八年级数学全等三角形(含知识点练习题答案)

FBC 90
FBC
F DNB F DNB 在 FDE 和 NDB 中， FDE NDB
DE BD
GCE 45 DNB 90
FDE≌ NDB AAS
BN EF ．
2 如图 1，在 ABC 中， ACB 是锐角，点 D 为射线 BC 上的一点，连接 AD，以 AD为一边且在 AD
的右侧作正方形 ADEF．
CE CF
M 是 ED 的中点， B 是 DE 的中点， MB //AE
MBC
CAE ，
同理 MC //AD ， BCM
BAD
BAD CAE
MBC BCM
MB MC ．
（ 3） MB =MC 还成立．如图 4，延长 BM 交 CE 于 F， CE // BD ，
MDB MEF ， MBD MFE M 是 ED 的中点 MD ME
MD ME， MAD MAE
MAD BAD MAE CAE
即 BAM
CAM ，在
ABM 和
ACM 中，
AB AC BAM CAM
AM AM
ABM≌ ACM SAS
MB MC ．
（ 2） MB =MC ．理由如下：如图 3，延长 DB 、 AE 相交于 E ，延长 EC 交 AD 于 F， BD BE ，
F 不重合），并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】证明：（ 1）①正方形 ADEF 中， AD=AF ， BAC DAF 90
BAD
CAF
又 AB AC
DAB ≌ FAC
CF BD ， B ACF
ACB ACF 90
即 CF BD ．
②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形
ADEF 得 AD=AF ， DAF 90
自我总结
课后作业
1 已知 ABC ， BAC 90 ，等腰直角 BDE ， BDE 90 ， BD=DE，点 D 在线段 AC上．
（ 1）如图 1，当 ACB 30 ，点 E 在 BC 上时，试判断 AD与 CE的数量关系，并加以证明；
（ 2）如图 2，当 ACB 45 ，点 E 在 BC外时，连接
MDB MEF 在 MDB 和 MEF 中， MBD MFE
MD ME
MDB≌ MEF AAS
MB MF
ACE 90
BCF 90
MB MC ．
1.2 如图，在 ABC 中， 交 BE于点 D 且 ACF （ 1）求证： CF=BG；
ACB 90 ， AC BC ， E 为 AC边的一点， F 为 AB边上一点，连接 CBE ， CG平分 ACB 交 BD于点 G，
断并直接写出 MB、 MC的数量关系．
（ 3）在（ 2）中，若 CAE 的大小改变（图 4），其他条件不变，则（ 2）中的 MB、MC的数量关系
还成立吗？说明理由．
【答案】见解析．
【解析】证明：（ 1 ）如图 2 ，连接 AM ，由已知得 ABD ≌ ACE ， AD AE ， AB AC ，
BAD CAE
【答案】见解析．
【解析】解：（ 1）①∵ DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， AC CD
BAC 90
B 90 30 60 ， ACD 是等边三角形，
、 BD并延长交于点 F，设 ED与 BC交于点
N，图中是否存在与 BN相等的线段？若存在，请加以证明．若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（ 1） ED 2AD ．理由是： BDE 是等腰直角三角形 ∴ DBE DEB 45
又 Rt ABC 中， ACB 30 ， ABC 60
ABD ABC DBE 60 45 15
BDE 90
BDE EDF 90
GDE ADB 90
A 90 ， ADB ABD 90
GDE ABD
GDE ABD 在 ABD 和 GDE 中， G A 90 ，
DE BD
ABD≌ GDB AAS
AD GE ， DG AB
AB AC ， AC DG
DCF
GCE 45
AD DG GE
F如图 1，在 ABC 中， A 36 ， AB=AC， ABC 的平分线 BE交 AC于 E．
（ 1）求证： AE=BC；
（ 2）如图（ 2），过点 E 作 EF//BC 交 AB 于 F，将 AEF 绕点 A 逆时针旋转角 （ 0
144 ）
得到 AE F ，连结 CE ， BF ，求证： CE BF ；
（ 3）在（ 2）的旋转过程中是否存在 CE //AB ？若存在，求出相应的旋转角
；若不存在，请说明
理由．
【答案】见解析．
【解析】（ 1）证明：∵ AB =BC ， A 36 ， ABC C 72 又∵ BE 平分 ABC
ABE CBE 36
BEC 180
C CBE 72 ， ABE A ， BEC C
BAC 90
DAF BAC
DAB
FAC 又 AB AC
DAB ≌ FAC
CF BD ， ACF
ABD
BCF ACB ACF 90
BAC 90 ， AB AC 即 CF BD ．
ABC 45
ACF 45
（ 2）当 ACB 45 时， CF BD （如图）．理由：过点 A 作 AG AC 交 CB 的延长线于点 G，
ACH 45
2x x 45 ， x 15
ACF GAC 30
在 Rt AEM 中， AE 2 EM 2 3 ， AM
2
23
2
33
M 是 AG 的中点
AE EG 2 3 ， BE BG EG 6 2 3 在 Rt ECB 中， ECB 30
1 CE BE 3
3 ， AC AE EC 2 3 3
3 3 3 3．
CF，
（ 2）延长 CG交 AB 于 H，连接 AG，过点 C 作 CP //AG 交 BE的延长线于点 P，求证： PB CP CF ；
（ 3）在（ 2）问的条件下，当 GAC 2 FCH 时，若 S AEG 3 3 ，BG=6，求 AC的长．
【答案】见解析； 【解析】解：（ 1）如图 1，
ACG BCG 45 ，
（ 1）如果 AB=AC， BAC 90 ，
①当点 D 在线段 BC上时（与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、 BD所在直线的位置关系为
，线段 CF、 BD的数量关系为
；
②当点 D 在线段 BC的延长线上时，如图 3，①中的结论是否依然成立，并说明理由；
（ 2）如果 AB=AC， BAC 是锐角，点 D 在线段 BC上，当 ACB 满足什么条件时， CF BC （点 C、
同理 CEP 60 ， PED 180
CEP DEB 180 60 45 15
PDE
ABD
DPE A 90 在 ABD 和 PDE 中， PDE ABD
DE BD
ABD≌ PDE AAS
