高三数学-2018年湖北省八校第一次联考数学(文) 精品

湖北省 八校联考
2018年元月高三第一次联考
数学试卷（文科）
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A ，B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k
次的概率k n k
k n n P P C k P --=)1()(.
第I 卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 （ ）
A ．0=-y x
B ．0||||=-y x
C ．0||=-y x
D ．0=+y x
2．已知集合B A x y y B x x y y A x
⋃>==>==则},1,)2
1
(|{},1,log |{2等于 （ ）
A ．}2
10|{<<y y B ．}0|{>y y
C ．
D ．R
3．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3
π
=
x 对称的一个函数是
（ ）
A ．)6
sin(π
-=x y B ．)6
sin(π
+
=x y
C ．)3
sin(π
+
=x y D ．)32sin(π
-
=x y
4．设函数f (x )在定义域内可导，y =f (x )的图象如图1所示， 则导函数)(x f y '=的图象可能为 （ ）
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中
荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中
5．设随机变量ξ服从正态分布),()(),1,0(x p x N <=Φξ记则下列结论不正确的是（ ） A ．2
1)0(=
Φ
B ．)(1)(x x -Φ-=Φ
C ．1)(2)|(|-Φ=<a a P ξ
D ．)(1)|(|a a P Φ-=>ξ 6．不等式0)21(||>-x x 的解集是
（ ） A ．)2
1,(-∞ B ．)2
1,0()0,(⋃-∞
C ．),21(+∞
D ．)2
1,0(
7．设p 、q 为简单命题，则“p 且q ”为假是“p 或q ”为假的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知二项式n x )23(+的展开式中所有项的系数和为3125，此展开式中含x 4项的系数是（ ） A ．240 B ．720
C ．810
D ．1080
9．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于（ ） A ．66 B ．99
C ．144
D ．297
10．平面向量,1),2,2(),1,1(),,(),,(22=⋅=⋅====d b c a d c y x b y x a 若则这样的向量有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．多个2个
D ．不存在
11．如果)2003()2004()5()6()3()4()1()2(,2)1()()()(f f f f f f f f f b f a f b a f
+++=⋅=+则且等于 （ ）
A ．2018
B ．1001
C ．2018
D ．2002
12．已知,5
3)cos(,cos ,sin ,,-=+==βαβαβαy x 是锐角则y 与x 的函数关系式为
（ ）
A ．)15
3
(541532<<+--
=x x x y B ．)10(5
4
1532<<+--
=x x x y
C ．)5
30(541532<<+--
=x x x y D ． )10(5
4
1532<<---
=x x x y
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知函数=≥+=-)(),0(12)(1
x f
x x f x 则其反函数 .
14．某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。

某人想先选
定吉利号18，然后再从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注，若这个人要把这种要求的号全买，至少要花 元. 15．设数列a n 的通项公式为 <<<<<∈+=+*13212)(n n n n a a a a a a N n n n a 满足且λ，
试写出一个满足条件的=λλ,值 .
16．已知圆C 的方程为20000222:),,(,γγ=+=+y y x x l y x M y x 直线定点有如下两组论
断： 第Ⅰ组
第Ⅱ组
（a ）点M 在圆C 且M 不为圆心 （1）直线l 与圆C 相切 （b ）点M 在圆C 上 （2）直线l 与圆C 相交
（c ）点M 在圆C 外
（3）直线l 与圆C 相离
由第Ⅰ组论断作为条件，第Ⅱ组论断作为结论，写出所有可能成立的命题 （将命题用序号写成形如q p ⇒的形式）.
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知函数)(,2cos sin 8cos 23)(42x f x
x
x x f 求--=
的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
18．（本小题满分12分）
已知定点.||:).0,1(),1,0()1,0(2k P C B A =⋅-满足动点 （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程。

（Ⅱ）当|2|,0BP AP k +=求时的最大值和最小值.
19．（本小题满分12分）
三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为
,4
3
,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.
