高二数学立体几何 多面体部分教案全集(课时1-15)

课时1 棱柱（一）
教学目的：理解棱柱的概念，掌握棱柱的分类以及有关性质。

教学过程：
1、棱柱的概念：
（1）定义：
（2）几个名称：
2、棱柱的分类：
（1）按侧棱与底面是否垂直分：
（2）按底面边数分：
3、棱柱的性质：
（1）
（2）
（3）
4、例题：
例1、正三棱柱ABC—A1B1C1，过侧棱BB1的截面与侧面AA1C1C相交于DD1，求证：截面BB1D1D是矩形。

例2、一直棱柱，底面是边长为3和4的平行四边形，且底面一条对角线为6，该棱柱最长对角线为10，求侧棱长。

例3、在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=60ο，AA1=a,AB=AC=2a,求证：CC1垂直于平面A1BC。

例4、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD=a/2，在侧棱CC1上截取CE=a，（1）求证平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求∆ADE的面积；（3）求平面ADE与平面ABC所成的角。

5、练习：书P43：1；课课练P46：1——6。

6、作业：书P46：3；课课练P46：8、9；P49：10。

课时2 棱柱（二）
教学目的：掌握平行六面体的概念，性质；知道各集合的包含关系；掌握长方体的性质。

教学过程：
1、棱柱的概念、分类和性质
2、四棱柱的特殊情形：
（1）平行六面体
（2）直平行六面体
（3）长方体
（4）正四棱柱
（5）正方体
3、长方体的性质：
4、例题
例1、长方体ABCD—A1B1C1D1中，设D1B与自D1出发的三个面成αβγ角，求证
cos2α+cos2β+cos2γ=2.
例2、四棱柱ABCD—A1B1C1D1中给出三个论断：（1）四棱柱是直四棱柱，（2）底面ABCD 是菱形，（3）AC1 B1D1. 以其中两个论断作条件，余下一个作结论，可以得到三个命题，其中有几个是真命题？为什么？
例3、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有对角线都相等，求证：平行六面体ABCD—A1B1C1D1是长方体。

例4、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD =∠BCD=600，
（1）证明C1C⊥BD；
（2）设CD=2，CC1=3/2，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；
（3）当CD/CC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明。

5、练习：书P43：2；课课练P47：1—6。

6、作业：书P46：4、5；课课练P45例1；P47例1（1）、例2；P48 9、10。

课时3 棱柱（三）
教学目的：理解斜二测画法及其规则，掌握棱柱的侧面积、全面积的计算。

教学过程：
1、水平放置的平面图形的直观图的画法：
2、直棱柱画法：
3、棱柱的侧面积、全面积：
4、例题
例1、画水平放置的正六边形的直观图和正六棱柱的直观图。

例2、长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底面的对角面的面积为M，则长方体的侧面积是多少？
例3、三棱柱的底面是边长为4cm的正三角形，侧棱长为3cm，一条侧棱与底面相邻两边都成600角，求棱柱的侧面积。

变一：已知斜三棱柱ABC—A1B1C1各棱长都是a，且一个顶点A1在另一底面的射影恰好是这底面正三角形的中心，且底面正三角形的边长为a，求此三棱柱的全面积。

变二、斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,A1A=A1B=A1C，AA1=13cm。

求斜三棱柱的全面积。

5、练习：课课练P49 1、2、5、7
6、作业：书P45 练习2 习题2 课课练P48 8 P50 8、10（只求侧面积）
课时4 棱柱（四）
教学目的：运用棱柱的概念和性质解决棱柱中的有关计算和证明题。

教学过程：
1、棱柱的概念、性质、侧面积
2、例题
例1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1、B1、C1三点的平面和底面ABC的交线为L。

（1）判定直线A1C1和直线L的位置关系，并加以证明；
（2）设AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=900，求点A1到直线L的距离；
（3）在（2）的条件下，求平面A1BC1与底面ABC所成的二面角大小。

