八年级初二数学二次根式知识点总结含答案

八年级初二数学二次根式知识点总结含答案
一、选择题
1．若2a <
3=（ ）
A ．5a -
B ．5a -
C ．1a -
D ．1a -- 2．下列各式计算正确的是（ ）
A
B ．
C
=3 D ．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A
B
．3
= C
=D
=4．下列计算正确的是（ ）
A
B
C ．
=3
D
5．
（ ） A ．1
B ．
﹣1
C
．
D
-
6．下列计算正确的是（ ）
A 3=±
B
0-
=
C
=
D 5=-
7．若2019202120192020a =⨯
-⨯，b
=，c a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a <<
8．x 的取值范围是（ ）
A ．0x <
B ．0x
C ．2x
D ．2x
9．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b
,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：
S =，其中2
a b c
p ++=,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ）
A
B
C
D 10．如果关于x 的不等式组0,2
223
x m
x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >
则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
11．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ）
A ．
1
2 B ．
14
C ．
3
21
+
D
12．下列计算正确的是（ ）
A ．
B C ．D ．3+二、填空题
13．已知实数,x y 满足(2008x y =，则
2232332007x y x y -+--的值为______.
14．若m
m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
15．把根号外的因式移入根号内，得________
16．已知函数1
x f x
x
，那么1
f _____．
17．已知x ，y 为实数，y 求5x +6y 的值________.
18．x 的取值范围是______．
19．n 为________．
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c
p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．小明在解决问题：已知a
2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a
＝2，
所以a －2
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：
= － . (2)
… (3)若a
，求4a 2－8a ＋1的值．
【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】
（11
==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】
(1)计算：1
=； (2)原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)1
a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=--，
当1a =
时，原式2
435=⨯
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
22．若x ，y 为实数，且y 1
2
．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =
1
4
，此时
y =
1
2
．即可代入求解． 【详解】
解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1
4
14
x x ⎧≤⎪⎪
⎨
⎪≥
⎪⎩
∴ x ＝14．当x ＝14
时，y ＝12．
又∵
x y y x ++2－x y
y x +-2
＝
－
| ∵x ＝
14，y ＝1
2，∴ x y ＜y x
．
∴
+
当x ＝14
，y ＝1
2时，原式＝
．
【点睛】
（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
23．计算：
21)3)(3--【答案】
. 【解析】 【分析】
先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】
解：原式
2
2
2
2]-4
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.
24．计算
（1）（4﹣3）+2
（2）
（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：
请计算两组数据的方差．
【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76
【解析】
试题分析：（1）先去括号，再合并；
（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；
（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．
试题解析：（1）原式=4﹣3+2
=6﹣3；
（2）原式=﹣3﹣2+﹣3
=-6；
（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，
乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，
甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；
乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．
+
25．计算：（1）
+-
（2(33
【答案】（1）2） -10
【分析】
（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．【详解】
解：（1）
+
=
=
=
（2(33
+-
=5+9-24
=14-24
=-10．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
26．计算：
（1）
0 1 2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
（2）(4
【答案】（1）-5;（2）9
【分析】
（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．
【详解】
（1）
0 1 2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
41
=--，
5
=-；
（2）(4
167
=-
9
=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
27．计算（1
（2）(()
2
1-
【答案】（1）；（2）24+ 【分析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；
（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】
解：（1
=2
+
=(2
-+
=2
（2）(()
2
1-
=22(181)---
=452181--+
=24+． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
28．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，
cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．
【答案】 【解析】
试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）
=（）﹣（﹣）
=（cm 2）． 考点：二次根式的应用
29．计算：（1）()2
2131)()
2
---+
（2
【答案】（1）12；（2） 【分析】
（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】
（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12
（2） 【点睛】
本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．
30．已知长方形的长a =
b =. (1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．
【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：
(1)()11222223a b ⎛+=⨯=⨯⨯⨯=⨯= ⎝
∴长方形的周长为 .
(2)11
4.23
=⨯⨯=
正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.⨯=
8.>
∴长方形的周长大于正方形的周长．
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一、选择题 1．D 解析：D
||a =，然后再根据a 的范围去掉绝对值后即可求解． 【详解】
|2|=-a ，且2a <，
∴
|2|2=-=-+a a ，
原式|2|3231=--=-+-=--a a a ， 故选：D ． 【点睛】
||a =这个公式是解决本题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可． 【详解】
A
B 、
C
，故本选项正确；
D 、=18，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
3．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可． 【详解】
A 不能合并，故A 选项错误；
B ．-=B 选项错误；
C =
D
5==，故D 选项错误， 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
解析：D
【解析】
解：A A错误；
B==，所以B错误；
C．=C错误；
D==D正确．
故选D．
5．C
解析：C
【解析】
解：原式=故选C．
6．B
解析：B
【分析】
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
3
=，故此选项错误；
=，正确；
D. 5
=，故此选项错误；
故选：B
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
>
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识
点．变形2019×2021-2019×2020
解决本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；
【详解】
即：20
x-≥，
解得：2
x，
故选：D；
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键. 9．A
解析：A
【分析】
根据公式解答即可．
【详解】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则
2+349
=
222
a b c
p
+++
==
∴其面积为
S====
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．10．C
解析：C
【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2
的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】 解：解不等式
02x m ->得x ＞m ， 解不等式223
x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2，
∴m ≤2，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m ≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m 的个数是3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
将a
可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出a b 的值．
【详解】
a
=
b 44=．
∴
14
a b =． 故选：B ．
【点睛】 本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．
12．C
解析：C
【解析】
分析：根据二次根式的四则混合运算法则，二次根式的性质与化简逐项进行分析解答即
可．
详解：A．=，故本选项错误；
B．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；
C．正确；
D．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查二次根式的化简，二次根式的四则运算法则，解题的关键是正确根据相关法则逐项进行分析解答．
二、填空题
13．1
【分析】
设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
【详解】
解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，
∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……
解析：1
【分析】
设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】
解：设x2−a2=y2−b2=2008，
∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①
∵(x−a)(y−b)=2008……②
∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴
，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007
=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007
=2008+3×0−2007
=1.
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 14．4030
【分析】
利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m
m ， ∴m 3-m 2-2017m +2015
=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
15．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
解析：
a
【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】 解：∵310a
-
≥， ∴0a <，
∴===
故答案为：
a
．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．16．【分析】
根据题意可知，代入原函数即可解答.
【详解】
因为函数，
所以当时，．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
解析：2+
【分析】
根据题意可知1
x=，代入原函数即可解答.
【详解】
因为函数
1
x
f x
x
，
所以当1
x=时，
211
()22
21
f x．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 17．-16
【解析】
试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16
解析：-16
【解析】
试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得
x=-3，然后可代入得y=-1
6
，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-
1
6
）=-15-1=-16.
故答案为：-16.
点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开
方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解.
18．且
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分
解析：3x ≤且2x ≠-
【分析】
根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．
【详解】
由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩
， 解得3x ≤且2x ≠-，
故答案为：3x ≤且2x ≠-．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 19．7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n 的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
∴若是整数，则n 的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式
解析：7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n 的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
n 的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．
所以三角形的面积S ＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝2
a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝
2a b c ++＝4572++＝8．
所以三角形的面积S ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无27．无28．无29．无30．无。