AD PE 又∵ Rt PCE 中， C 30 ， CE 2PE CE 2 AD ．
（ 2） BN EF ，理由是：如图 2，过 E 作 EG AC ，交 AC 的延长线于 G
（ 1）操作发现 如图 2，固定 ABC ，使 DEC 绕点 C旋转，当点 D 恰好落在 AB边上时，填空：
①线段 DE与 AC的位置关系是
；
②设 BDC 的面积为 S1 ， AEC 的面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的数量关系是
．
（ 2）猜想论证 当 DEC 绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝 试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC、 CE边上的高，请你证明小明的猜想． （ 3）拓展探究 已知 ABC 60 ，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=，4 DE//ABA 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S DCF S BDE ，请直接写出相应的 BF 的长．
经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M 、 N 两点，
如图：①当点 E 的像 E 与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，
BAM
ABC 72
又 BAC 36 ，
CAM 36
②当点 E 的像 E 与点 N 重合时，由 AB // l 得， AMN BAM 72
AM AN
【答案】（ 1） AD=BE;∠AEB=∠CEB﹣∠ CED=60° （ 2） AE=AD+DE=BE+2CM． 【解析】（ 1）∵∠ ACB=∠ DCE，∠ DCB=∠ DCB， ∴∠ ACD= ∠BCE ， 在△ ACD 和△ BCE 中，
AC ACD
CD
BC BCE ，
CE
∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS）， ∴ AD=BE ，∠ CEB= ∠ADC=180 °﹣∠ CDE=120 °， ∴∠ AEB= ∠ CEB﹣∠ CED=60 °； （ 2）∠ AEB=90 °， AE=BE+2CM ， 理由：如图 2， ∵△ ACB 和△ DCE 均为等腰直角三角形， ∴ CA=CB ，CD=CE ，∠ ACB= ∠ DCE=90 °，
∴∠ ACD= ∠BCE ． 在△ ACD 和△ BCE 中，
CA ACD
CD
CB BCE ，
CE
∴△ ACD ≌△ BCE （ SAS）， ∴ AD=BE ，∠ ADC= ∠ BEC ． ∵△ DCE 为等腰直角三角形， ∴∠ CDE= ∠ CED=45 °， ∵点 A 、 D、 E 在同一直线上， ∴∠ ADC=135 °． ∴∠ BEC=135 °， ∴∠ AEB= ∠ BEC﹣∠ CED=90 °． ∵ CD=CE ，CM ⊥ DE ， ∴ DM=ME ． ∵∠ DCE=90 °， ∴ DM=ME=CM ， ∴ AE=AD+DE=BE+2CM．
ACB 90 ， AC BC
A 45
CG 平分 ACB
A BCG
A
BCG
在 BCG 和 CAF 中 ， A C B C
A CF
CBE
BCG≌ CAF ASA
CF BG ．
（ 2）如图 2， PC //AG
PCA CAG
AC BC ， ACG BCG ， CG CG
ACG ≌ BCG
CAG CBE
PCG PCA ACG CAG 45
ANM
AMN 72
MAN 180 2 72 36
CAN
CAM
MAN 72 所以当旋转角为 36 或 72 时， CE // AB ．
EAM ≌ EPN ASA
EM EN ．
1.4（ 1）问题发现 如图 1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点 A， D，E 在同一直线上，连接 BE． 填空：①∠ AEB的度数为 ________；②线段 AD， BE之间的数量关系为 ____________． （ 2）拓展探究 如图 2，△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°，点 A， D， E在同一直线上， CM 为△ DCE中 DE边上的高，连接 BE，请判断∠ AEB的度数及线段 CM， AE， BE 之间的数量关系，并说 明理由．
三角形综合讲义
全等综合
随堂练习 1.1 如图，将两个全等的直角三角形
ABD 、 ACE 拼在一起（图 1）， ABD 不动，
（ 1）若将 ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE， M 是 DE 的中点，连接 MB、 MC（图 2），证明：
MB=M．C
（ 2）若将图 1 的 CE 向上平移， CAE 不变，连接 DE， M 是 DE的中点，连接 MB、 MC（图 3），判
CBE 45
PCG PGC
PC PG
PB BG PG ， BG CF
PB CF CP ．
（ 3）如图 3，过 E 作 EM
AG ，交 AG 于 M ， S AEG
1 AG EM
33
2
由（ 2）得： ACG ≌ BCG
BG AG 6
1 6 EM 3 3 EM 3
2
设 FCH x ，则 GAC 2x ， ACF EBC GAC 2 x
AE BE ， BE BC ， AE BC ． （ 2）证明：∵ AC=AB 且 EF//BC ， AE AF ；由旋转的性质可知：
E AC
F AB ， AE
AF ，
AC AB 在 CAE 和 BAF ， E AC F AB
AE AF
CAE ≌ BAF ； CE BF ．
（ 3）存在 CE // AB ，理由：由（ 1）可知 AE=BC ，所以，在 AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中， E 点
则 GAC 90 ， ACB 45 ， AGC 90
ACB ， AGC 90 45 45
ACB AGC GAD ≌ CAF 即 CF BC ．
45 ， AC AG
DAG FAC （同角的余角相等）， AD=AF
ACF
AGC 45 ， BCF
ACB ACF 45 45 90
3 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC和 DEC重合放置，其中 C 90 ， B E 30 ．