人教版高中数学全套教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与

§3.2 立体几何中的向量方法 (一)
—— 平行与垂直关系的向量证法
知识点一 求平面的法向量
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一
个法向量．
解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
AB ＝(1，－2，－4)，AC →
＝(1，－2，－4)，
设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC →
= 0.
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y z ＝0
.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．
【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：
AE
是平面A 1D 1F 的法向量.
证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE 是平面A 1D 1F
的法向量．
证明
设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，1
2. .D 1＝(0,0,1)， F ⎝⎛⎭
⎫0，1
2，0，A 1(1,0,1)．
1D F ＝⎝⎛⎭
⎫0，12，－1，A 1D 1→
＝(－1,0,0)． ∵AE ·1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1＝12－1
2＝0， AE ·
A 1D 1→
＝0，∴AE ⊥A 1D 1→
.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴ AE 是平面A 1D 1F 的法向量．
知识点二 利用向量方法证平行关系
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.
证明 方法一 ∵
1B C =1A D ，
∴ B 1A D ∉
∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥面ODC 1.
方法二 ∵1B C =11B C +1B B
=1B O +1OC +1D O +OD =1OC +OD .
∴
1B C ，
1OC ，
OD 共面.
又B 1C ⊄ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.
方法三
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C(0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，
1B C ＝(－1,0，－1)，
OD ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1
2，－1， 1OC ＝⎝⎛⎭
⎫－12，1
2，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，
则10,
0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎨⎧
－12x 0－1
2
y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②
令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴1B C ⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1.
【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．
如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.
求证：AE ∥平面DCF.
证明 如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —
xyz.
设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ， 则C(0,0,0)，A(3，0，a)，
B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →
＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，
BE ＝(0，b,0)，
所以
CB ·AE →
= 0，CB ·
BE = 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.
所以CB ⊥平面ABE.因为CB ⊥平面DCF ，
所以平面ABE ∥平面DCF.故AE ∥平面DCF.
知识点三 利用向量方法证明垂直关系
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1
上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.
解
建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．
设M （2，2，m ），则
EF =（-1，1，0）
，B 1E →
=（0， -1， -2）， 1D M =（2，2，m -2）.
∵ 1D M ⊥平面EFB 1，
∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ，
∴
1D M ·EF = 0且
1D M ·B 1E →
= 0，
于是-2+2=0,
-2-2(m-2)=0,
⎧⎨
⎩
∴m ＝1，
故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.
【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．
在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.
求证：AC 1⊥A 1B.
证明 建立空间直角坐标系C 1—xyz ， 设AB ＝a ，CC 1＝b. 则A 1⎝⎛
⎭⎫32a ，a 2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b ， C 1(0,0,0)． 于是
1A B =⎝⎛⎭
⎫
32a ，1
2a ，b 1B C =（0，- a ，b ），
1AC ＝⎝⎛⎭
⎫－32a ，－a
2，－b .
∵B 1C ⊥A 1B ，∴ 1B C ·1A B ＝ －a 22＋b 2
＝0,
而1A C ·1A B ＝34a 2－14a 2－b 2＝a 22－b 2
＝0
∴ 1A C ⊥1A B
即AC 1⊥A 1B.
课堂小结：
1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．
(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)．
(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．
(4)根据法向量定义建立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
a·
n ＝0b·n ＝0.
(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.
2．平行关系的常用证法
AB ＝λCD →
.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．
3．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
一、选择题
1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB 按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0) D ．(－2，－2,0) 答案 B
AB ＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交但不垂直
C ．垂直
D ．不能确定 答案 C
解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )
A ．(－9，－7,7)
B ．(18,17，－17)
C ．(9,7，－7)
D ．(－14，－19,31) 答案 B
解析 ，设B （x ，y ，z ），
AB =（x -2，y+1，z -7）
=λ（8，9，- 12），λ>0.
故x -2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ，
又（x -22+（y+12+（z -72 = 342， 得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.
∴x = 18,y = 17,z =-17, 即B （18，17，- 17）.
4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
答案 D
解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， 则有23＝4x ＝5y ，
解方程得x ＝6，y ＝
152
. 5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ． D ．l 与α斜交
答案 B
解析 ∵u ＝－2a ， ∴a ∥u ，∴l ⊥α. 二、填空题
6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23，23或⎝⎛⎭⎫－13，－23，－2
3 解析，
AB =（1，2，2）
，|AB | = 3 . 模为1的方向向量是±
||
AB
AB , 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．
答案 x ＋y ＋z ＝0
解析 OM ·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.
8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．
答案 (1,4，－5)(答案不唯一)
解析 设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别
为n 1，n 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·n 1＝0，n ·n 2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.
解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，
则有n ＝(1,4，－5)． 三、解答题
9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；
(2)平面ADE ∥平面B 1C 1
F.
证明 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ， 则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，
C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以
1FC =（0，2，1），
DA =（2，0，0），AE =（0，2，1）.
（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量
, 则n 1 ⊥ DA
， n 1⊥AE
，
即 1,11·2·
2,DA x AE y z ⎧=⎪⎨
=+⎪⎩11n n 得
1110,
2,
x z y =⎧⎨
=-⎩ 令z 1＝2，则y 1＝－1，
所以n 1＝(0，－1,2)．
因为 FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.
（2）∵
11C B =（2，0，0），
设n 2 = (x 2 , y 2 , z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量. 由n 2⊥FC 1→
,n 2⊥11C B ,
得
21222112·
20,·
20,n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨
==⎪⎩得
得2220,
2,
x z y =⎧⎨
=-⎩
令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.
10.
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AP ＝BQ ＝b (0<b<1)，截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.
(1)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；
(2)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；
(3)若b ＝1
2
，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值．
解 以D 为原点，射线DA 、DC 、DD ′分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D —xyz ，由已知得DF ＝1－b ，故A(1,0,0)，A ′(1,0,1)，D(0,0,0)，
D ′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．
(1)，证明 在所建立的坐标系中,可得
PQ = (0,1,0),
PF = ( -b , 0, -b),PH = (b -1,0,1 -b),
'AD = ( -1,0,1),
AD = ( -1,0, -1),
因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PF
= 0
，
所以'AD 是平面PQEF 的法向量.
因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PH =0
，
所以
'AD 是平面PQGH 的法向量.
所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直
. (2)证明，因为EF = (0, -1,0),
所以
EF ∥PQ , |EF | = |PQ |,
又PF ⊥PQ ,所以四边形PQEF 为矩形, 同理四边形PQGH 为矩形.
在所建立的坐标系中可求得|PH | = (1-b), |PF | = b,所以|PH | + |PF |
,又|PQ | = 1,
所以截面PQEF 和截面PQGH 是定值. (3)解 由(1)知'AD ＝(－1,0,1)是平面PQEF 的法向量．
由P 为AA ′的中点可知，Q 、E 、F 分别为BB ′、BC 、AD 的中点．
所以E （ 1
2，1，0,），'D E ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，因此D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值等于|cos 〈AD ′→
,'D E > ＝22
.。