第7章复数全章复习(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

解：(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数． (2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00，， 即 k＝4 时，该复数为纯虚数．
b 0 : 实数a 5,2i2
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)
i叫虚数单位,i2 1; a叫复数z的实部;
b
0
:
虚数
a a
0 0
: :
纯虚数bi 非纯虚数a
bi
1
2i, (1 2i,
3i
3)i 2
b叫复数z的虚部.
(3)虚数单位i: 规定i2=﹣1； i的幂有周期性，周期为4.
i i2 1 i3 i i4 1
(4)当kk22－－53kk－－64＝＝00，， 即 k＝－1 时，该复数为 0.
【点评】遇到题目中含有参数的复数问题，常常结合参数对结果的影响进行分类 讨论.
六、转化思想
【思想方法解读】复数相等的充要条件是把复数问题转化为 实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想 的体现. 把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程 或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的.
1.数系扩充
自然 数
有 整数 理
数
实 数
复 数
自然数集 N
解决x 2 0 引入负数(负号)
整数集Z
解决3x 2 引入分数(分数线) 有理数集 Q
解决x2 2 0 引入无理数(根号)
实数集R
解决x2 1 0 引入虚数i
复数集
2.复数的相关概念
(1)复数集C={a+bi|a,b∈R} R C
2.复数的相关概念
(5)复数的几何意义:
复数z=a+bi
一一对应
一一对应
复平面内的点Z(a,b)
平面向量O→Z=(a,b)
如: z1 2 3i在复平面内对应的点Z1(2,3),对应的向量OZ1 (2,3).
z2 2i在复平面内对应的点Z2(0,2),对应的向量OZ2 (0,2).
①建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； y
＋1|取最大值，必须 S△ABE 最大，而(S△ABE)max＝21
2·1＋
22＝
42(2＋
2)，
∴当
z＝
22－
2 2i
时，|z－i|·|z＋1|取最大值为
2＋
2.
【点评】掌握常见的复平面上的点的轨迹方程的复数表示方式，灵活运 用模的几何意义及复数运算的几何意义，通过数形结合，充分利用图形 的直观、形象的特点，可简化对问题的处理.
四、数形结合思想
【思想方法解读】数形结合既是一种重要的数学思想，又是 一种常用的数学方法. 本章中，复数本身的几何意义、复数 的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现. 它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面几何的桥 梁，使得复数问题和几何问题得以相互转化. 涉及的主要问 题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算、点的轨迹及 模的最值问题等.
3.复数的四则运算
(3)复数乘法的运算法则: 类似于多项式的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
对于任意z1，z2，z3∈C，有
①乘法交换律: z1·z2＝z2·z1
②乘法结合律: (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
例 6.i 是虚数单位，若12＋－7ii＝a＋bi(a，b∈R)，则 ab 的乘积是
A．－15
() B．－3
C．3
D．15
【答案】B 【解析】因为12＋－7ii＝12＋－7ii22＋＋ii＝－1＋3i，所以 a＝－1，b＝3，
故 ab＝－3.
例 7.已知复数 z＝1＋i，求实数 a，b 使 az＋2b z ＝(a＋2z)2. 解：∵z＝1＋i，∴az＋2b z ＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2
高考真题
1.(2020年新课标Ⅱ)(1－i)4＝
()
A. －4
B. 4
C. －4i
D. 4i
【答案】A
【解析】(1－i)2＝－2i，(1－i)4＝－4.故选A.
【点评】本题考查复数的运算性质，是基础的计算题.
2. (2020 年新课标Ⅰ)若复数 z＝1＋i，则|z2－2z|＝
A．0 C． 2
B．1 D．2
－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b 都是实数，∴由 az＋2b z ＝(a ＋2z)2，得 aa＋ －22bb＝ ＝a42＋a＋4a2，.
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0， 解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2. ∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2. 【点评】复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法.
五、分类讨论思想
【思想方法解读】分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是 一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的地位．该 思想在本章的很多知识中都有体现，常见的有: 对复数分 类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、一元二次方程根的 讨论等．
例5.实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数； (4)是0.
＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
z2－3z＋6
(2)已知 z＝1＋i，求
的模.
z＋1
解 z2－z＋3z1＋6＝1＋i2－2＋31i ＋i＋6＝32－ ＋ii＝1－i，
∵|1－i|＝ 2， ∴z2－z＋3z1＋6的模为 2.
方法技巧
(1)复数的除法运算是复数运算中的难点, 如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式, 首先应 该写成分式的形式, 然后再分母实数化. (2)虚数单位i的周期性 ①i4n＋1＝i, i4n＋2＝－1, i4n＋3＝－i, i4n＝1(n∈N*)； ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*).
