甘肃省兰州市2018届高三第一次模拟数学(文)附答案

甘肃省兰州市2018届高三第一次模拟数学（文）附答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，集合，则()U
M N =ð（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A ．复数的实部为
B ．复数的虚部为
C ．复数的共轭复数为
D ．复数的模为
3．已知数列为等比数列，且，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．若双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点．若的面积为，则的值为（ ） A ．
B
C ．
D ．
5．已知圆：，直线：，则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（ ）
4
π3
π2
π
43
π2214
x y -=()2
20x py p =>A B O
OAB △1p 14C 2216x y +=l y x =C A l 234
23
1213
3430x y ++=6140x my +-=28175
1710
A ．
B ．
C ．
D ．
8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值
，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设：实数，满足，：
实数，满足，则是的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要的条件
10．若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为（ ）
p x y ()()22
111x y -+-≤q x y 1
11x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
p q {}n a n ()*
2n n S a b n =⋅+∈N a b a b +
A ．
B ．
C ．
D ．
11．抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，若
，则的最大值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，不等式成立，若，，，则，，之间的大小关
系为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若
，则
．
14．已知样本数据，，的方差是，如果有
，那么数据
，
，的均方差为 ．
15．设函数
向左平移
个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则
．
16．若向量，，且，则
的最小值为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知向量，
，函数
．
（1）求的最小正周期；
（2）当
时，
的最小值为，求
的值．
321024y x =F ()11,A x y ()22,B x y )122AB x x =
++AFB ∠23
π56
π34
π3
π()y f x =R 0x >()()0f x x f x '+⋅<()0.2
0.23
3a f =()()log 2log 2b f ππ=2211log log 44c f ⎛
⎫⎛
⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭a b c a c b >>c a b >>c b a >>b a c >>(),1m n =-a ()(),10,0n m n =>>b ⊥a b 1
4n m
+
18．（12分）如图所示，矩形中，，平面，，为上的点，且平面．
（1）求证：平面；
C BGF
（2）求三棱锥的体积．
19．（12分）交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样
了人，回答问题统计结果如图表所示：
（1）分别求出，，，的值；
（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人，则第，，组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．
1565n a b x y 23462346222
20．（12分）已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）．
①设，证明：；
②求四边形的面积的最小值．
21．（12分）已知函数
． （1）若图象上处的切线的斜率为，求的极大值；
（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值．
()()3
21,3
f x x ax bx a b =+-∈R ()y f x =111,3⎛⎫
- ⎪⎝⎭4-()y f x =()y f x =[]1,2-a b +
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．
（1）求圆心的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆引切线，并切线长的最小值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，恒有，求的取值范围．
2018届甘肃省兰州市高三第一次模拟考试卷
数学（文）答案
一、选择题．
1-5：CDCBB 6-10：AABCD 11、12：AC
二、填空题．
13．14．15．16．9
三、解答题．
π5
17．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知：
，
∴的最小正周期为．
（2）由（1）知：，当时，．∴当时，的最小值为．
又∵的最小值为，∴，即．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）∵面
，∴，
又，∴
．
∵面
，∴． 又
，∴
面
，即
平面
．
（2）∵，∴
，， 又∵为中点，∴．
∵面，∴面．
∴．
19．【答案】（1），，，；（2）2，3，1；（
3）．
【解析】
（1）第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴， 第组人数，∴．
（2）第，，组回答正确的人的比为， ∴第，，组每组应各依次抽取人，人，人．
（3）记抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种，他们是：
，，，，，，，，，，，，，，．
1
3
2AE EB BC ===EC =BF CF G AC 1GF =AE ⊥BCE GF ⊥BCE 111
1323
C BGF G BCF V V --==⨯⨯180.990.23
5
150.510÷=100.1100n =÷=21000.220⨯=200.918a =⨯=31000.330⨯=27300.9x =÷=41000.2525⨯=250.369b =⨯=51000.1515⨯=3150.2y =÷=23418:27:92:3:1=234231621a 2a 31b 2b 3b 4c 6215()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()1,a c ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()2,a c ()12,b b ()13,b b ()1,b c ()23,b b ()2,b c ()3,b c
其中第组至少有人的情况有种，他们是：，，，，，，，，．故所求概率为
． 20．【答案】（1）
；（2）①见解析；②
． 【解析】（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆
与圆
内切，
则
，
， ，
由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，
，
，
，
的方程为
．
（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，
则有， 又因
，，
，
为不同的四个点，
． ②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为． 若两条直线的斜率存在，设的斜率为，
则的方程为
，
解方程组，得，
则，同理得，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
综上所述，当
时，四边形
的面积取得最小值为
．
219()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()1,a c ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()2,a c 93155
=
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
由题意得且，即，解之得，．
∴，， 令得，， 列表可得
∴当时，取极大值
． （2）∵在上是减函数，∴在
上恒成立，
∴，即，
作出不等式组表示的平面区域如图
当直线经过点时，取最小值．
533
2
()32
13
f x x ax bx =+-()2'2f x x ax b =+-()'14f =-()1113f =-124
11133a b a b +-=-⎧⎪
⎨+-=-⎪⎩1a =-3b =()3
2133
f x x x x =
--()()()'13f x x x =+-()'0f x =11x =-23x =1x =-()f x 53
()y f x =[]1,2-()2
'20f x x ax b =+-≤[]1,2-()()
'10120
440'20f a b a b f -≤⎧--≤⎧⎪⇒⎨⎨+-≤≤⎩⎪⎩210440a b a b +-≥⎧⎨-+≤⎩z a b =+1,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
z a b =+32
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
∴圆的直角坐标方程为，
即，∴圆心直角坐标为．
（2）方法1：直线上的点向圆引切线长是
，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．
方法2：直线的普通方程为，
∴圆心到直线距离是，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
∴，∴或，解集为．
（2），∵，∴时，恒成立，
又时，当时，，∴只需即可，
∴．。