福建省南安一中2015届高三上学期期中考试 数学【文】试题及答案

南安一中2014～2015学年度高三上学期期中考
文科数学试卷
本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求.
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,{}3,4,5B =，下图中阴影部分所表示的集合为 A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}4,5 D ．{}1,2,3,4,5
2.在复平面上，复数i
1i
3++=z 对应点所在的象限是
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是
A ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()2,1
C ．()3,2
D ．()4,3
4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表．面积．．
等于
A ．12πcm 2
B ．15πcm 2
C ．24πcm 2
D ．30πcm 2
5.“1m =”是“直线20mx y ++=与直线10x my +-=相互平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β D ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β 7.设0,0a b >>
3a
与3b
的等比中项，则11
a b
+的最小值为 A ．1
4
B ．1
C ．4
D ．8
8.已知函数()log ()a f x x b =+的大致图象如右图，其中b a ,为常数，则函数
b a x g x +=)(的大致图象是
9.已知向量a , b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则b a 3-等于
A ．3
B ．2
C ．13
D ．7
10.
已知πcos sin 6αα⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭5πsin 6α⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值是
A
． B
C ．
4
5
D ．45
-
11.设曲线1
*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅
的值为 A ．
11n + B ．1n n + C ．1n
D ．1 12.定义运算：
1212211
2
a a a
b a b b b =-
，将函数sin 2()cos 2x f x x
=
的图象向左平移t （0t >）个单
位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为 A ．
6π B ．512
π C ．3π
D ．56π
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分．
13.若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 6＝ ．
14.已知实数x y ，满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤-3102
x y x y x ，则y x z 32+=的最小值是 ．
15.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABC
A B C D
3,a =3
B π
=
,则b = ．
16.在一次研究性学习中小李同学发现，以下几个式子的值都等于同一个常数M ： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°=M ； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°=M ； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°=M ； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°=M ； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°=M ；
请计算出M 值，并将该同学的发现推广为一个三角恒等式. .
三、解答题：本大题6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知三棱柱ADF BCE -中，DF ⊥平面ABCD ，AD DC =，G 是DF 的中点 （Ⅰ）求证：//BF 平面ACG
（Ⅱ）求证：平面ACG ⊥平面BDF
18.（本小题满分12分）
已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且过点(2,1) （Ⅰ）求直线l 的方程；
（Ⅱ）若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为
求圆C 的标准方程.
19.（本小题满分12分）
已知(cos ,23cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==，且()f x a b =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，若
2)cos cos a c B b A +=-（成立，求()f A 的取值范围.
20.（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且
2264,b S =33960b S =．
(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)证明：12
11134
n S S S +++
<．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2BC PD ==，E 为
PC 的中点，3CB CG = （Ⅰ）求证：;BC PC ⊥
（Ⅱ）求三棱锥C DEG -的体积；
（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEG .若存在，求AM 的长；若不存在，说明
理由.
22.（本小题满分14分）
已知函数()21)ln f x ax a x b =-
-+（. （Ⅰ）若()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y x =，求实数a b 、的值; （Ⅱ）当0a >时，讨论()f x 的单调性;
（Ⅲ）当1a =时，()f x 在区间1
(,)e e
上恰有一个零点，求实数b 的取值范围.
