高中数学第一章立体几何初步习题课平行关系与垂直关系的综合应用省公开课一等奖新优质课获奖课件
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当平面ADB⊥平面ABC时,
∵平面ADB∩平面ABC=AB,
∴DN⊥平面ABC,可知DN⊥CN.
由已知可得 DN= 3, = 1.
在 Rt△DNC 中,CD= 2 + 2 = 2.
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题型一
题型二
题型三
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证实以下:当平面ADB与平面ABC相交时,由(1)
α⊥β
α⋂β = c
面面垂直的性质定理
⇒a⊥β
a⫋α
a⊥c
名师点拨使用相关平行、垂直判定定理时,要注意其具备条件,缺
一不可.
5/26
3.平行关系及垂直关系转化
6/26
题型一
题型二
题型三
题型一 空间线面位置关系的判定
【例1】 设a,b表示直线,α,β,γ表示不一样平面,则以下命题中正确
是(
)
A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α
求证:(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
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题型一
题型二
题型三
证实:(1)如图所表示,取CE中点G,连接FG,BG.
1
∵F为CD中点,∴GF∥DE,且GF= DE.2
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB.
1
又AB= DE,∴GF=AB.
2
∴四边形GFAB为平行四边形,∴AF∥BG.
题型二
题型三
题型三
平行、垂直的探究性问题
【例3】 如图所表示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面
ABC,AC⊥BC,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1.
(1)求证:BC⊥AC1.
(2)试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请
指出点F位置,并给出证实;若不存在,请说明理由.
习题课
平行关系与垂直关系综合应用
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1.深入掌握直线与平面和平面与平面平行、垂直判定和性质.
2.能用平行和垂直性质证实平行和垂直关系.
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1.线面平行与垂直判定定理、性质定理
a∥b
线面平行的判
b⫋α ⇒a∥α
定定理
a⊈α
a∥α
线面平行的性
a⫋β
⇒a∥b
质定理
α⋂β = b
a,b⫋α
线面垂直的判
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又因为BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
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题型一
题型二
题型三
(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.
∵AF⊈平面BCE,BG⫋平面BCE,∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD中点,∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD,AF⫋平面ACD,∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG⫋平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
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题型一
答案:D
7/26
题型一
题型二
题型三
反思处理空间点、线、面位置关系组合判断题,主要是依据平面
基本性质、空间位置关系各种情况,以及空间线面垂直、平行关系
判定定理和性质定理进行判断,必要时能够利用正方体、长方体、
棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中结论不能完全引
用到立体几何中.
8/26
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设m,n是不一样直线,α,β是不一样平面,有以下四
个命题:
①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
④若n⊥α,n⊥β,则β∥α.
其中真命题序号为
.
解析:①错误,若α⊥β,m∥α,则m与β能够是直线与平面所相关系,
所以①错误;
②正确;③错误,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⫋α,所以③错误;④正确.
答案:D
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5
4.
如图所表示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为上底面A1B1C1D1内一点,
过点P直线EF分别交直线B1C1,C1D1于点E,F,要使EF⊥AP,在上底
面内直线EF需满足条件是
.
解析:因为AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥EF.要使EF⊥AP,只需
EF⊥平面A1AP,即EF⊥A1P即可.
16/26
题型一
题型二
题型三
(1)证实:∵AA1⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,
∴BC⊥AA1.
又BC⊥AC,AA1∩AC=A,
∴B,
∴BC⊥AC1.
(2)解:当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证实以下:
在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG,如图所表
知,DN⊥AB,CN⊥AB,
又DN⫋平面DNC,NC⫋平面DNC,且DN∩NC=N,
∴AB⊥平面DNC,∴AB⊥DC.
当平面ADB与平面ABC重合时,易得AB⊥DC.
综上,当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
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1.平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与
因为E,F分别是CD,PC中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.
又CD⫋平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
12/26
题型一
题型二
题型三
反思垂直、平行关系证实中转化与化归思想常见类型有:
(1)证实线面平行,面面平行,需转化为证实线线平行.证实线线平
行方法有:①平行公理;②平行四边形对边;③三角形中位线;④线面、
答案:EF⊥A1P
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5.
