2019届高考数学二轮复习 第二部分专项一 1 第1练 专题强化训练 Word版含解析

一、选择题
1．(2018·高考天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}
D ．{x |0<x <2}
解析：选B.因为B ＝{x |x ≥1}，所以∁R B ＝{x |x <1}，因为A ＝{x |0<x <2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}，故选B.
2．(2018·沈阳教学质量监测(一))若i 是虚数单位，则复数2＋3i
1＋i
的实部与虚部之积为( )
A ．－54
B.54
C.54
i D ．－54
i
解析：选B.因为2＋3i 1＋i ＝(2＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝52＋12i ，所以其实部为52，虚部为1
2，实部与虚部
之积为5
4
.故选B.
3．(2018·南宁模拟)已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i
1＋i ＝3i(1－i)(1＋i)(1－i)
＝3＋3i 2，则复数z 在复平
面内对应的点的坐标为⎝⎛
⎭
⎫
32，
32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 4．(2018·西安模拟)设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2
＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x
2
}，则A ∩B ＝( )
A ．(0，2]
B ．(1，2]
C ．[2，4)
D ．(－4，0)
解析：选B.A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，所以A ∩B ＝(1，2]，故选B.
5．(2018·太原模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A ．(－2，1)
B ．[－1，0]∪[1，2)
C ．(－2，－1)∪[0，1]
D ．[0，1]
解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
6．(2018·洛阳第一次联考)已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.1
2 B.22
C. 2
D ．1
解析：选B.因为z ＝－1＋i 2i ＝－1＋i 2，所以|z |＝2
2
，故选B.
7．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →
＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.法一：设AB →与BC →的夹角为θ，因为AB →·BC →＞0，即|AB →|·|BC →
|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.
法二：由AB →·BC →＞0，得BA →·BC →
＜0，即cos B ＜0，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →
＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.
8．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( )
A ．(－2，＋∞)
B ．(4，＋∞)
C ．(－∞，－2]
D ．(－∞，4]
解析：选C.集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]，故选C.
9．下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”
D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题
解析：选D.A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D.
10．(2018·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A ．p 为假命题
B ．﹁q 为真命题
C ．p ∨q 为真命题
D ．p ∧q 为假命题
解析：选C.函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，－x 2
(x ＜0)
在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.
11．(2018·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，
则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．[0，4]
C ．[4，＋∞)
D ．(0，4)
解析：选D.因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋1
4≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，
4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×1
4＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选
D.
12．(2018·成都模拟)下列判断正确的是( ) A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 对立 B ．函数y ＝x 2＋9＋
1
x 2＋9
(x ∈R )的最小值为2 C ．若直线(m ＋1)x ＋my －2＝0与直线mx －2y ＋5＝0互相垂直，则m ＝1
D ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件
解析：选D.对于A 选项，若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 不一定对立，反之，若事件A 与事件B 对立，则事件A 与事件B 一定互斥，所以A 选项错误；对于B 选项，y ＝
x 2＋9＋
1
x 2
＋9≥2，当且仅当
x 2＋9＝
1x 2＋9
，即x 2＋9＝1时等号成立，但x 2＋9
＝1无实数解，所以等号不成立，于是函数y ＝x 2＋9＋
1x 2
＋9
(x ∈R )的最小值不是2，所
以B 选项错误；对于C 选项，由两直线垂直，得(m ＋1)m ＋m ×(－2)＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以C 选项错误；对于D 选项，若p ∧q 为真命题，则p ，q 都是真命题，于是p ∨q 为真命题，反之，若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，此时p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，所以D 选项正确．综上选D.
二、填空题
13．已知z 1－i
＝2＋i ，则z －
(z 的共轭复数)为________．
解析：法一：由z 1－i
＝2＋i 得z ＝(1－i)(2＋i)＝3－i ，所以z －
＝3＋i.
法二：由z 1－i ＝2＋i 得⎝ ⎛⎭⎪⎫z －1－i ＝2＋i －，所以
z －1＋i ＝2－i ，z －
＝(1＋i)(2－i)＝3＋i. 答案：3＋i
14．(一题多解)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．
解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫1，12，2，
该集合中共有3个元素．
法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：
由上表可知P *Q ＝⎩
⎨⎭
⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素． 答案：3
15．下列命题中，是真命题的有________．(填序号) ①∀x ∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2，x ＞sin x ；
②在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin B ；
③函数f (x )＝tan x 的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π
2，0；
④∃x 0∈R ，sin x 0cos x 0＝
2
2
. 解析：①中，设g (x )＝sin x －x ，则g ′(x )＝cos x －1＜0，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2上单调
递减，所以g (x )＜g (0)＝0，即x ＞sin x 成立，故①正确；②中，在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理，有sin A ＞sin B 成立，故②正确；③中，函数f (x )＝tan x 的图象的对称中心为⎝
⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，0是函数f (x )的图象的一个对称中心，故③正确；④中，因
为sin x cos x ＝12sin 2x ≤12＜2
2
，所以④错误．
答案：①②③
16．已知命题p ：∀x ∈[0，1]，a ≥2x ；命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0.若命题“p ∨q ”是真命题，“﹁p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围为________．
解析：命题p 为真，则a ≥2x (x ∈[0，1])恒成立， 因为y ＝2x 在[0，1]上单调递增，所以2x ≤21＝2，
故a ≥2，即命题p 为真时，实数a 的取值集合为P ＝{a |a ≥2}．
若命题q 为真，则方程x 2＋4x ＋a ＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a ≥0，解得a ≤4. 故命题q 为真时，实数a 的取值集合为Q ＝{a |a ≤4}．
若命题“p ∨q ”是真命题，那么命题p ，q 至少有一个是真命题； 由“﹁p ∧q ”是假命题，可得﹁p 与q 至少有一个是假命题． ①若p 为真命题，则﹁p 为假命题，q 可真可假， 此时实数a 的取值范围为[2，＋∞)；
②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)。