河南省第一高级中学2022-学年高二数学上学期期末考试试题 文

河南省第一高级中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题
文
本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部．考试时间120分钟，总分值150分．
第I 卷〔选择题，共60分〕
考前须知：
答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，那么=N M ( ) A.]2,1[
B.)2,1[
C.(2,3]
D.]3,2[
2.△ABC 中，“4
π
=
∠A 〞是“2
2
sin =
A 〞的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.在复平面内,复数
i 32i
15
-+对应的点位于〔 〕 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,那么目标函数y x z 32+=的最大值为( )
A.10
B. 9
C.8
D. 4
5.
是等差数列
的前项和,假设,
,那么=6S ( )
A.40
B.80
C.57
D.36
6.己知抛物线x y 42
=的焦点为F ,准线为l .假设l 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两
条渐近线分别交于
点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),那么双曲线的离心率为( ) A.3 B. 2
C. 2
D.5
ˆ,0.82 1.27,,x y y x x y =+7.己知的线性回归直线方程为且之间的一组相关数据如下表，则下列说法错误的是(
)
A ．变量,x y 之间呈现正相关关系
B. 2.09m =
C. 可以预测当5x =时，ˆ 5.37y =
D.由表可知，该回归直线必过点()1.5,2.5
()()()
()()()
21121,212
,0.
32,1,.32
x f x x f x f x x x x x f f a b f c -<--=
=--=-8.已知函数是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有记则()
A ．a c b <<
B.a b c <<
C.c b a <<
D.b c a <<
9.平面四边形ABCD 中，135BAD ∠=，120ADC ∠=， 45BCD ∠=，60ABC ∠=
BC =，那么线段AC 长度的取值范围是( )
A
．
B.3
2⎡⎢⎣
C.
D.32⎛ ⎝
10.
{}4
3
61-
=a a a n 中，若在等比数列，
234594
a a a a +++=
，那么
2345
1111
a a a a +++=( ) A.1
B.3
4
-
C.3-
D.
43
11.12,F F 为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点，假设椭圆C 上存在点P ，使得线
段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，那么椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B
．1
,
3
2⎡⎢⎣⎦
C ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
12.定义在()∞+，
0上的函数()x f 的导函数()x f '满足()2
1
'<x f x ，那么以下不等式中，一定成立的是〔 〕
A ．()()()1491-16+<<f f f B.()()()1-16914f f f <<+ C.()()()1-1425f f f <<+
D.()()()25411+<<-f f f
第II 卷〔非选择题，共90分〕
考前须知：1.答题前将密封线内的工程及座号填写清楚；
2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13.假设函数21
2
log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩假设()()f a f a >-,那么实数a 的取值范围是
____________.
14.1x >-，那么函数()()()
1
25+++=
x x x x f 的最小值为________.
15.设直线t x =与函数()2x x f =，()x x g ln 2=的图象分别交于点N M ，，那么当MN 到达最小值时，t 的值为．
16．a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，03
≥-a x .命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，假设命
题p q ∧为真命题，那么实数a 的取值范围是________________.
三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17.〔本小题总分值12分〕，在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且
A b
B a cos 3sin =．
〔1〕求角A 的大小；
〔2〕设ABC ∆的面积为33，求a 的取值范围．
18.〔本小题总分值12分〕{}n a 是等比数列，
31=a ，244=a ，数列{}n b 满足11=b ，84-=b ，且{}n n b a +是等差数列.
〔1〕求数列{}n a 和{}n n b a +的通项公式； 〔2〕求数列{}n b 的前n 项和.
19.〔本小题总分值12分〕在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用 支付的情况，得到如下的22⨯列联表，从其中使用 支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
5
4
. 〔1〕根据条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用 支付与年龄有关〞.
〔2)现按照“使用 支付〞和“不使用 支付〞进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容
量为5的样本，求“从样本中任选3人，那么3人中至少2人使用 支付〞的概率. 附：
()()()()()
d b c a d c b a bc ad n ++++-=
2
2
K 〔 其中 d c b a n +++=〕
20.〔本小题总分值12分〕椭圆C ：13
2
22=+
y a x 的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足
AF
e
OA OF 311=+，其中O 为坐标原点. 〔1〕求椭圆C 的标准方程；
〔2〕过点()10，
的直线l 与椭圆交于N M ，两点，求OMN ∆面积的最大值.
21.〔本小题总分值12分〕函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. 〔1〕求函数()f x 的极值；
〔2〕当2a =-时，假设直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.