如图所表示,α⊥β,α∩β=l,AB⫋α,AB⊥l,BC⫋β,DE⫋β,BC⊥DE.
求证:AC⊥DE.
证实:因为α⊥β,α∩β=l,AB⫋α,AB⊥l,
所以AB⊥β.又DE⫋β,所以AB⊥DE,
因为DE⊥BC,BC∩AB=B,
所以DE⊥平面ABC,所以AC⊥DE.
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示.由 B1E=3EC1,可得 EG= A1C1,AF∥A1C1,且 AF= A1C1,
4
4
∴AF∥EG,且AF=EG,
∴四边形AFEG为平行四边形,∴EF∥AG.
又EF⊈平面A1ABB1,AG⫋平面A1ABB1,
17/26
题型一
题型二
题型三
反思1.对命题条件探索常采取以下三种方法:
(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证实;
面面平行性质.
(2)证实线面垂直,面面垂直,需转化为证实线线垂直.证实线线垂
直方法:①利用特殊平面图形性质,如利用直角三角形、矩形、菱
形、等腰三角形等得到线线垂直;②利用勾股定理逆定理;③利用
线面垂直性质等.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图所表示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面
ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD中点,连接AF.
a⋂b = O ⇒l⊥α
定定理
l ⊥ a,l ⊥ b
线面垂直的性 a ⊥ α
⇒a∥b
b
⊥
α
质定理
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2.面面平行与垂直判定定理、性质定理
a,b⫋β
面面平行的判定定理 a⋂b = O ⇒α∥β
a ∥ α,b ∥ α
α∥β
面面平行的性质定理 α⋂γ = a ⇒a∥b
β⋂γ = b
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a⊥α
面面垂直的判定定理 a⫋β ⇒α⊥β
于点F,则EF与平面A1B1C1D1关系是(
)
A.平行
B.EF⫋平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
解析:平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∩平面
A1B1C1D1=A1B1,EF⫋平面ABB1A1,EF⊥A1B1,故EF⊥平面A1B1C1D1.
答案:D
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1
故真命题序号是②④.
答案:②④
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题型一
题型二
题型三
题型二
平行、垂直关系的证明
【例2】 如图所表示,在四棱锥P-ABCD
中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F
分别是CD,PC中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
如图所示,A,B,C,D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,
等边三角形以为轴转动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD长.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证实你结论.
19/26
题型一
题型二
题型三
解:(1)取AB中点N,连接DN,CN.
∵△ADB是等边三角形,∴DN⊥AB.
分析:(1)利用面面垂直性质,得线面垂直;(2)由BE∥AD易证;(3)EF
是△CPD中位线.
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题型一
题型二
题型三
证实:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面交
线AD,
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
2
3
4
5
3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线
m∥α,m∥β,则以下四种位置关系中,不一定成立是(
)
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β
解析:如图所表示,AB∥l,AC⊥l,m∥α,m∥β⇒m∥l,AB∥m,AC⊥m,
又AB∥l,所以AB∥β.
a,b位置关系为(
)
A.c与a,b都异面
B.c与a,b都相交
C.c最少与a,b中一条相交
D.c与a,b都平行
解析:如图所表示,因为a∥b,a⊈γ,b⫋γ,所以a∥γ,
又a⫋α,α∩γ=c,所以a∥c,
所以a∥b∥c.
答案:D
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2.在长方体ABCD-A1B1C1D1棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1交A1B1
B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β
C.若a∥α且a∥β,则α∥β
D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β
分析:判断空间线面关系基本思绪:利用定理或结论;借助实物模型
必定或否定.
解析:A错,应该是b∥α或b⫋α;B错,如墙角出发三个面就不符合题
意;C错,α∩β=m,当a∥m时,满足a∥α,a∥β,不过α∥β不正确,故选D.
(2)先经过命题成立必要条件探索出命题成立条件,再证实其充分
性;
(3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立条件.
2.对命题结论探索常采取以下方法:
首先假设结论成立,然后在这个假设下进行推理论证,经过推理,
若得到合理结论就必定假设,若得到矛盾结论就否定假设.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练3】
∵平面ADB∩平面ABC=AB,
∴DN⊥平面ABC,可知DN⊥CN.
