专题——圆锥曲线定值问题(最新整理)

e
由
y x2
a2
ex a
y2
, 1
b2
得
x y
c b2
a
M
c,
b2 a
,
AM
AB, c
a e
b2 ,
a
a e
,
a
,即
a e
c b2 a a
a e
，而
c a 2 b2 , 1 e2且1 e2 0,故 AM 1 e2 为定值。 ▲利用辅助元 AB
解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的
若是定值，求出该定值。
3、已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y 1 x2 的焦点， 4
25
离心率等于 。
5
（1） 求椭圆 C 的标准方程 （ 2） 过 椭 圆 的 右 焦 点 作 直 线 l 交 椭 圆 C 于 A、 B 两 点 ， 交 y 轴 于 M 点 ， 若
相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。
二．证明动直线过定点或动点在定直线上问题
x2 4、如图,椭圆 a2
y2 b2
1的两焦点 F1 ， F2 与短轴两端点 B1 ， B2 构成 B2F1B1 为120 ,面
积为 2 3 的菱形。 （1）求椭圆的方；程 （2）若直线 l : y kx m 与椭 圆相交于 M 、N 两点( M 、 N 不是左右顶点),且以 MN 为直径的圆过 椭圆右顶点 A ．求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标．
易错点
1，设参时不够大胆，或者不够准确；
2，化简时存在厌烦的心态或者利用条件关系不充分
4
y2 x2
y1 x1
(
x
x1 )
,
即
y y1
y2 y1 y22 y12
(x
y12 4
)
即
AB
的方程为:
y
y1
4 (x y1 y2
y12 ) , 4
44
即 ( y1 y2 ) y y12 y1 y2 4x y12 即: ( y1 y2 ) y (16 4x) 0 ，
令 y 0 ,得 x 4 ，所以,无论 y1, y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0)
2
பைடு நூலகம்
解： (1)易得 椭圆的方程为 x 2 y 2 1 43
（2）
由
y x2
4
kx m
y2
, 1
3
消去
y得到
3 4k 2 x2 8kmx 4m2 12 0, 直线l与椭圆有两个交点， 0 ，即
8km2 4 3 4k 2 4m2 12 48k 2 12m2 36 12 4k 2 m2 3 0
解：(1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x 1相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离。所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 p 1, p 2
2 所以所求的轨迹方程为 y2 4x
3
(2)
假设存在 A,B 在 y2
4x 上,所以,直线 AB 的方程: y y1
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，所以
{ ) －x1＝λx2 ①
1－y1＝λ(y\S\do(2)－1) ②
1
1
1
将①式两边平方并把 y1＝4x12，y2＝4x22 代入得 y1＝λ2y2 ③
1 解②、③式得 y1＝λ，y2＝λ，且有 x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
1
1
抛物线方程为 y＝ x2，求导得 y′＝ x．所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是
在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征． 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关． 2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关． 题型示例
设 M x1, y1 , N x2 ,
y2 ，则有 x1
x2
8km 3 4k 2
, x1x2
4m2 12 3 4k 2
因为以 MN 为直径的圆过椭圆右顶点 A ，所以 AM AN 0,即
x 1
2, y1
x2
2, y2
0 ，而
y1
kx1
m, y2
kx2
m
代入并整得
1 k 2 x1x2 x1 x2 km 2 m2 4 0
一．证明某一代数式为定值：
1、如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且 MA=MB.
若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；
解：设
M（y
2 0
,y0），直线
ME
的斜率为
k(l>0)，直线
MF
的斜率为－k，
直线 ME 方程为 y y0 k(x y02 ).
∴由
y y0 y2 x
k(x
y02 )
，消
x得ky 2
y
y0
(1
ky0
)
0
解得 yF
1 ky0 k
, xF
(1 ky0 )2 k2
；同理
y
F
1
ky k
, xF
1 ky 2
k2
∴ kEF
yE yF xE xF
1 ky0
k (1 ky0 )2
k2
1 ky0 k
(1 ky0 )2 k2
所以FM·AB为定值，其值为 0．
▲利用不变因素
x2 3、已知椭圆 a 2
y2 b2
1a b 0的离心率为e.直线l : y ex a与x轴、y轴 分别交于
点 A、B，M是直线l与该椭圆的一个公共点。求证：AM 为定值 。 AB
解：设 AM AB,由题意得A a ,0, B0, a 。
高三二轮——圆锥曲线中的“定值”问题
概念与用法
圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点．解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值．具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值． 基本解题数学思想与方法
当 m 2 k时，l : y kx 2 k k x 2 ,此时，直线过定点 2 ,0
7
7 7
7
三．探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值
5、已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ，且总与直线 l : x 1相切,（Ⅰ）求动圆圆心 M 的轨迹 C 的
方程；（Ⅱ）探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
1 k 2 4m2 12 8km km 2 m2 4 ，化简整理得到 3 4k 2 3 4k 2
7m2 16km 4k 2 0, m 2k 7m 2k 0, m 2k或m 2 k
7 m 2k, m 2 k 均满足判别式大于 0，所以
7
当 m 2k时，l : y kx 2k kx 2,此时，直线过定点2,0
练兵场
1、点
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上任一点，A、B
是该椭圆上关于原点对称的两点，
那么 kPA kPB 是否为定值？
思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立？
2、过抛物线 y2 2 px 的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD，判断 1 1 是否为定值， | AB | | CD |
MA 1 AF , MB 2 BF ，求证 1 2 为定值。
4、已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的两个焦点分别为 F1(1, 0), F2 (1, 0) ，点
P
在椭圆上，
且满足 |
PF1
|
2
|
PF2
|, PF1F2
30
，直线
y=kx+m
于圆
x2
y2
6 5
相切，与椭圆相交于
A、B 两点，（1）求椭圆的方程；（2）证明 AOB 为定值。
4
2
1
1
11
11
y＝2x1(x－x1)＋y1，y＝2x2(x－x2)＋y2，即 y＝2x1x－4x12，y＝2x2x－4x22．
x1＋x2 x1x2 x1＋x2
解出两条切线的交点 M 的坐标为(
， )＝(
，－1)．
2
4
2
x1＋x2
1
11
所以FM·AB＝( 2 ，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝2(x22－x12)－2(4x22－4x12)＝0
2
k 4ky0
k2
1 2 y0
(定值)
所以直线 EF 的斜率为定值
▲利用消元法
2、已知抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且AF＝λFB（λ＞0）．过 A、B
两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M．证明FM·AB为定值 解：由已知条件，得 F(0，1)，λ＞0．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB，