．24 9. 两个圆0222:
221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C
的公切线有且仅有 （ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
10. 已知F 是抛物线y x =2
的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，
则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．
4
3
B ．1
C ．
4
5 D ．
4
7 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )
A ．π4
B ．π8
C ．π16
D ．
3
32π
12. 设a∈R ，若函数y ＝e x
＋ax ，x ∈R ，有大于－1的极值点，则( ) A ．a<－1 B ．a>－1 C ．a<－1e D ．a>－1
e
第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12
≥≥∀x
x ”的否定是 .
14. 函数y ＝lnx 的图象在(1，0)点处的切线方程是______________． 15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y
22
=的焦点，点M 是抛物线上的动点，
当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．
16. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，
若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠， 则该双曲线的离心率的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 已知四棱锥ABCD P -
的底面是边长为2的正方形，
侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.
18.（本小题满分12分）
已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；
（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面PAD ；
(2)若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°， 求四棱锥P­ABCD 的体积．
D A
B
C O
P
20.（本小题满分12分）
已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；
(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.
21．（本小题满分12分）．
已知函数f(x)＝ax 3＋x 2
(a∈R )在x ＝－43处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g(x)＝f(x)e x
，讨论g(x)的单调性．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x 和直线L :1=-b y
a x , 椭圆的离心率23=
e ，
坐标原点到直线L 的距离为5
5
2. （1）求椭圆的方程；
（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点， 试判断是否存在实数k ，使以MN 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值， 若不存在说明理由.
辽源市东辽一中2016-2017学年度上学期期末考试
高二数学（文）答案
一. 选择题:
1.B
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
7.C
8.D
9.B 10.C 11.C 12.C
二. 填空题: 13. 2,12
0<≥∃x x 14. x －y －1＝0.
15. )2,2( 16. ]21,1(+
三. 解答题:
17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，
由勾股定理得：221922=-=
-=
BE PB PE
所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分
过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=
-=
OE PE PO
所以，棱锥的体积 3
7
472231
=
⨯
⨯⨯=V ------10分
18. （1）证明：将方程033)12()
1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x
解方程组⎩⎨
⎧=-+=+-0
3032y x y x 得：⎩⎨
⎧==2
1
y x
所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分
(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A
19． 解: (1)证明：因为PA⊥底面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA⊥CE. 因为AB⊥AD，CE ∥AB ，所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A ，所以CE⊥平面PAD. ------6分
(2)由(1)可知CE⊥AD.
在Rt △ECD 中，CE ＝CD·sin45°＝1，DE ＝CD·cos45°＝1， 又因为AB ＝1，则AB ＝CE. 又CE∥AB，AB ⊥AD ，
所以四边形ABCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形． 因为AD ＝3，所以BC ＝AE ＝AD －DE ＝2， S ABCD ＝12(BC ＋AD)·AB＝12(2＋3)×1＝52，
V P ­ABCD ＝13S ABCD ·PA ＝13×52×1＝56
.
于是四棱锥P­ABCD 的体积为5
6. ------12分
20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(2
2
2
>=-+-r r
b y a x
由已知可得: ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==+2
22
221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a
所以, 圆M 的方程为2)1()1(2
2
=-+-y x 或2)1()1(2
2
=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(2
2
=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=
x y 的距离为: 242
8
11=--=
d
同理, 当圆M 的方程为2)1()1(2
2
=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=
x y 的距离也为: 24=d
所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分
21.解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax 2
＋2x.
因为f(x)在x ＝－43处取得极值，所以f′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＝0， 即3a·169＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－8
3
＝0，解得a ＝12. ------- 5分
(2)由(1)得g(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋x 2e x
，
故g′(x)＝12
x(x ＋1)(x ＋4)e x
.
令g′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x)＞0，故g(x)为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x)＜0，故g(x)为减函数； 当x ＞0时，g ′(x)＞0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数．------- 12分
22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，
由题意得：55
2,232
2=
+==
b a ab a
c e 又有222c b a +=， 解得：1,42
2
==b a
椭圆的方程为
14
22
=+y x . -------5分
（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：
21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅
)
(0
5))(12()1()2)(2()1)(1(21212
2121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1422
2y x kx y ，得：01216)41(2
2=+-+kx x k ⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴2212
21224112
,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：16
17
=k ，满足0>∆ ------- 12分。