最新大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分）
1. （3分）若2,0,
(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0
(3)(3)
lim
2h f h f h
→--的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
12
3. （3
分）定积分22
π
π-⎰的值为（ ）.
(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2
4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .
2. （3分） 1
241(sin )x x x dx -+=⎰ .
3. （3分） 20
1
lim sin
x x x
→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .
三、计算题（共42分） 1. （6分）求2
ln(15)
lim
.sin 3x x x x →+
2. （6
分）设2,1
y x =+求.y '
3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰
4. （6分）求3
(1),f x dx -⎰
其中,1,()1cos 1, 1.x x
x f x x e x ⎧≤⎪
=+⎨⎪+>⎩
5. （6分）设函数()y f x =由方程0
cos 0y
x
t
e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy
6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰
7. （6分）求极限3lim 1.2n
n n →∞
⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
四、解答题（共28分）
1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x
2. （7分）求由曲线cos 2
2y x x π
π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周
所得旋转体的体积.
3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.
4. （7
分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)
设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明
1()[()()]()()().22b
b
a
a
b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=
++--⎰
⎰ 标准答案
一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1
3
1;y x =+ 2
2
;3
3 0;
4 0. 三、 1 解 原式2
05lim
3x x x
x →⋅= 5分
5
3
=
1分 2 解
22ln ln ln(1),12
x
y x x ==-++ 2分
2
212[]121
x y x x '∴=-++ 4分
3 解 原式221
ln(1)(1)2
x d x =
++⎰ 3分
222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x
=++-+⋅+⎰ 2分
2221
[(1)ln(1)]2
x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分
3
2
1()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分
1
211(1)1cos t t
dt e dt t
-=+++⎰⎰ 1分
2
1
0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分
5 两边求导得cos 0,y
e
y x '⋅+= 2分
cos y x
y e
'=-
1分
cos sin 1
x
x =
- 1分
cos sin 1
x
dy dx x ∴=- 2分
6 解
1
(23)(23)(22)2
f x dx f x d x +=
++⎰
⎰ 2分 21
sin(23)2
x C =++ 4分 7
解 原式=2332
3lim 12n n n ⋅→∞
⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
4分
=32
e 2分
四、1 解 令ln ,x
t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分
()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分
(0)1,0,f C =∴= 2分
().x f x x e ∴=+ 1分
2 解 222
cos x
V xdx π
ππ-=⎰ 3分
2202cos xdx π
π=⎰ 2分
2
.2
π=
2分
3 解
23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分
令0,y ''=得 1.x = 1分 当1x -∞<
<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分
(1,3)∴为拐点, 1分
该点处的切线为321(1).y
x =+- 2分
4 解
1y '=-
= 2分
令0,y '=得3
.4
x = 1分
35
(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分
∴
最小值为(5)5y -=-+最大值为35
.44
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分
五、证明
()()()()()()b
b
a
a
x a x b f x x a x b df x '''--=--⎰
⎰ 1分
[()()()]()[2()b
b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分 [2()()b
a x a
b df x =--+⎰ 1分
3
2
1D
C
B A {}[2()]()2()b b
a a x a
b f x f x dx =--++⎰ 1分 ()[()()]2(),b
a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分
移项即得所证. 1分
证明题专项
1如图，已知AB ∥CD, ∠1=∠3, 试说明AC ∥BD.
2、如图，已知CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2。

则DF 与AE 平行吗？为什么？
3、如图，AB ∥CD,AD ∥BC,∠A=3∠B.求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数.
4、如图，AB ∥CD,直线EF 交AB 、CD 于点G 、H.如果GM 平分∠
E F
A
B
C D
12
D
C
B
BGF,HN 平分∠CHE ，那么，GM 与HN 平行吗？为什么？
5、已知，如图15，∠ACB ＝600，∠ABC ＝500，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EF 是经过点O 且平行于BC 的直线，求∠BOC 的度数。

6、已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分
∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=50
求：∠BHF 的度数。

7、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠COE ，∠COE ：∠EOD=4：5，求∠BOD 的度数。

H
G
F E
D
C B
A
F O
E C
B
A
图15
3
2
1
E
D
C
B
A
8、已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，则这个角的度数等于多少度？
9、如图：已知AD ∥BE, ∠1=∠2, 请说明∠A=∠E 的理由.。