九下第3章圆集训课堂练素养2圆中常见的计算题型作业新版北师大版

分的面积转化为扇形的面积
6 如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦 AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部 分的面积等于多少？
【解】将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图，
则阴影部分的面积等于半圆环的面积．
作 OE⊥AB 于点 E(易知 E 为切点)，连接 OA， ∴AE＝12AB＝9. ∴阴影部分的面积为12π·OA2－12π·OE2＝12π(OA2－OE2)＝ 12π·AE2＝12π·92＝821π.
(2)若 CE＝ 2，求图中阴影部分的面积(结果保留 π)． 【解】∵OE⊥BC，∠B＝45°， ∴△OEB 是等腰直角三角形． 设 BE＝OE＝x，则 OB＝ 2x， ∴AB＝x＋ 2x.
易知 AB＝ 2BC，∴AB＝ 2(CE＋BE)＝ 2( 2＋x)． ∴x＋ 2x＝ 2( 2＋x)，解得 x＝2. ∴OE＝BE＝2. 由(1)知∠EOF＝45°， ∴S 阴影＝S△OEB－S 扇形 OEF＝12×2×2－45×36π0×22＝2－π2.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OE，OD. ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠OAD＝∠B＝45°. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO＝45°. ∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.
∵点 E 是弧 DF 的中点， ∴∠DOE＝∠EOF＝12∠DOF＝45°. ∴∠OEB＝180°－∠EOF－∠B＝90°. ∴OE⊥BC. ∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．
∵AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形．∴∠ABO＝60°. ∵∠EOF＝60°，∴∠ABO＝∠EOF.∴AB∥OF. ∴∠OFG＝180°－∠BGF＝90°，即OF⊥GF. 又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．
(2)已知 FG＝2 3，求图中阴影部分的面积．
【解】∵OA＝OF，∠AOF＝60°， ∴△AOF是等边三角形． ∴AF＝AO，∠AFO＝60°. ∴∠GFA＝90°－60°＝30°.∴AF＝2AG.
(2)筒车的半径为 3 m，AC＝BC，∠C＝30°，当水面上升， A，O，Q 三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度(精 确到 0.1 m，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)． 【解】如图，当水面上升到GH， 即点Q与点G重合时，A，O， Q三点恰好共线，作OM⊥ GH于点M.
∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°. 又∵∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°. ∵BC∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°. 又∵∠AGB＝∠C＝30°， ∴∠AGM＝30°＋15°＝45°.∴OM＝ 22OG＝322 m. ∴筒车在水面下的最大深度为 3－322≈0.9(m)．
8 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑 轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没 有滑动，则重物上升了___4_π____cm(结果保留π)．
【点拨】
重物上升的距离等于半径为6 cm，圆心角为 120°的弧所对应的弧长．
9 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以 竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动 筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射 线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平 行，设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ 交于P，Q两点，与直线DE交 于B，C两点，恰有AD2＝ BD·CD，连接AB，AC．
(1)求证：EF与⊙O相切； 【证明】如图，连接OE. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE. ∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE. 又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠ACB＝∠OEF. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OEF＝90°， 即OE⊥EF.又∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
(1)求证：AD为⊙O的切线； 【证明】如图，连接 AO 并延长，交⊙O 于点 G，连接 BG，则∠ACB＝∠AGB. ∵AG 是直径，∴∠ABG＝90°. ∴∠BAG＋ ∠AGB＝90°. ∵AD2＝BD·CD，∴ACDD＝BADD.
又∵∠ADB＝ ∠CDA，∴△DAB∽△DCA. ∴∠DAB＝∠ACB.∴∠DAB＝∠AGB. ∴∠DAB＋∠BAG＝90°.∴AO⊥AD. ∵OA是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．
∵AC＝BC，∴△ABC 是等边三角形． ∴∠B＝60°，BC＝AB＝2AD＝4 3. ∴∠COD＝2∠B＝120°，OC＝2 3. ∴C︵D的长为120·1π8×02 3＝4 33π.