南安一中2014～2015学年度高三（上）期中考
文科数学试卷答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查
内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
13.11 14.9 15 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4
三、解答题：本大题满分74分．
17.证明：
（Ⅰ）设AC 、BD 相交于点O ，连结OG
∵AD DC = ∴ABCD 为菱形 ∴O 为BD 的中点
∵G 是FD 的中点
∴//OG BF
又∵OG ⊂平面AGC BF ⊄平面AGC
∴//BF 平面ACG ……………………………6分 （Ⅱ）∵ABCD 为菱形
∴AC BD ⊥
又∵DF ⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD ∴DF ⊥AC
又∵BD DF D = BD DF ⊂、平面BDF
∴AC ⊥平面BDF 又∵AC ⊂平面ACG
∴平面ACG ⊥平面BDF ……………………………12分 18.解：（Ⅰ）∵l 与20x y +-=垂直 ∴1l k =
∵l 过点(2,1) ∴l 的方程1(2)y x -=- 即1y x =- ……………………………4分 （Ⅱ）设圆的标准方程为2
2
2
()x a y r -+=
O
222
2
(1)2a r r ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得：3,2a r == …………………………8分 ∴圆的标准方程为22(3)4x y -+= …………………………12分 19.解：
（Ⅰ）
(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==
2()2cos cos f x x x x ∴=+
1)6
2sin(2++
=π
x ……………………………3分
T π∴= ……………………………4分 单
调递增区间为：)
222(Z k x k k πππππ-
+≤+≤+∈
解得：()36
k x k k Z ππ
ππ-+≤≤+∈
∴单调递增区间为：()
x k k k Z ππππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
∈-++∈，
……………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA
∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=12
-
∵B 为三角形的内角 ∴B =23
π
……………………………8分 ∴
()2sin(2A )1
6f A π
=+-+1 又
502366
6
A A πππ
π
<<
∴<+
<
1s i n (2A )1π∴
<+≤ ……………………………10分 故(()0,1f A ⎤⎦∈2，3] ……………………………12分 20.解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．
依题意有2
3322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65
403d q ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
(舍去)． ……………4分 ∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= ……………………………6分
(Ⅱ)∵35(21)(2)n S n n n =++
++=+， ∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++
=++++
⨯⨯⨯⨯+
11111111
(1)2324352
n n =-+-+-++
-+ 1111(1)2212n n =+--++ 31114212n n ⎛⎫=
-+ ⎪++⎝⎭
． ……………………………10分 ∵n N *∈ ∴1110212n n ⎛⎫
+> ⎪++⎝⎭
∴
12
111n S S S +++
3
4
< ……………………………12分 21.(Ⅰ)证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形 ∴BC CD ⊥ ∵PD CD D =
∴BC ⊥平面PCD ……………………………3分 又∵PC ⊂面PBC ∴PC BC ⊥ ……………………………4分 (Ⅱ)解：∵BC ⊥平面PCD ，
∴GC 是三棱锥G DEC -的高 ……………………………5分 ∵E 是PC 的中点
1)222
1
(212121=⋅⋅⋅===
∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……………………………6分 9
2
1323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC G DEG C S GC V V ……………………………8分
(Ⅲ)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO GO ,，延长GO 交AD 于点M ，
则PA //平面MEG ……………………………9分
下面证明之
∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO //PA ， ……………………………10分
又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA //平面MEG
……………………………11分
在正方形ABCD 中， ∵O 是AC 的中点， OCG ∆∴≌OAM ∆
,32
==∴CG AM ∴所求AM 的长为.3
2
……………………………12分
22.解：（Ⅰ）21(21)
'()a ax a f x a x x
---=-
=
……………………………1分 依题意，'(1)11
(1)1f a f a b =-=⎧⎨=+=⎩
……………………………2分
解得： 0
1
a b =⎧⎨
=⎩ ……………………………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为0,+∞（）
21(21)
'()a ax a f x a x x ---=-
=
(21)
[]a a x a x
--
= ①当1
02
a <≤时，恒有'()0f x > 故()f x 的单调递增区间为0,+∞（） ……………………5分
②当12
a >时, (21)[]
'()a a x a f x x --=,
令'()0f x =得，21
0a x a
-=>, ………………………………6分
()f x 及'()f x 的值变化情况如下表：
………………………………8分
故()f x 的单调递减区间为21(0,)a a -，单调递增区间为21
(,)a a
-+∞ ………………………9分
（Ⅲ）当1a =时，()ln f x x x b =-+，由（Ⅱ）知，()f x 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，
∴()f x 的最小值为(1)1f b =+. ………………………………10分
11
()1f b e e =++，()1f e e b =-+ 111
()()1120f f e e e e e e ∴-=+-+=+-<
即：1
()()f f e e
< ………………………………11分
()f x 在区间1
(,)e e 上恰有一个零点
()0(1)01()0f e f f e >⎧⎪∴=⎨≤⎪⎩或 即：1010110e b b b e
-+>⎧⎪
+=⎨++≤⎪⎩或 ………………………………13分
解得：1b =-或1
1--1-e b e
<≤ ………………………………14分。