非学科数学学培训 一元二次方程的含参问题(资料附答案)

自学资料
一、一元二次方程的解
【知识探索】
1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）．
【错题精练】
例1．若关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x+m2−4=0有一个根是0，则m=．
【答案】－2．
例2．关于x的方程a(x+m)2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的解是x1=3和x2=7，则方程a(3x+m−1)2+b=0的解是．
【答案】
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A. 1
B.
C. 1或
D. 1或-
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【知识探索】
1．一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即．
2．当△＞0时，方程（）有两个不等的实数根；
当△＝0时，方程（）有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程（）无实数根．
【错题精练】
例1．如果关于x的一元二次方程kx2−√2k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．
【答案】−1
2≤k<1
2
且k≠0
例2．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a−c=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．下列关于这个方程的解和△ABC形状判断的结论错误的是（）
A. 如果x=−1是方程的根，则△ABC是等腰三角形
B. 如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形
C. 如果△ABC是等边三角形，方程的解是x=0或x=−1
D. 如果方程无实数解，则△ABC是锐角三角形
【答案】D
例3．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）
A. 7；
B. ﹣7；
C. 3；
D. ﹣3．
【解答】由于m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，然后把2m2﹣6m+a和3n2﹣9n﹣5变形利用前面的等式整体代入即可解决问题．
解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，
∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，
∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，
∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，
而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，
∴（2+a）（3﹣5）=10，
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∴a=﹣7．
故选：B．
【答案】B
例4．若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）
A. -1
B. 1
C. -2或2
D. -3或1
【解答】
【答案】A
例5．已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件m的整数的值.
【解答】
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【答案】
例6．已知关于x的一元二次方程kx2−(4k+1)x+4k+2=0（k是正整数）．
（1）当k=1时，求方程的两根和；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1<x2），设y=1
x2−2
+x1+2，请求出y关于k的函数，并求出y的取值范围．
【解答】（1）解：当k=1时，原方程为x2−5x+2=0
由韦达定理可得：x1+x2=−b
a
=5
（2）解：由根的判别式△=b2−ac=(4k+1)2−4k(4k+1)=1>0
故原方程有两个不相等的实数根；
（3）解：原方程kx2−(4k+1)x+4k+2=0可化为：
(x−2)(kx−2k−1)=0，
解得x1=2，x2=2k+1
k =2+1
k
（k是正整数），
∴y=k+4（y为正整数，且y≥5）；
【答案】（1）5；（2）两个不相等的实数根；（3）y=k+4（y为正整数，且y≥5）．
【举一反三】
1．若关于x的方程kx2−x+4=0有实数根，则k的取值范围是（）
A. k≤16；
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【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=2，a=1，﹣1．
1．已知关于x的方程(m+1)x m2+1+2x−3=0是一元二次方程，则m的值为（）
A. 1；
B. －1；
C. ±1；
D. 不能确定．
【答案】A
2．已知关于x的方程x2+m2x−2=0的一个根是1，则m的值是（）
A. 1；
B. 2；
C. ±1；
D. ±2．
【答案】C
3．使得关于x的一元二次方程2x(kx−4)−x2+6=0无实数根的最小整数k为（）
A. －1；
B. 2；
C. 3；
D. 4．
【答案】B
4．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有c成立；
④若x0是方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax2+b)2．其中正确的（）
A. 只有①②；
B. 只有①②④；
C. ①②③④；
D. 只有①②③④．
【答案】B
5．关于x的方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k−1是方程x2−2x+k−1=0的一个解，求k的值．
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【解答】（1）解：由题意，知：(−2)2−4(k−1)>0，
解得：k<2，
即k的取值范围为k<2；
（2）解：由题意，得：(k−1)2−2(k−1)+k−1=0，
即k2−3k+2=0，
解得：k1=1，k2=2（舍去），
∴k的值为1．
【答案】（1）k<2；（2）1．
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