北京市高二数学下学期期中试题 理

2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟
卷（I ）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数
i
-12= A. 2+2i B . 22+2
2i C. 1-i
D. 1+i
2. 下列求导正确的是
A. （3x 2
-2）'=3x
B. （log 2x ） '=
2
ln 1
⋅x
C. （cosx ） '=sinx
D. （
x
ln 1
）'=x 3. 曲线y=x ·e x
在x=1处切线的斜率等于 A. 2e
B. e
C. 2
D. 1
4.
⎰
4
2
1
dx x
等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为 A. （0，
e 1） B. （e ，+∞） C. （e 1，+∞） D. （e
1
，e] 6. 在复平面内，复数
i
i
+-12（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
7. 函数f （x ）=2
16x
x
+在区间[0，3]的最大值为 A. 3
B. 4
C. 2
D. 5
8. 已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2
+（1+x ）3
+…+（1+x ）n
，则f '0）= A. n
B. n-1
C.
2)1(-n n D. 2
1
n （n+1） 9. 函数f （x ）=x 3
+ax 2
+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A. （-1，2）
B. （-3，6）
C. （-∞，-3）∪（6，+∞）
D. （-∞，-1）∪（2，+∞）
10. 方程x 2
=xsinx+cosx 的实数解个数是
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i ）·i 的模为__________.
12. 由曲线y=x 2
,y=x 3
围成的封闭图形的面积为__________.
13. 若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 14. 如下图，由函数f （x ）=x 2
-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.
15. 已知S n =
11+n +21+n +…+n 21，n ∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >24
13
的过程中，从n=k 到n=k+l （k ∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________.
16. 对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得
))((21x x f =M ，则称
函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3
-x 2
+1，在x ∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x 2
-x
三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f （x ）=lnx-x 2
+x. （I ）求f （x ）的单调区间； （II ）求f （x ）在区间[
2
1
，e]上的最大值. 18. 已知函数f （x ）=1
1
22
2+-+x a ax ，其中a ∈R . （I ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在原点处的切线方程； （II ）求f （x ）的极值.
卷（II ）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
1. 若f （x ）=-
2
1x 2
+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1） 2. 观察（
x 1）'=-21x
，（x 3）'=3x 2
，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）=
A. -f （x ）
B. f （x ）
C. g （x ）
D. -g （x ）
3. 若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A. 2-1 B. 2-2 C. 2+1 D. 2+2
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
4. 曲线y=x n
在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.
5. 设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.
6. 对于函数①f （x ）=4x+x 1-5，②f （x ）=|log 2 x|-（2
1）x
，③f （x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：
命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.
三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. 已知函数f （x ）=x 3
+ax 2
+bx+a 2
.
（I ）若f （x ）在x=1处有极值10，求a ，b 的值；
（II ）若当a=-1时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围 8. 已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.
（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+2
1
x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；
（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
参考答案 卷（I ）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D
B
A
D
C
D
A
D
C
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11 5
12 12
1 13 （1，0）或（-1，-4）
14
1
15
2
21
121+-
+k k 16
5
三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. （本小题满分8分）
解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2
+x 其中x>0 所以f '（x ）=
x
1-2x+1=x x x )
12)(1(+-
所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II ）由（I ）f （x ）在[
2
1
，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f （x ）max =f （1）=0 f （x ）max =f （1）=a-1 18. （本小题满分12分） （I ）解：当a=1时，f （x ）=
1
22
+x x
，f '（x ）=-222)1()1)(1(+-+x x x …………2分 由f '（0）=2，得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分 （II ）解：f '（x ）=-2