加法结合律: (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (2)复数加法与减法的几何意义: 对应向量相加/减
复数之和z1 z2对应的向量为OZ1 OZ2. 复数之差z1 z2对应的向量为OZ1 OZ2 Z2Z1.
z1 z2 OZ1 OZ 2 Z2Z1 复数差的模=对应向量差的模=两点距离
2a
②若 b2 4ac 0, 方程有复数解x b
韦达定理:
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(b2 4ac) i 2a
3.复数的四则运算
(1)复数加法与减法的运算法则: 实部和虚部分别相加/减
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1＋z2＝ (a＋c)＋，(b＋d)i z1－z2＝ (a－c)＋_(b_－_.d)i 对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律: z1＋z2＝z2＋z1，
()
【答案】D 【解析】z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝2i－2－2i＝－2，则|z2－2z|＝|－
2|＝2.故选 D． 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础
题.
3. (2020 年新课标Ⅲ)复数1－1 3i的虚部是
A．－130 C．110
B．－110 D意义
例 2 已知 z 是复数，z＋2i， z 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋ai)2 在复平面上 2－i
对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围.
方法技巧
(1)复数z＝a＋bi(a, b∈R)同复平面上的点Z(a, b)是一一对应的, 同向量 是O→一Z一对 应的. (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2表示点 Z(a，b)到原点的距离， 亦即向量O→Z的模|O→Z|.由此可知|z|＝r 表示以原点为圆心，以 r 为半径的圆.
i
一、复数的有关概念
例1 当实数a为何值时, z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数； 解 由z∈R, 得a2－3a＋2＝0, 解得a＝1或a＝2.
(2)为纯虚数； 解 z 为纯虚数，则aa22－－23aa＝＋02，≠0， 即aa＝≠01或，a且＝a2≠，2. 故 a＝0.
(3)对应的点在第一象限内； 解 z 对应的点在第一象限，则aa22－ －23aa>＋02，>0， ∴aa<<10或或aa>>22，， ∴a<0 或 a>2. ∴a的取值范围是(－∞, 0)∪(2, ＋∞).
③乘法对加法的分配律: z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(4)复数除法的运算法则: 分母实数化(上下同乘分母的共轭复数)
a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
ac bci adi bdi2 c2 d 2
ac bd c2 d 2
bc c2
ad d2
(3)复数加减法的几何意义实质上是向量加减法的三角形法则和平行四边形法则, 由减法的几何意义可知|z1－z2|表示复平面上两点Z1, Z2之间的距离.
三、复数的四则运算
例3
(1)计算：－1＋2 23＋3ii＋1＋2i2
4－8i2－－4＋8i2
018＋
；
11－ 7i
解 原式＝i11＋＋22 33ii＋1＋2i21 009＋4－8i＋8i－114－4－7i8i＋4－8i
①z z
②z z a2 b2 析 : (a bi)(a bi) a2 (bi)2 a2 b2i2 ③z为纯虚数: z z bi (bi) 0 ④z为实数: z z
2.复数的相关概念
(8)实系数一元二次方程在复数集内的解
ax2 bx c 0(a 0, a,b, c R)在复数集内的解: ①若 b2 4ac 0时, 方程有实数解x b b2 4ac
人教A版2019必修第二册
第 7章 复数
全章复习（教学课件）
学习目标
(1)通过方程的解, 认识复数引入的表现, 理解复数的代数表示； (2)理解复数的分类, 掌握复数相等的充要条件； (3)了解复平面的概念,理解复数的几何意义； (4)掌握复数的模、共轭复数的概念, 会求复数的模和一个复数的共轭 复数； (5)能熟练进行复数代数形式的加减乘除运算, 了解加减法的几何意义；
x轴叫实轴, y轴叫虚轴.
b
②实轴上的点都表示实数(b=0)；
Z(a,b)
③虚轴上的点(除原点外)都表示纯虚数(a=0,b≠0)；
ax
2.复数的相关概念
(6)复数的模: 复数z a bi的模为z a2 b2 . 如: z 4 3i的模为z 42 (3)2 5.
(7)共轭复数: 实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数. z a bi的共轭复数记为z a bi. 如: 3 2i的共轭复数是3 2i.
2.复数的相关概念
(4)复数相等:
设a,b, c, d R. ①a bi c di a c且b d; ②a bi 0 a b 0.
作用: 将复数问题转化为实数问题． 注: ①若两个复数能比较大小，则它们必为实数. ②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小. 如: 3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小.
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上. 解 依题得(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0, ∴a＝2.
方法技巧
(1)复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及 复数的模等知识点, 其中, 复数的分类及复数的相等是热点, 复数分类中“纯虚数” 的条件是难点和易错点. (2)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的 条件问题, 只需把复数化为代数形式, 列出实部、虚部满足的方程(不等式)即可.
【答案】D 【解析】1－1 3i＝1－13＋i13＋i 3i＝110＋130i，所以1－1 3i的虚部是130.故
例4.已知|z|＝1. (1)求|z－(2＋2i)|的最值； (2)求|z－i|·|z＋1|的最大值.
解：(1)|z－(2＋2i)|表示复平面内单位圆上的点到点(2,2)的距离，由图 1 可知：
|z－(2＋2i)|min＝2 2－1， |z－(2＋2i)|max＝2 2＋1.
(2)由图 2 可知∠AEB＝45°，S△ABE＝12|z－i|·|z＋1|·sin 45°，要使|z－i|·|z