【状元之路】2014-2015学年高中数学 模块综合测评(一)北师大版必修2

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模块综合测评(一) 必修2(北师大版)
(时间:90分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,共50分.
1.过点(-1,3)且垂直于直线x -2y +3=0的直线方程是( ) A .x -2y +7=0 B .2x +y -1=0 C .x -2y -5=0 D .2x +y -5=0
解析:设所求直线方程为-2x -y +m =0,则-2×(-1)-3+m =0,所以m =1,即-2x -y +1=0,故直线方程为2x +y -1=0.
答案:B
2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8π
3B .3π C.10π3
D .6π
解析:显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分,并且由正视图知是一个3
4的圆柱
体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为4,则V =34
×π×12
×4=3π.
答案:B
3.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,若它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( )
A .202π B.252π C .50π D.200π
解析:设长方体的体对角线长为l ,球半径为R ,则⎩⎪⎨⎪⎧
l =2R ,
l 2=32+42+52

所以R =52
2
,所以S 球
=4πR 2
=50π.
答案:C
4.在空间直角坐标系中,O 为坐标原点,设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,12,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13,13,13,则( ) A .OA ⊥AB B .AB ⊥AC C .AC ⊥BC D .OB ⊥OC
解析:|AB |=12,|AC |=36,|BC |=66,因为|AC |2+|BC |2=|AB |2
,所以AC ⊥BC .
答案:C
5.已知m ,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β C .若m ∥α,m ∥β,则α∥β D .若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥n
解析:A 中还可能m ,n 相交或异面,所以A 不正确;B 、C 中还可能α,β相交,所以B 、C 不正确.很明显D 正确.
答案:D
6.若P (2,-1)为圆(x -1)2
+y 2
=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为( ) A .x -y -3=0 B .2x +y -3=0 C .x +y -1=0 D .2x -y -5=0
解析:设圆心为C (1,0),则AB ⊥CP ,∵k CP =-1,∴k AB =1,∴y +1=x -2,即x -y -3=0. 答案:A
7.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )
A .30° B.45° C .60° D.90°
解析:过A 作AE ⊥BC 于点E ,则易知AE ⊥面BB 1C 1C ,则∠ADE 即为所求,又tan ∠ADE =AE
DE
=3,故∠ADE =60°.
答案:C
8.过点M (-2,4)作圆C :(x -2)2
+(y -1)2
=25的切线l ,且直线l 1:ax +3y +2a =0与l 平行,则l 1与l 间的距离是( )
A.85
B.25
C.285
D.125
解析:因为点M (-2,4)在圆C 上,所以切线l 的方程为(-2-2)(x -2)+(4-1)(y -1)=25,即4x -3y +20=0.
因为直线l 与直线l 1平行,所以-a 3=4
3
,即a =-4,所以直线l 1的方程是-4x +3y -8=0,即
4x -3y +8=0.所以直线l 1与直线l 间的距离为
|20-8|
42+-3
2
=12
5. 答案:D
9.当a 为任意实数时,直线(a -1)x -y +a +1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,半径为5的圆的方程为( )
A .x 2
+y 2
-2x +4y =0 B .x 2
+y 2
+2x +4y =0 C .x 2
+y 2
+2x -4y =0 D .x 2
+y 2
-2x -4y =0
解析:令a =0,a =1,得方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
-x -y +1=0,
-y +2=0.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =-1,y =2,所以C (-1,2).则圆C
的方程为(x +1)2
+(y -2)2
=5,即x 2
+y 2
+2x -4y =0.
答案:C
10.设P (x ,y )是圆x 2
+(y +4)2
=4上任意一点,则x -1
2
+y -1
2
的最小值为( )
A.26+2
B.26-2 C .5 D .6
解析:如图,设A (1,1),x -1
2
+y -1
2
=|PA |,则|PA |的最小值为|AC |-r =26-
2.
答案:B
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
11.如图所示,Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图,其中A ′C ′⊥B ′C ′,B ′O ′=
O ′C ′=1,则△ABC 的面积为__________.
解析:由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ,如图所示,则有BO =OC =1,AO =2 2.
∴S △ABC =1
2BC ·AO
=1
2×2×2 2 =2 2.
答案:2 2
12.经过点P (1,2)的直线,且使A (2,3),B (0,-5)到它的距离相等的直线方程为__________. 解析:x =1显然符合条件;当A (2,3),B (0,-5)在所求直线同侧时,所求直线与AB 平行, ∵k AB =4,∴y -2=4(x -1),即4x -y -2=0. 答案:4x -y -2=0或x =1
13.与x 轴相切并和圆x 2
+y 2
=1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________.
解析:设M (x ,y )为所求轨迹上任一点,则由题意知1+|y |=x 2
+y 2
,化简得x 2
=2|y |+1. 答案:x 2
