立体几何中的常见题型及基本思路

立体几何中的常见题型及基本思路
解决一切空间几何问题的核心目标是把空间问题转化为平面问题。

1. 线线平行（是线面平行和面面平行的基础 ）的证明思路：
（1）找到或者构建含两线的平行四边形
（2）看两直线是否构成一个三角形的中位线或者等分线的关系
（3）垂直于同一平面的两直线平行。

即：若b a b a //,则αα⊥⊥.
（4）平行于同一直线的两直线平行。

即：若c a c b b a ////,//则
（5）线面平行性质得到线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行。

即：若b a b a a //,,,//则且=⋂⊂βαβα.
（6）面面平行性质得到线线平行：两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行。

即：若b a b a //,,//则且=⋂=⋂γβγαβα
（7）如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。

即若b a b a a //,,//,//则且=⋂βαβα。

2.线面平行的证明思路：
（1）定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行（不常用）。

（2）判定定理：在平面内找到一条和已知直线（在平面外）平行的直线。

即：若ααα//,//,,a b a b a 则且⊂⊄
（3）由面面平行得到的线面平行：两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即：若βαβα//,//a a 则且⊂。

例见T9山东12年高考
（4）如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α
α//
β
α
β
⊥
⊄
⊥。

a则
,
a
,
,a
（5）如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)（6）两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.
（7）如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.
（8）在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B 在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.
3.面面平行的证明思路：
（1）定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.（不常用）
（2）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
（3）垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β. （4）平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. （5）一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
4.线线垂直（是线面垂直和面面垂直的基础）的证明思路：
（1）勾股定理
（2）等腰三角形底边上的中线与底边垂直
（3) 矩形（正方形）临边，菱形（正方形）对角线相互垂直
（4)线面垂直性质（,a b a b αα⊥⊂⇒⊥）
（5）定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
（6）一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b ∥c,a ⊥b,则a ⊥c
（7）三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
（8）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a ∥α,b ⊥α,则a ⊥b.
（9）三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c ，则a ⊥b,b ⊥c,c ⊥a.
例见T8陕西12年文，T14安徽12年文
5.线面垂直的证明思路：
（1）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

即：若m ⊂α，n ⊂α，m ∩n=A ，l ⊥m,l ⊥n,则l ⊥α
（2)找一个面或者线的平行面或者线，将问题转化：α∥,a ββαα⊥⇒⊥或a ∥,b a b αα⊥⇒⊥
（3）面面垂直性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

即：
,,,b a a b a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥
（4）定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.（不常用）
（5）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l ∥a,a ⊥α,则l ⊥α.
（6）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l ⊥β，则l ⊥α.
（7）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a ∩β=α,则a ⊥γ.
6.面面垂直的证明思路：
（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

即：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥
（2）定义法（二面角是直角）：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。

即：90a αβαβ--=︒⇔⊥
（3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个。

即：若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ
例见T6天津12年文科
7.求角：一作二证三计算
（1）线线角（异面直线所成角）
转化成相交直线，并且交点往往取其中一条直线的端点或中点
（2）线面角
射影转换法：做垂线、找射影，求夹角
（3）二面角
①定义法：在两平面内分别做交线的垂线，解三角形、
②三垂线法
③垂面法
8.求体积：例见T8陕西12文，T10湖南12文，T11广东12文
9.折叠：例见T13北京12文
10.最值:例见福建12文
11.交点与交线问题:
1）线面交点：
求直线a与平面α的交点，可通过直线a做一个平面β，且α与β的交线记为b,则a与b的交点即为直线a与平面α的交点
2）面面交线：
①在两个平面内找到两个公共点，连线即为交线
②若在图形上只能找到一个公共点，可以在两个平面内各找一条直线使他们平行，在交线也与它们平行。

12.求距离（主要是点面距离）
1）过点做面的垂线段（这里通常在面的一个垂面内进行）
2）通过平行关系转化为其它点到面的距离
3）等体积法
4）向量法(文科不要求)。