选做题：〔本小题总分值10分〕两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程
22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==t
y t x 442
(其中为参数).以坐标原点O 为
极点,
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为
015sin 82=+-θρρ.
(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程; (2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4
π
的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,那么||||22B C A C +的值.
23.|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；
(2)假设R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围
数学〔文科〕试卷参考答案
一选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
A
D
B
C
C
B
A
B
C
D
A
二填空题
13 ()()∞+⋃，，101
-． 14 9 ． 151． 1612=-≤a a 或． 三解答题
17〔1〕解：A b B a cos 3sin =．
∴由正弦定理可得：A B B A cos sin 3sin sin =……………………………2分
又
sin 0B ≠，得()tan 3,0,A A π=∈又
3
A π
∴=
……………………………5分
〔2〕因为3
A π
=
，ABC ∆的面积为1sin 24
bc A =
=，解得12bc =………………………8分
由余弦定理可得：a =，
当且仅当b c ==
综上，边a 的取值范围为)+∞．………………………12分 18解：〔1〕{},n a q 设等比数列的公比为由题意得34
1
8,2a q q a =
==解得 11132n n n a a q --==⨯所以……………………………2分
{}n n a b +设等差数列的公差为d,由题意得
()()4411441
a b a b d +-+=
=-.
()()1114.n n a b a b n d n +=++-=所以……………………………6分
〔2〕由〔1〕知1432n n b n -=-⨯由(1)知，{}()421;n n n n +数列的前项和为
{}()132321n n n -⨯⨯-数列的前项和为……………………………10分
{}22232 3.n n b n n n +-⨯+所以，数列的前项和为……………………………12分
19解：〔1〕 从使用 支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
5
4
∴使用 支付的人群中的青年的人数为48605
4
=⨯人，……………………………2分
那么使用 支付的人群中的中老年的人数为1248-60=人，所以22⨯列联表为：
()()()()()
()22
2
10048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯
故有99.9%的把握认为“市场购物用 支付与年龄有关〞.…………………………6分 〔2〕这100名顾客中采用分层抽样从“使用 支付〞和“不使用 支付〞中抽取得到一个容量为5的样本中：
使用 支付的人有3100
60
5=⨯
人，
123;2记编号为，，不使用手机支付的人有人，记编号为a,b ……………………………
8分
那么从这个样本中任选3人有
()()()()()()()()()()
1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种
其中至少有2人是使用 支付的
()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，
故所求概率为
10
7
.……………………………12分 20.解：〔1〕,,.c OF c OA a AF a c ===-设椭圆的焦半距为,则
222113,,3e c e b a c c a a c a
+====--所以其中又,2, 1.a c ==联立解得
22
1.43
x y C +=所以椭圆的方程是……………………………4分
〔2〕.x 由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形
,1l x k l y kx =+当直线与轴不垂直时，设其斜率为那么的方程为.……………………
………6分
()22,43880.l C y k x kx ++-=联立与椭圆的方程，消去得
()()2
2832430,
.
k k ∆=++>于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是这显然成立
()()1122,,,.
M x y N x y 设点121222
88
,.4343
k x x x x k k +=-
=-++由根与系数的关系得
12243MN x O l k =-=+所以又到的距离
12OMN
S d MN ∆∴===……………………………10分
2433,3.t k t =+≥=≤=令那么当且仅当时取等号
OMN ∆所以……………………………12分 21解：〔1〕()2ln f x x a x =--定义域为()0,+∞，()1a x a f x x x
'-=-
=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值…………2分
②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.
当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.
故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值.……………6分
〔2〕当2a =-时，()22ln f x x x =-+，
直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程
222ln kx x x -=-+
在()0,+∞上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,+∞上没有实数解， 即2ln 1x
k x
-=在()0,+∞上没有实数解.……………………………8分
令()2ln x
g x x =，那么有()()2
21ln x g x x
-'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：
且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为
2e
；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.……………………………10分
所以当()21,e k ⎛⎫
-∈+∞
⎪⎝⎭
时，方程()12ln k x x -=无实数解， 解得k 的取值范围是21,e ⎛
⎫
+
+∞ ⎪⎝⎭
.…………………………………………12分 22.解：(1)曲线C 1的参数方程为2
44x t y t
⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x = (2)
分
曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分
(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分
代入24y x =可知2
2320t t ++=,.....8分
因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=分
23. (1)⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分 当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,
当211≤
≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]2
10(，, 当21>
x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,2
1
(, 综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分
(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,那么
max ])([32x x f a -≥-,.....6分
令⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分 那么1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。