20．（本小题满分12分）
从边长2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，其中t t x .0≤<为正常数.
（Ⅰ）把铁盒的容积V 表示为x 的函数; （Ⅱ）x 为何值时，容积V 有最大值.
21．（本小题满分12分）
数列}{n a 中，首项a 1=2，前n 项和为S n ，对于任意点),(1n n n S S P +，点P n 都在平面直角坐标系xoy 的曲线c 上，曲线c 的方程为 4,3,2,1,3:,8)83(4=-<=+-n t t y t tx 其中. （Ⅰ）判断}{n a 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）若对每个正整数21,,,++n n n a a a n 以为边长能构成三角形，求t 的范围.
22．（本小题满分14分）
已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=
（Ⅰ）当0≠a 时，若函数f (x )的图象与直线x y ±=均无公共点，求证;4
142>
-b ac （Ⅱ）时4
3
,4=
=c b 对于给定的负数8-≤=a ，有一个最大的正数M （a ），使得5|)(|)](,0[≤∈x f a M x 时都有，问a 为何值时，M(a )最大，并求出这个最大值M(a )，证
明你的结论.
湖北省 八校联考
2018年元月高三第一次联考 数学试卷（文科）答案
一、选择题
1．B 2．B }.0|{},2
1
0|{},0|{>=⋃∴<<=>=y y B A y y B y y A 3．B 4．D .0)(,0)(,)(<'>'x f x f x f 判断的单调性根据
5．D ).(22)()(1)()()|(|a a a a P a P a P Φ-=-Φ+Φ-=-<+>=>ξξξ
6．B .021
0)21(≠<⇒⎩⎨
⎧≠>-x x x x 且 7．B
8．C 令.81023)23(,531255,14
1545=⋅+=⇒==C x x n x n 的系数为中
9．B .992
22
92)(92)(9,9,136491964=⨯=+=+=
∴==a a a a S a a 10．A ∴===+=⋅=+=⋅,2
2
,122,12
2
R y x y x 圆心到直线的距离直线与圆相切.
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中
荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中
（3分）
11．C 令200410022)
2003()2004()
1()2(,2)1()
()1(),1()()1(,1,=⨯=++∴==+∴⋅=+==f f f f f n f n f f n f n f b n a
12．A 5
3
sin )sin(cos )cos(])cos[cos -
=⋅++⋅+=-+==αβααβααβαβy .153100,5
4
12<<⇒⎭⎬⎫<<>+
-x x y x x 且
二、填空题 13．).2()
1(log 2≥-x x
14．2100元 n =15×10×7×2=2100.
15．答案不唯一，3->λ的所有实数均可.由)()]1()1[(221n n n n a a n n λλ+-+++=-+
.3),12(,,012->+->∈>++=*λλλ知由恒成立对n N n n
16．).2()(),1()(),3()(⇒⇒⇒c b a 三、解答题
17．x
x
x x x x x f 2cos sin 8sin 212cos sin 8)sin 1(23)(4242-+=---=
)9.()(),()(,)()
7}.(,4
2,|{,4
2,22,02cos )
4(.1sin 42cos )
sin 21)(sin 41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分x f x f x f x f z k k x R x x z
k k x k x x x x
x x ∴=-∈+≠∈∈+≠+≠≠+=-+=π
ππ
πππ )
12(}.3,51|{)(,4
2,1sin 4)(2分且的值域为且又≠≤≤∴∈+≠
+=y y y x f z k k x x x f π
π
18．（I ）设动点的坐标为P(x ,y),则
12)1()1(])1[()1,)(1,(||)
1,)(1,(),1,(),1,(222
2
2
=---+-+-+-=+-∴=⋅∴+-+=-=k kx y k x k y x k y x y x PC k y x y x y x y x
若k=1，则方程为x =1，表示过点（1，0）是平行于y 轴的直线.（4分）
若k ≠1，则方程化为：|1|1,)0,1(,)11()1(222k k k k y k k x ---=+-+以为圆心表示以为半
径的圆. （5分）
（II ）当k=0时，方程化为x 2+y 2=1 .