例2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：AB1=A1C。

例3、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，各侧面均为正方形，M是CC1的中点，求（1）点B1到截面A1BM的距离；
（2）截面A1BM与截面ABC所成二面角的大小。

例4、已知ABC—A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点，
（1）证明：AB1∥平面DBG1；
（2）假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱的DBC1与CBC1为面的二面角的度数。

作业：指导用书P75 38—42。

课时5 棱锥（一）
教学目的：掌握棱锥的概念，理解棱锥的底面，侧面，侧棱，顶点，高等定义。

理解并掌握棱锥的性质。

教学过程：
1、棱锥的概念：
（1）定义
（2）几个名称
3、棱锥的分类
4、一般棱锥的性质
5、正棱锥的性质
（1）
（2）
（3）
6、例题
例1、已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM=h1，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积。

变一：已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为L，侧面与底面所成角为α，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积。

变二：已知正三棱锥S-ABC的斜高长为h1，侧棱与底面所成角为α,求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积。

例2、已知正三棱锥的高3cm，一个侧面三角形的面积为63cm2，求这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角。

例3、正四棱锥的棱长均为a，（1）求侧面与底面所成角α的余弦值；
（2）求相邻两个侧面所成二面角β的余弦值；（3）求证β=2α。

7、练习：书P49 1、2 ；课课练P51 1—7；
8、作业：书P52 习题2—5 ；课课练P51 例1、例3、P52 8。

课时6 棱锥（二）
教学目的：学会正棱锥的直观图画法，掌握棱锥的侧面积、全面积的计算。

教学过程：
1、正棱锥直观图的画法
2、棱锥的侧面积
3、例题
例1、画一个底面边长为5cm,高为11.5cm的正五棱锥的直观图，比例尺是1/5。

例2、已知三棱锥的底面积为S，各侧面与底面所成的角都为α，
求证：它的侧面积S1=Scosα。

例3、四棱锥P—ABCD的底面是面积为9的矩形，PA⊥平面ABCD，侧面PBC和PDC与底面所成的角分别是600和300，求四棱锥的全面积。

例4、已知正三棱锥P—ABC的底面边长为a，过BC作截面DBC垂直侧棱PA于D，且此截面与底面成300的二面角，求此三棱锥的侧面积。

例5、已知棱锥V—ABCD的高为h，底面是菱形，侧面V AD和侧面VCD分别垂直于底面，并且这两个侧面所成的二面角为1200，另外两个侧面分别和底面成300角，求棱锥的全面积。

4、练习：书P50 练习；课课练P53 1—6；
5、作业：课课练P52 10、P53 例3，P54 5--7，P58 8。

课时7 柱体、锥体的体积
教学目的：掌握柱体、锥体的体积。

教学过程：
1、柱体的体积
2、锥体的体积
3、例题
例1、已知三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成600角，PA=a,PB=b，PC=c，求三棱锥的体积。

变题一：三棱柱的底面是边长为4cm的正三角形，侧棱长为3cm，一条侧棱与底面相邻两边都成600角，求棱柱的体积。

变题二：平行六面体相交于一个顶点的三条棱的长分别是a、b、c，三条棱中每两条的夹角是
600，求它的体积。

例2、斜三棱柱ABC—A1B1C1的一个侧面面积为S，这个侧面与它所对棱的距离等于a，求此三棱柱的体积。

例3、在底面是平行四边形ABCD的四棱锥P—ABCD中，MN是棱PA和BC的公垂线，MN=l，PA=a，BC=b，PA和BC所成角为θ，求四棱锥P—ABCD的体积。

例4、一个平行于棱锥底面的截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比为1：3，求截面把棱锥分成两部分的体积之比。