=2|y |+1
14.圆x 2
+y 2
+Dx +Ey +F =0关于直线l 1:x -y +4=0与直线l 2:x +3y =0都对称,则D =__________,E =__________.
解析:由题设知直线l 1,l 2的交点为已知圆的圆心.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x -y +4=0,x +3y =0,得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x =-3,
y =1,
所以-D 2=-3,D =6,-E
2=1,E =-2.
答案:6;-2
三、解答题:本大题共4小题,满分50分.
15.(12分)直线l 经过点P (2,-5),且到点A (3,-2)和B (-1,6)的距离之比为1∶2,求直线l 的方程.
解:∵直线l 过P (2,-5),
∴可设直线l 的方程为y +5=k ·(x -2), 即kx -y -2k -5=0.(2分) ∴A (3,-2)到直线l 的距离为
d 1=
|k ·3--2-2k -5|k 2+1=|k -3|
k 2+1
.
B (-1,6)到直线l 的距离为 d 2=
|k ·-1-6-2k -5|k 2+1=|3k +11|
k 2+1
.
(6分)
∵d 1∶d 2=1∶2,∴
|k -3||3k +11|=1
2
.
化简得k 2
+18k +17=0.(10分) 解得k 1=-1,k 2=-17.
∴所求直线方程为x +y +3=0或17x +y -29=0.(12分)
16.(12分)如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,且∠ABC=120°,PC⊥平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.
(1)求证:平面EBD⊥平面ABCD;
(2)求点E到平面PBC的距离.
(1)证明:如图所示,连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,在△PAC中,E为PA的中点,O为AC 的中点,
∴OE∥PC.(2分)
又PC⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD.
又OE⊂平面EBD,
∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)
(2)解:∵OE∥PC,PC⊂面PBC,而OE⊄面PBC,
∴OE∥面PBC,
∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离.
过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G,又平面PBC⊥面ABCD,且面PBC∩面ABCD=BC,
∴OG⊥面PBC,即线段OG的长度为点O到平面PBC的距离.(8分)
在菱形ABCD中,
∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,
∴△BCD为正三角形,且BC=a,由余弦定理可得AC=3a,
∴OB =a 2,OC =3
2
a .(10分)
在Rt △BOC 中,OG ·BC =OB ·OC ,
即OG ·a =a 2·3
2
a ,
∴OG =
34
a . 即E 到平面PBC 的距离为
3
4
a .(12分) 17.(12分)已知圆C :(x -1)2
+y 2
=9内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. (1)当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线l 的方程; (3)当直线l 的倾斜角为45°时,求弦AB 的长.
解:(1)已知圆C :(x -1)2
+y 2
=9的圆心为C (1,0),因直线l 过点P 、C ,所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y =2(x -1),即2x -y -2=0.(4分)
(2)当弦AB 被点P 平分时,l ⊥PC ,直线l 的方程为y -2=-1
2(x -2),即x +2y -6=0.
(8分)
(3)当直线l 的倾斜角为45°时,其斜率为1,直线l 的方程为y -2=x -2,即x -y =0,圆心
C 到直线l 的距离为
1
2
,圆的半径为3,弦AB 的长为232
-⎝
⎛⎭
⎪⎫122
=34.(12分) 18.(14分)如图,在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点,AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA =90°,AA 1=AC =BC =2.
(1)证明:OE ∥平面AB 1C 1;
(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角; (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值. (1)证明:∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点, ∴OE ∥AC 1,
又∵EO ⊄平面AB 1C 1,AC 1⊂平面AB 1C 1, ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)
(2)解:∵AO ⊥平面A 1B 1C 1,∴AO ⊥B 1C 1, 又∵A 1C 1⊥B 1C 1,且A 1C 1∩AO =O , ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA , ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1=AC ,
∴四边形A 1C 1CA 为菱形, ∴A 1C ⊥AC 1,且B 1C 1∩AC 1=C 1, ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1,
∴AB 1⊥A 1C ,即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解:设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d , ∵VA -A 1B 1C 1=VC 1-AA 1B 1,
即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO =1
3·S △AA 1B 1·d . 又∵在△AA 1B 1中,A 1B 1=AB 1=22, ∴S △AA 1B 1=7. ∴d =2217

∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217
. (14分)。

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