4 [2023·十堰]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分 别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的 中点．
5 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直 径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线； 【证明】如图，连接 OA，OF. ∵GF⊥AB，∴∠BGF＝90°. ∵六边形 ABCDEF 为正六边形， ∴AB＝AF＝EF. ∴∠AOB＝∠AOF＝∠EOF＝13∠BOE＝60°.
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数． 【解】∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE. ∴∠ABE＝90°. ∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°. ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°， 即∠ADC的度数为37°.
2 [2023·本溪]如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上， ∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且 ∠AFE＝∠ABC．
(2)若E是AC的中点，⊙O的半径为2，连接BE，求阴影部 分的面积(结果保留π)． 【解】连接AD，如图所示． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 由(1)知△ABC是等腰三角形， 易知D为BC的中点．
∵E 是 AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE∥AB，DE＝12AB＝OE＝OD. ∴S△DEB＝S△DEO，且△ ODE 是等边三角形． ∴S 阴影＝S 扇形 DOE，∠DOE＝60°. ∵⊙O 的半径为 2，∴S 阴影＝S 扇形 ODE＝603π6×04＝23π.
北师版 九年级下
第三章 圆
练素养 2.圆中常见的计算题 型
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答案呈现
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1 如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切 点，连接AD，BC，BD．
(1)求证：△ABD≌△CDB； 【证明】∵AB，CD 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠CBD＝90°. 在 Rt△ ABD 和 Rt△ CDB 中，ABBD＝＝CDDB，， ∴Rt△ ABD≌Rt△ CDB(HL)．
∴∠ADC＝90°.∴∠ADE＋∠EDC＝90°. ∴∠ADE＝∠ODC. ∵AC＝BC，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ACB＝2∠ADE.
(2)若 DE＝3，AE＝ 3，求C︵D的长． 【解】由(1)知∠ADE＋∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE， ∴∠AED＝90°. ∵DE＝3，AE＝ 3， ∴AD＝ 32＋( 3)2＝2 3.∴∠ADE＝30°. ∴∠A＝60°.
7 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点， 交AC于E点，BD＝DE.
(1)求证：△ABC是等腰三角形； 【证明】连接 OD，OE，如图所示． ∵BD＝DE，∴∠BOD＝∠DOE. ∵∠BAC＝12∠BOE， ∴∠BAC＝∠BOD＝∠DOE.∴AC∥OD.∴∠C＝∠ODB. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠C＝∠ABC. ∴AB＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．
3 如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O 交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E.
(1)求证：∠ACB＝2∠ADE； 【证明】如图，连接OD，CD. ∵DE是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°. ∴∠ODC＋∠EDC＝90°. ∵BC为半圆O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.
(2)若 BF＝1，sin∠AFE＝45，求 BC 的长． 【解】设⊙O 的半径为 r，即 OE＝OB＝r，
则 OF＝r＋1. ∵sin∠AFE＝45＝OOEF＝r＋r 1， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8.
∵∠AFE＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠AFE. ∴在 Rt△ABC 中，sin∠ABC＝AACB＝45， ∴AC＝45AB＝45×8＝352， ∴BC＝ AB2－AC2＝254.
∵AG2＋GF2＝AF2，∴AG2＋(2 3)2＝(2AG)2， 解得 AG＝2(负值舍去)． ∴OA＝AF＝2AG＝4. ∵∠AFO＝∠EOF＝60°，∴AF∥BE. ∴S△ ABF＝S△ AOF. ∴S 阴影＝S 扇形 AOF＝603π6·042＝83π.
【点技巧】 本题运用等积法，通过作辅助线，将阴影部
【点方法】 求不规则图形的面积的方法：求不规则图形的面积时，
一般不能直接利用公式求解，常用的方法有：割补法、拼 凑法、等积变形法、迁移变换法、构造方程法等．其中前 四种方法的基本思想都是将不规则图形转化为规则图形 (可直接求面积的图形，如三角形、特殊四边形、圆、扇 形)或将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和、差 进行求解．