4、练习：课课练P50 4、6；P55 1—7；
5、作业：课课练P50 9、10；P55 例1，P56 8、9；书P46 9；P53 8、9。

课时8 多面体和正多面体
教学目的：了解多面体和正多面体的概念，并能解决有关问题。

教学过程：
1、多面体的概念
2、多面体的分类
3、正多面体的概念
4、正多面体的种类
5、例题
例1、求证：正四面体内任意一点到四个面的距离之和等于这个四面体的高。

例2、一个正方体以棱长为a的正八面体各面中心为顶点，另有一个正方体八个顶点在这个正八面体的各条棱上，求这两个正方体的棱长。

例3、（1）求正四面体相邻两个面所成二面角的大小。

（2）求正八面体相邻两个面所成二面角的大小。

例4、将两个棱长相等的正四面体和正八面体拼接起来，使其中一个面完全重合，求拼接后所得的新多面体的面数。

6、练习：书P52 练习1、2，课课练P57 1—7；
7、作业：书P53 10，课课练P58 8、9、10。

课时9 欧拉公式
教学目的：理解简单多面体的概念；理解并熟记欧拉公式；会运用欧拉公式及相关的知识进行计算及推理。

教学过程：
1、简单多面体
2、欧拉公式
3、例题
例1、C60是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。

这个多面体有60个顶点，从每个顶点出发都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种。

计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
例2、有没有棱数是7的简单多面体？说明理由。

例4、求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么多面体的面数为偶数。

4、练习：书P61 练习1、2；
5、作业：书P61 习题2、3、4。

补充：如果一个凸多面体，各顶点引出奇数条棱，求证：顶点数为偶数。

课时10 球（一）
教学目的：掌握球的概念、性质，并能计算球面上两点间的距离。

教学过程：
1、球的概念：
（1）球的定义、有关名称：
（2）球的性质
2、球面距离：
（1）经度
（2）纬度
（3）球面距离
3、例题：
例1、用两个平行平面去截半径为25cm的球，所得两个截面半径分别为20cm和24cm，求这两个截面之间的距离。

例2、设地球半径为R，在北纬450圈上有A、B两地，它们的经度差为900，求（1）纬线圈上A、B两点间的劣弧长。

（2）A、B两地的球面距离。

例3、A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C两点间的球面距离为п/3，点A与B、C两点间的球面距离均为п/2，且球心为O，求：
（1）∠AOB，∠BOC的大小；（2）球心到截面ABC的距离。

4、练习：书P66 1、2；课课练P61 1—
5、7，
5、作业：书P71 1—4；课课练P62
6、8、9。

课时11 球（二）
教学目的：掌握球的体积公式，并能运用公式计算相关问题。

教学过程：
1、柱体、锥体的体积
2、球的体积
3、例题
例1、一种空心钢球的质量是142g，外径5.0cm，求它的内径（钢的密度是7.9g/cm3）。

例2、如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等，求证：圆柱，球与圆锥的体积之比是3：2：1。

例3、已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为4，判断这个三棱柱内能否放进一个体积为
43 的球。

例4、一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？
例5、求棱长均为a的正三棱锥的内切球与外接球的体积。

4、练习：书P69 1、2，课课练P63 1—7。

5、作业：书P71 5—8，P81 8；课课练P63 例1，P64 8、9。

课时12 球（三）
教学目的：掌握球的表面积公式，并能计算相关问题。

教学过程：
1、球的体积公式：
2、球的表面积公式：
3、例题
例1、在球O内有相距1cm的两个平行截面，截面面积分别是5лcm2和8лcm2，球心不在截面之间，求球O的表面积。

例2、A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的表面积。

变题：A、B、C是球面上三点，已知弦AB=6cm，∠ACB=300，球心O到截面的距离为5cm,求球O的表面积。

例3、已知圆锥的母线长为10cm，高为8cm，求此圆锥的内切球的表面积。

例4、设正三棱锥的侧面与底面所成角为600，求此正三棱锥全面积与它的内切球表面积之比。

例5、已知正四棱锥P—ABCD内接于球O，它的底面边长为a,侧棱和底面成α角，求球O的
表面积。

4、练习：书P71：练习1、2，课课练P65 1—7；
5、作业：书P72 9、10；课课练P65 例1 P66 9
补充：正三棱锥P—ABC的棱长为L，两侧棱的夹角为2α，求其外接球的表面积。