.
2,4|2|,11,01)
10(1061699)13(9|2|)
8)(13,3()1,()22,2()1,()1,(2222222最小值为的最大值为由分分y y x y y y y x BP AP y x y x y x y x y x +∴≤≤-∴≥-=+-=+--=-+=+-=++-=++-=+
)
12(3
3737646,37337646.|2|]
37646,37646[46)cos(37646
sin 6cos 3626636)
9(.sin ,cos 2,1)2(26
636||,34)
7(.
1699||),13,3()1,()1,(22222222分最小值为的最大值为分则令又分-=-+=++∴+-∈++=+-=--=+=∴=+---=+∴-=++-+=+∴-=++-=+y x y x y x y x x y x y y x y x y x y x ϕθθθθθ
19．解：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则
.4
3)(,43)(,21)(321===
A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分）
∴不发生故障的概率为
32
1521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=
⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分
（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为
32
21)()]()(1[)()(])[(3213213212=
⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P
)11
(12分P P >∴ 图2不发生故障事件为（A 1+A 3）·A 2，同理不发生故障概率为P 3=P 2>P 1（12分） 说明：漏掉图1或图2中之一扣1分 20．解：（Ⅰ）根据题意知底面边长为2a -2x ,高为x ， 则.0,)(4)22(22t x x a x x x a V ≤<-=⋅-=其中（3分） （Ⅱ）
则
若舍去或则令有由,3
)(3
,0,
41612,48422223a t a x a
x V a ax x V x a ax x V ≥==='+-='+-=
)12.(,,3;
,3,3:.,],0()(0,3
)
9.(,3.,,3分取最大值时取最大值时从而处取到最大值在上单调递增在则若分取最大值时当存在最大值而取极大值当V t x a
t V a
x a t t x V t x V V a
t V a
x V V a
x =<=≥=∴>'≤=∴=
∴
21．（Ⅰ）由2212112,2a a a S a S +=+===
)6.(48
3,2}{)(48
3)2(),1()5)(2)(2(483:
)2()83(4)2(8)83(4,8)83(4)2)(1.(483,283.8)83(2)2(4:111111222分的等比数列公比为
是首项为知
由分故两式相减得又分于是得t
t a N n t
t a a n t
t a a n a t ta n t S t tS S t tS t
t a a t t a t t a t n n n n n n n n n n n +∴∈+=≥+=≤+=≥=+-=+-+=+=
∴=+-+*+++-+ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：*-∈+=N n t
t a n n 1
)483(
2 )
12.(55
168,
3,55
168,55168)9.()483(2)483(2)483(
2.:,,0
:}{02,148
30,31
12121211分且或解得分形的充要条件是为边长能构成一个三角都有对每个正整数是一个单调递减的数列
又时--<∴-<--<+->+⋅>+++∴>+∴>>>∴∴>=<+<
-<-+++++++t t t t t
t t t t t a a a a a a a a a n a a t
t t n n n n n n n n n n n n n
22．（Ⅰ）)(x f 的图象与y =x 无公共点.
)
5.(4
1
4,041164,)(,)3.(04116416)12(.04)12(,42222222分得二式相加得无公共点的图象与由同理分从而无实根即>-<++--=<-+-=--=∆=+-+=++∴b ac b ac b x y x f b ac b ac b c x b ax x c bx ax （Ⅱ）
)
14(.2
1
5)(,8.,8)
12(2
152
2042
244
232648)()8.(538)(,.
4
)(,5163,816
3)(,0.
16
3)4()(2max 2分取最大值时因此当等号成立时当且仅当分分的较大根是方程所以此时时所以+-=-=+=
-≤
--=
---=
-=++->≤--≤-
=<-++⋅=a M a a a a
a
a M x ax a M a
a M a a a
x f a a
a x a x f。