八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习质量专项训练试题

八年级初二数学第二学期平行四边形单元期末复习质量专项训练试题
一、选择题
1．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F
点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=2OE；③OF=1
2 CG,
其中正确的结论只有()
A．①②③B．②③C．①③D．①②
2．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，45
EAF
∠=︒．当8
EF=时，AEF的面积是（）．
A．8 B．16 C．24 D．32
3．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（）
A．2 B．3 C．23D．43
4．如图，在ABC中，BD，CE是ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F G
，分别是，
BO CO的中点，连接AO，若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条件（）
A ．AO BC =
B ．AB A
C ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥
D ．AO BC =且AO BC ⊥
5．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）
A ．245
B ．4
C ．5
D ．125
6．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（ ）
A ．22
B ．24
C ．44
D ．48
7．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG.则BG 的长（ ）
A ．1
B ．2
C 3
D ．3
8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结
论：
①FB OC ⊥，OM CM =；
②EOB CMB ≅；
③四边形EBFD 是菱形；
④:3:2MB OE =．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）
A ．2
B ．53
C ．54
D ．3
10．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）
A ．0.5
B ．2.5
C ．2
D ．1
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______
13．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
14．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
15．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
17．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．
18．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．
19．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．
20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
三、解答题
21．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．
（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；
（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．
22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．
（1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
23．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．
独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；
（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
25．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
26．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．
(1)求证: ADE FEM ∠=∠;
(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;
(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
27．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 3D 在1l 上以每秒332
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.
(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
28．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
29．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值是多少．
在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时
DE取最小值，得出DE的最小值为6．
参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE的长度最小时，AD
AC
=_______；
（2）如图3，延长DA到点F，使AF DA
=．以DF，DB为边作FDBE，求对角线
DE的最小值及此时AD
AC
的值．
30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证
△ECG≌△BCG，可得OE；根据直角三角形性质得OF=1
2
BE=
1
2
CG.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=1
2
∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴OE；
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，
∵BE=CG，
∴OF=1
2
BE=
1
2
CG．
故③正确．
故正确的结论有①②③．
故选A．
【点睛】
运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以
及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．D
解析：D
【分析】
如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.
【详解】
解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF=8，
∴SAFE=S△A EH=-1
2
×8×8=32.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由菱形四边形相等、OD=OB，且每边长为6，再有∠DAB＝60°，说明△DAB为等边三角形，由DH⊥AB，可得AH=HB（等腰三角形三线合一），可得OH就是AD的一半，即可完成解答。

【详解】
解：∵菱形ABCD 的周长为24
∴AD=BD=24÷4=6，OB=OD
由∵∠DAB ＝60°
∴△DAB 为等边三角形
又∵DH ⊥AB
∴AH=HB
∴OH=
12
AD=3 故答案为B.
【点睛】 本题考查了菱形的性质、等边三角形、三角形中位线的知识，考查知识点较多，提升了试题难度，但抓住双基，本题便不难。