地球上有A、B两地，它们分别在北纬60°、东经153°，和北纬30°西经127°处，设地球半径为R，求A、B两地间的球面距离。

课时13 球（四）
教学目的：掌握球的有关性质，能计算球体与多面体、旋转体相结合的问题。

教学过程：
例1、P、A、B、C是球O的表面上四个点，PA、PB、PC两两垂直，
（1）求证：PA2+PB2+PC2为定值；
（2）若PA=PB=PC=1，求球O的表面积和体积；
（3）若PA=a，PB=b，PC=c，求球O的表面积和体积；
（4）求三棱锥P—ABC的体积的最大值。

例2、四棱锥P—ABCD中，底面是正方形，PA垂直底面，过A的截面AEFG分别交PB、PB、PD于E、F、G，且PC垂直截面AEFG，
（1）求证：点A、B、C、D、E、F、G在同一个球面上；
（2）若PA=PB=1，求截面AEFG截（1）中的球的截面面积。

例3求半径为R的球的内接正三棱锥的最大体积时三棱锥的高。

作业：课课练P66 8，P68 6；指导用书P90 34、35。

课时14 球（五）
教学目的：使学生掌握较复杂的球面距离的求法，能计算较简单的球体与多面体、其它旋转体相结合的问题。

例1：地球上有A、B两地，它们分别在北纬60°、东经153°，和北纬30°西经127°处，设地球半径为R，求A、B两地间的球面距离。

例2：一个圆锥的体积为512πcm3，它的内切球（与圆锥的侧面底面都相切）的面积是圆锥全面积的一半，求这个圆锥的外接球（圆锥的顶点和底面圆周都在球面上）的体积。

例3：在棱长为1+3的正方体内有两个球，这两个球的球心O1、O2在对角线AB上，它们外切，并各切于正方体交于点A或点B的三个面，
（1）求两球半径之和；
（2）当两球半径分别为多大时两球面积之和最大或最小。

作业：
1地球上有A、B两地，它们分别在北纬45°、东经133°，和南纬45°西经167°处，设地球半径为R，求A、B两地间的球面距离。

2课课练P70 9 , P66 10 ，指P87 15，P89 32 、33。

课时15 单元复习（一）
教学目的：复习棱柱、棱锥的有关性质，多面体的概念，能熟练地进行有关计算。

教学过程：
例1、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD和侧面BCC1B1都是正方形，且二面角B1—BC—A为600，M、N分别在面对角线AC、BC1上，且AM=BN，
（1）求证：MN∥侧面DCC1D1；
（2）若BN：NC1=1：3，MN=14/4，求此平行六面体的体积。

例2、在三棱锥P—ABC中，已知AB=3，AC=4，∠BAC的平分线AD=122/7，且棱锥的三条侧棱与底面都成600角，求：
（1）三棱锥的高；（2）三棱锥的侧面积。

例3、一个多面体，每个面的边数相同，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角和为36000，求这个多面体的面数F、顶点数V及棱数E。

例4、正三棱锥V—ABC的底面边长和高都是4，它的内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接三棱柱的体积与三棱锥的体积之比。

练习：课课练P69 1—7，
作业：（1）正四棱锥V—ABCD的底面边长和高都是4，它的内接正四棱柱的三个侧面都是正方形，求内接四棱柱的体积与四棱锥的体积之比。

（2）在三棱锥P—ABC中，已知AB=1，AC=2，∠BAC的平分线AD=1，且棱锥的三个侧面与底面都成600角，求：（1）三棱锥的高；（2）三棱锥的侧面积。

（3）课课练P68 10，P70 10，P72 15、16。