1)
1)((2
+-+x ax a x . ……………6分 ①当a=0时，f '（x ）=
1
22
+x x
. 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分
当a ≠0，f '（x ）=-2a
1
)
1
)((2+-+x a x a x . ②当a>0时，令f '（x ）=0，得x 1=-a ，x 2=
a
1
，f （x ）与f '（x ）的情况如下:
x （-∞，x 1） x 1 （x 1,x 2） x 2 （x 2,+∞） f '（x ） - 0 + 0 - f （x ）
↘
f （x 1）
↗
f （x 2）
↘
故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ）,（
a 1,+∞）；单调增区间是（-a ，a 1）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （
a
1）=a 2
………10分 ③当a<0时，f （x ）与f '（x ）的情况如下： x （-∞，x 2） x 2 （x 2,x 1） x 1 （x 1,+∞） f '（x ） + 0 - 0 + f （x ）
↗
f （x 2）
↘
f （x 1）
↗
所以f （x ）的单调增区间是（-∞，
a 1）；单调减区间是（-a
1，-a ），（-a,+ ∞）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （
a
1）=a 2
………………12分 综上，a>0时，f （x ）在（-∞，-a ），（
a 1，+∞）单调递减；在（-a,a
1
）单调递增. a=0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （
a 1）=a 2
；a<0时，f （x ）在（-∞,a 1），（-a,+∞）单调递增；在（a
1，-a ）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （
a
1）=a 2
. 卷（II ）
一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 1 2 3 答案 C
C
C
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 4 5
6 答案
3
9
3
4 ①②
三、解答题：本大题共2小题，共20分. 7. （本小题满分8分）
解：（I ）f '（x ）=3x 2
+2ax+b ，由题设有f '（1）=0，f （1）=10
即⎩⎨
⎧=+++=++10
10
232
a b a b a 解得⎩⎨
⎧=-=33b a 或⎩⎨⎧-==11
4
b a
经验证，若⎩⎨⎧=-=3
3b a 则f '（x ）=3x 2-6x+3=3（x-1）2
当x>1或x<1时，均有f '（x ）>0，可知 此时x=1不是f （x ）的极值点，故⎩⎨
⎧=-=3
3
b a 舍去
⎩⎨⎧-==114b a 符合题意，故⎩⎨
⎧-==11
4
b a . （II ）当a=-1时，f （x ）=x 3
-x 2
+bx+l 若f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，即 x 3
-x 2
+bx+1<0在x ∈[1，2]恒成立
即b<x x x 123-+-在x ∈[1，2]恒成立
令g （x ）=x
x x 1
23-+-，则
g '（x ）=2232)1()23(x x x x x x -+--+-=2
231
2x
x x ++- （法一：由g '（x ）=0解得x=1…）
（法二）由-2x 3
+x 2
+1=1-x 3
+x 2
（1-x ） 可知x ∈[1，2]时g '（x ）<0
即g （x ）=x
x x 1
23-+-在x ∈[1，2]单调递减
（g （x ））max =g （2）=-
2
5
∴b<-
2
5
时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立 8. （本小题满分12分）
解：（I ）易得，f '（x ）=3x 2
-3a ，所以f '（1）=3-3a ， 依题意，（3-3a ）（-
2
1
）=-1，解得a=31; ………3分
（II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+
21x-2]=-x[（1-lnx ）+21x-2]=xlnx-2
1x 2
+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2， 则t '（x ）=
x
1
-1=x x -1.
令t '（x ）=0，得x=1.
则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数； 由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数； 而F '（
21e ）=-2-21e +2=-21e
<0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1， 且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数； 在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数. 所以x 1为极值点，此时m=0.
又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2， 且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数； 在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数. 所以x 2为极值点，此时m=3.
综上m=0或m=3. …………………9分
（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g（x ）>0，不满足条件； （2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3
-3ae+e ，
①若f （e ）=e 3
-3ae+e≤0，即a≥3
1
2+e ，则e 是h （x ）的一个零点；
②若f （e ）=e 3
-3ae+e>0，即a<3
1
2+e ，则e 不是h （x ）的零点；
（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.
因为f '（x ）=3x 2
-3a>3e 2
-3a ，所以
①当a≤e 2
时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增. 又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以
（i ）当a≤31
2+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；
（ii ）当3
12+e <a≤e 2
时，f （e ）<0，
又f （2e ）=8e 3
-6ae+e≥8e 3
-6e 3
+e>0，
所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；
②当a>e 2
时，令f '（x ）=0，得x=±a .
由f '（x ）<0，得e<x<a ；
由f '（x）>0，得x>a；
所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，
f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，
所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；
综上，a>
31
2
e
. …………12分。