4．D
解析：D
【分析】 根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12
FG BC =，//FG BC ，得到四边形DEFG 为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】 解：点E 、D 分别为AB 、AC 的中点，
12
DE BC ∴=，//DE BC ， 点F 、G 分别是BO 、CO 的中点，
12
FG BC ∴=，//FG BC ， DE FG ∴=，//DE FG ，
∴四边形DEFG 为平行四边形，
点E 、F 分别为AB 、OB 的中点，
12
EF OA ∴=，//EF OA ， 当EF FG =，即AO BC =时平行四边形DEFG 为菱形，
当AO BC ⊥时，DE OA ⊥，
//EF OA ，
EF FG ∴⊥，
∴四边形DEFG 为正方形，
则当AO BC =且AO BC ⊥时，四边形DEFG 是正方形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=1
2 AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC=1
2
BC•AP＝
1
2
AB•AC，
∴1
2
×10AP＝
1
2
×6×8，
∴AP最短时，AP=24
5
，
∴当AM最短时，AM=1
2
AP=
12
5
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
6．C
解析：C
【分析】
根据已知条件得到AB3CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，
根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝22，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝22
+，于是得到结论．
AB AE
【详解】
∵S1＝3，S3＝8
∴AB＝3，CD＝22
过A作AE∥CD交BC于E
则∠AEB＝∠DCB
∵AD∥BC
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE＝AD，AE＝CD＝22
∵∠ABC+∠DCB＝90°
∴∠AEB+∠ABC＝90°
∴∠BAE＝90°
+=
∴BE3811
∵BC＝2AD
∴BC＝2BE＝211
∴S2＝(21144=
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
首先证明AB=AF=AD，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL可证明△ABG≌△AFG，得到BG=FG，再利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，
∴AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF ，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG ，
在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，
AG AG AB AF ⎧⎨⎩
＝＝ ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；
∴BG=FG （全等三角形对应边相等），
设BG=FG=x ，则GC=6-x ，
∵E 为CD 的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x ，
∴在Rt △CEG 中，32+（6-x ）2=（3+x ）2（勾股定理），
解得x=2，
∴BG=2，
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
①证明△OBC 是等边三角形，即可得OB=BC ，由FO=FC ，即可得FB 垂直平分OC ，①正确；②由FB 垂直平分OC ，根据轴对称的性质可得△FCB ≌△FOB ，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC ≌△EOA ，所以FO=EO ，即可得OB 垂直平分EF ，所以△OBF ≌△OBE ，即△EOB ≌△FCB ，②错误；③证明四边形DEBF 是平行四边形，再由OB 垂直平分EF ，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，即可得平行四边形DEBF 为菱形，③正确；④由OBF ≌△EOB ≌△FCB 得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt △OBE 中，可得OE
=3OB ，在Rt △OBM 中，可得
BM=2
OB ，即可得BM ：OE =3：2，④正确. 【详解】
①∵矩形ABCD 中，O 为AC 中点，
∴OB=OC ，
∵∠COB=60°，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB=BC ，
∵FO=FC ，
∴FB 垂直平分OC ，
∴FB⊥OC，OM=CM；
①正确；
②∵FB垂直平分OC，
根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，
∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
∴OB垂直平分EF，
∴△OBF≌△OBE，
∴△EOB≌△FCB，
②错误；
③∵△FOC≌△EOA，
∴FC=AE，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DF∥EB，DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OB垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴平行四边形DEBF为菱形；
③正确；
④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，
在Rt△OBE中，3
，
在Rt△OBM中，
3
∴BM ：3：3OB=3：2.
④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．
9．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．
【详解】
解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为5
3
，
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．B
解析：B
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，
从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则
135
1=2.5
222
CM MP CP HE EC
=+=+=+=.
故选B．
【点睛】
本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
(25)42
CE AC AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
-=-,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
=-=-=,
BE AB AE543
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．2
【分析】
过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．
【详解】
解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：
∵H是BG的中点，且BO与HE平行，
∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，
故要使得HE最短，只需要BO最短即可，
当E 点位于C 点时，则O 点与C 点重合，
当E 点位于D 点时，则O 点与A 点重合，
故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，
由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴2222BO , ∴122HE BO ，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．
13．42
【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=
+=+==．
故答案是：42．
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．
【详解】
连接BD ，BF ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=CD ，
∴∠DAC=∠DCA ．
∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，
∴AF=BF ，BF=DF ，
∴AF=DF ，
∴∠FAD=∠FDA ，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．
15．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠
AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
16．5
【分析】
过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则
OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=22
．
OE BE
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
17．2或14
【分析】
利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长
【详解】
解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm
同理可得：CF=CB=6cm
∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)
如图2，当AD=10cm,AB=6cm,
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm
同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）
故答案为：2或14.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．
18．（-2，0）
【分析】
先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．
【详解】
∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，
∴对角线的交点D 的坐标是（2,2）， ∴22222OD =+=
将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0，22），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-2，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-22
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（2,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，22
由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，
∵201982523÷=，
∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-2，0）
故答案为：（-220）．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
19．207
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．
【详解】
解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，
∴DC =DE =5，CP =EP ．
在△OEF 和△OBP 中，
90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），
∴OE =OB ，EF =BP ．
设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，
又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，
∴AF =AB -BF =2+x ．
在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，
∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，
∴x =67
∴AF =2+67=207
故答案为：
207 【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB 为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB ∥FC ，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1， ∴221
12FG GC FC =+=+=， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）18
【分析】
（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，
AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，
ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，
即ABD CBF ∠=∠
在ABD ∆和FBC ∆中，
AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；
图1 图2
（2）
ABD FBC ∆≅∆，
BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==， 180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠
180()BFC BNF =︒-∠+∠
1809090=︒-︒=︒
AD CF ∴⊥
-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形
11112222
AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822
CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）
152，理由见解析； 【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．
（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形
∵∠B ＝90°，∠A ＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF ，
又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，
∴CD=2AE
∴AE=DF ．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°
∴AE ∥DF
∴四边形AEFD 是平行四边形．
当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形
∵AC ＝60cm ，DF=12
CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，
∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t 为152
时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，
∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED 中，
∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t
∴AD=4t ，
又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，
∴AD+CD=AC ，8t=60，
∴t=152
． 即t=
152
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
23．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析
【分析】
（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据
AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；
（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；
（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求
出F A '；
（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.
【详解】
(1)四边形AEE D '是矩形，
在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，
由平移可知：BE CE ''=，
∴BC EE '=，
∴AD EE '=，
∴四边形AEE D '是平行四边形，
∵AE BC ⊥，
∴90AEE '∠=︒，
∴四边形AEE D '是矩形；
(2)四边形AFF D '是菱形，
在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，
由平移可知：EF E F =''，
∴EE FF ''=，
∴AD FF '=，
∴四边形AFF D '是平行四边形，
∵AE EF ⊥，
∴90AEE '∠=︒，
在Rt AEF ，2222345AF AE EF =
+=+=， ∴AF AD =，
∴四边形AFF D '是菱形；
(3)连接F A ',
在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，
15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，
∴·30F A FD '=，
∴310F A '=；
(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.
24．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.
【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，
∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB OD =，
∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:
∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形
∴,,,OA OC OB OD AC BD ===
∴OC OD =，
∴四边形OCFD 为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
25．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ CF ∥ED ，
∴ ∠FCG ＝∠EDG ，
∵ G 是CD 的中点，
∴ CG ＝DG ，
在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），
∴ FG ＝EG ，
∵ CG ＝DG ，
∴ 四边形CEDF 是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，
理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，。