由已知可得 DN= 3, = 1.
在 Rt△DNC 中,CD= 2 + 2 = 2.
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题型一
题型二
题型三
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证实以下:当平面ADB与平面ABC相交时,由(1)
α⊥β
α⋂β = c
面面垂直的性质定理
⇒a⊥β
a⫋α
a⊥c
名师点拨使用相关平行、垂直判定定理时,要注意其具备条件,缺
一不可.
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3.平行关系及垂直关系转化
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题型一
题型二
题型三
题型一 空间线面位置关系的判定
【例1】 设a,b表示直线,α,β,γ表示不一样平面,则以下命题中正确
是(
)
A.若a⊥α且a⊥b,则b∥α
求证:(1)AF∥平面BCE;
(2)平面BCE⊥平面CDE.
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题型一
题型二
题型三
证实:(1)如图所表示,取CE中点G,连接FG,BG.
1
∵F为CD中点,∴GF∥DE,且GF= DE.2
∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
∴AB∥DE,∴GF∥AB.
1
又AB= DE,∴GF=AB.
2
∴四边形GFAB为平行四边形,∴AF∥BG.
题型二
题型三
题型三
平行、垂直的探究性问题
【例3】 如图所表示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面
ABC,AC⊥BC,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1.
(1)求证:BC⊥AC1.
(2)试探究:在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在,请
指出点F位置,并给出证实;若不存在,请说明理由.
习题课
平行关系与垂直关系综合应用
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1.深入掌握直线与平面和平面与平面平行、垂直判定和性质.
2.能用平行和垂直性质证实平行和垂直关系.
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1.线面平行与垂直判定定理、性质定理
a∥b
线面平行的判
b⫋α ⇒a∥α
定定理
a⊈α
a∥α
线面平行的性
a⫋β
⇒a∥b
质定理
α⋂β = b
a,b⫋α
线面垂直的判
所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.
又因为BE⊈平面PAD,AD⫋平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
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题型一
题型二
题型三
(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.
∵AF⊈平面BCE,BG⫋平面BCE,∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD中点,∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD,AF⫋平面ACD,∴DE⊥AF.
又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE.
∵BG⫋平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
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题型一
答案:D
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题型一
题型二
题型三
反思处理空间点、线、面位置关系组合判断题,主要是依据平面
基本性质、空间位置关系各种情况,以及空间线面垂直、平行关系
判定定理和性质定理进行判断,必要时能够利用正方体、长方体、
棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中结论不能完全引
用到立体几何中.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 设m,n是不一样直线,α,β是不一样平面,有以下四
个命题:
①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;
②若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
④若n⊥α,n⊥β,则β∥α.
其中真命题序号为
.
解析:①错误,若α⊥β,m∥α,则m与β能够是直线与平面所相关系,
所以①错误;
②正确;③错误,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⫋α,所以③错误;④正确.
答案:D
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如图所表示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为上底面A1B1C1D1内一点,
过点P直线EF分别交直线B1C1,C1D1于点E,F,要使EF⊥AP,在上底
面内直线EF需满足条件是
.
解析:因为AA1⊥平面A1B1C1D1,所以AA1⊥EF.要使EF⊥AP,只需
EF⊥平面A1AP,即EF⊥A1P即可.
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题型一
题型二
题型三
(1)证实:∵AA1⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,
∴BC⊥AA1.
又BC⊥AC,AA1∩AC=A,
∴B,
∴BC⊥AC1.
(2)解:当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.证实以下:
在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG,如图所表
知,DN⊥AB,CN⊥AB,
又DN⫋平面DNC,NC⫋平面DNC,且DN∩NC=N,
∴AB⊥平面DNC,∴AB⊥DC.
当平面ADB与平面ABC重合时,易得AB⊥DC.
综上,当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
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1.平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与
因为E,F分别是CD,PC中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.
又CD⫋平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
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题型一
题型二
题型三
反思垂直、平行关系证实中转化与化归思想常见类型有:
(1)证实线面平行,面面平行,需转化为证实线线平行.证实线线平
行方法有:①平行公理;②平行四边形对边;③三角形中位线;④线面、
答案:EF⊥A1P
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5.
