【Word版题库】 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性

第3讲 函数的奇偶性与周期性
一、填空题
1．若函数f(x)＝2
2＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________.
解析 由题意，得f(0)＝0，所以2
20
＋1
＋m ＝0，即m ＝－1. 答案 －1
2．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2 011)＝________
解析 因为f(－x)＝－f(x)，f(x ＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2 011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1. 答案 1
3．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x
－3，
则f(－2)＝________.
解析 ∵f(x)为R 上的奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)．
又当x ＝2时，f(2)＝22
－3＝1，∴f(－2)＝－1. 答案 －1
4．设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f(1－x)＋f(1
＋x)＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
m>3，2
－6m ＋＋
2
－，
那么m 2＋n 2
的取值范
围是________．
解析 考查函数单调性及对称性，举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法．如：f(x)＝x －1，f(x ＋1)
＋f(1－x)＝0，所以f(x)的对称中心为(1,0)，∴不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
m>3，
－2
＋－
2
<4，
由图可知OA 最小，
OA ＝13，OB 最大，OB ＝7，∴m 2＋n 2
∈(13,49)．
答案 (13,49)
5．设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则
f(99)＝________.
解析 由f(x)·f(x＋2)＝13得f(x ＋2)＝13
，∴f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝
13
＋
＝f(x)．
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝13
＝
132
. 答案 13
2
6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3
a ＋1
，
则a 的取值范围是________． 答案 ⎝
⎛⎦⎥⎤－1，23 7．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足条件f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32＝－f(x)，且函数y
＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个 ①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称； ③函数f(x)为R 上的偶函数； ④函数f(x)为R 上的单调函数． 其中真 答案 ①②③
8．若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断： ①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x ＝1对称； ③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数； ⑤f(2)＝f(0)．
其中正确的序号是________． 解析 ∵f(x ＋1)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)， ∴f(x)是周期为2的函数，①正确．
又∵f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)， ∴y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，②正确． 又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数， ∴f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x ＝1，
∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确． 答案 ①②⑤
9．已知函数f(x)＝x 2
－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－
π2，π2，则满足f(x 0)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的x 0的取值范围为________． 解析 f′(x)＝2x ＋sin x ，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2内f′(x)>0，
∴f(x)在区间⎝
⎛⎦⎥⎤0，
π2内单调递增，此时由f(x 0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3得x 0∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π2，易证f(x)是偶函数，∴x 0∈
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－π2，－π3也符合题意． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－π2
≤x＜－π3或π3＜x≤
π2 10．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f(x)，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四
个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称；③函数f(x)为R 上的偶函数；
④函数f(x)为R 上的单调函数．其中真
解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f(x)，得f(x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f(x)，所以①正确．②由y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －34为奇函数，得f(x)图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，得f(x)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f(x)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f(x)是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．
答案 ①③ 二、解答题
11．设f(x)＝e x
＋ae －x
(a ∈R ，x ∈R)． (1)讨论函数g(x)＝xf(x)的奇偶性；
(2)若g(x)是偶函数，解不等式f(x 2
－2)≤f(x)． 解 (1)a ＝1时，f(x)＝e x
＋e －x
是偶函数， 所以g(x)＝xf(x)是奇函数； a ＝－1时，f(x)＝e x
－e －x 是奇函数， 所以g(x)＝xf(x)是偶函数．
a≠±1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函数．
(2)当g(x)是偶函数时，a ＝－1，f(x)＝e x
－e －x
是R 上的单调递增函数，于是由f(x 2
－2)≤f(x)得x 2
－2≤x， 即x 2
－x －2≤0，解得－1≤x≤2. 12.已知函数f(x)＝x 2
＋a x (x≠0，a ∈R)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x 2
(x≠0)为偶函数； 当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)设x 2>x 1≥2，
则f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 2
2－a x 2
＝
x 1－x 2
x 1x 2
[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]， 由x 2>x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)>16，x 1－x 2<0，x 1x 2>0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f(x 1)－f(x 2)<0，
即x 1x 2(x 1＋x 2)－a>0恒成立，则a≤16.
13．定义在R 上的增函数y ＝f(x)对任意x ，y ∈R 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)为奇函数；
(3)若f(k·3x
)＋f(3x
－9x
－2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
(2)证明：令y ＝－x ，得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x ∈R 成立， 所以f(x)是奇函数．
(3)因为f(x)在R 上是增函数， 又由(2)知f(x)是奇函数．
所以f(k·3x
)<－f(3x
－9x
－2)＝f(－3x
＋9x
＋2)， 所以k·3x
<－3x
＋9x
＋2，
即32x
－(1＋k)·3x
＋2>0对任意x ∈R 成立．
令t ＝3x
>0，问题等价于t 2
－(1＋k)t ＋2>0对任意t>0恒成立． 令f(t)＝t 2
－(1＋k)t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2，
当1＋k 2
<0，即k<－1时，f(0)＝2>0，符合题意；
当1＋k
2
≥0，即k≥－1时，f(t)>0对任意t>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧
1＋k 2
≥0，Δ＝＋2
－4×2<0，
解得－1≤k<－1＋2 2.
综上所述，当k<－1＋22时，f(k·3x
)＋f(3x
－9x
－2)<0对任意x ∈R 恒成立． 14． (1)已知f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2
－x －1，求f(x)的解
析式；
(2)设a>0，f(x)＝e x
a ＋a
e
x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；
(3)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m 2
)<0的实数m 的取值范围．
解 (1)∵f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当x<0时，－x>0，
由已知f(－x)＝(－x)2
－(－x)－1＝x 2
＋x －1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x 2
－x ＋1. ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－x －1，x>0，0，x ＝0，
－x 2－x ＋1，x<0.
(2)∵f(x)是R 上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)在R 上恒成立． 即e －x
a ＋a e －x ＝e x
a ＋a e
x ， (a 2
－1)(e 2x
－1)＝0，对任意的x 恒成立，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2－1＝0，a>0，解得a ＝1.
(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴有⎩⎪⎨⎪⎧
－2≤1－m≤2，－2≤1－m 2
≤2，
解得－1≤m≤ 3.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m 2
)＝f(m 2
－1)⇒1－m>m 2
－1，即－2<m<1.② 综合①②，可知－1≤m<1.。