如图所表示,α⊥β,α∩β=l,AB⫋α,AB⊥l,BC⫋β,DE⫋β,BC⊥DE.
求证:AC⊥DE.
证实:因为α⊥β,α∩β=l,AB⫋α,AB⊥l,
所以AB⊥β.又DE⫋β,所以AB⊥DE,
因为DE⊥BC,BC∩AB=B,
所以DE⊥平面ABC,所以AC⊥DE.
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示.由 B1E=3EC1,可得 EG= A1C1,AF∥A1C1,且 AF= A1C1,
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∴AF∥EG,且AF=EG,
∴四边形AFEG为平行四边形,∴EF∥AG.
又EF⊈平面A1ABB1,AG⫋平面A1ABB1,
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题型一
题型二
题型三
反思1.对命题条件探索常采取以下三种方法:
(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证实;
面面平行性质.
(2)证实线面垂直,面面垂直,需转化为证实线线垂直.证实线线垂
直方法:①利用特殊平面图形性质,如利用直角三角形、矩形、菱
形、等腰三角形等得到线线垂直;②利用勾股定理逆定理;③利用
线面垂直性质等.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图所表示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面
ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD中点,连接AF.
a⋂b = O ⇒l⊥α
定定理
l ⊥ a,l ⊥ b
线面垂直的性 a ⊥ α
⇒a∥b
b
⊥
α
质定理
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2.面面平行与垂直判定定理、性质定理
a,b⫋β
面面平行的判定定理 a⋂b = O ⇒α∥β
a ∥ α,b ∥ α
α∥β
面面平行的性质定理 α⋂γ = a ⇒a∥b
β⋂γ = b
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a⊥α
面面垂直的判定定理 a⫋β ⇒α⊥β
于点F,则EF与平面A1B1C1D1关系是(
)
A.平行
B.EF⫋平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
解析:平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∩平面
A1B1C1D1=A1B1,EF⫋平面ABB1A1,EF⊥A1B1,故EF⊥平面A1B1C1D1.
答案:D
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故真命题序号是②④.
答案:②④
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题型一
题型二
题型三
题型二
平行、垂直关系的证明
【例2】 如图所表示,在四棱锥P-ABCD
中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F
分别是CD,PC中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
如图所示,A,B,C,D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,
等边三角形以为轴转动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD长.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证实你结论.
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题型一
题型二
题型三
解:(1)取AB中点N,连接DN,CN.
∵△ADB是等边三角形,∴DN⊥AB.
分析:(1)利用面面垂直性质,得线面垂直;(2)由BE∥AD易证;(3)EF
是△CPD中位线.
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题型一
题型二
题型三
证实:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面交
线AD,
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
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3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线
m∥α,m∥β,则以下四种位置关系中,不一定成立是(
)
A.AB∥mB.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β
解析:如图所表示,AB∥l,AC⊥l,m∥α,m∥β⇒m∥l,AB∥m,AC⊥m,
又AB∥l,所以AB∥β.
a,b位置关系为(
)
A.c与a,b都异面
B.c与a,b都相交
C.c最少与a,b中一条相交
D.c与a,b都平行
解析:如图所表示,因为a∥b,a⊈γ,b⫋γ,所以a∥γ,
又a⫋α,α∩γ=c,所以a∥c,
所以a∥b∥c.
答案:D
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2.在长方体ABCD-A1B1C1D1棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1交A1B1
B.若γ⊥α且γ⊥β,则α∥β
C.若a∥α且a∥β,则α∥β
D.若γ∥α且γ∥β,则α∥β
分析:判断空间线面关系基本思绪:利用定理或结论;借助实物模型
必定或否定.
解析:A错,应该是b∥α或b⫋α;B错,如墙角出发三个面就不符合题
意;C错,α∩β=m,当a∥m时,满足a∥α,a∥β,不过α∥β不正确,故选D.
(2)先经过命题成立必要条件探索出命题成立条件,再证实其充分
性;
(3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立条件.
2.对命题结论探索常采取以下方法:
首先假设结论成立,然后在这个假设下进行推理论证,经过推理,
若得到合理结论就必定假设,若得到矛盾结论就否定假设.
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题型二
题型三
【变式训练3】