人教版平行四边形单元 易错题难题专项训练学能测试

人教版平行四边形单元 易错题难题专项训练学能测试
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）
A ．33
B ．27
C ．43
D ．223+ 2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点
E 在边AB 上，AE ＝1，若点P 为对角线BD 上的一个动点，则△PAE 周长的最小值是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（ ）
A ．23a 2
B ．14a 2
C ．59a 2
D ．49
a 2 4．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点
分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至
△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =28.8． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 6．如图，在平行四边形ABCD 中，
E 、
F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说
法中正确的是（ ） ①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；
⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．
A ．①⑥
B ．①②④⑥
C ．①②③④
D ．①②④⑤⑥
7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；
②·ABCD S AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．线段AB 上有一动点C （不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边向上作等边△ACM 和等边△BCN ，点D 是MN 的中点，连结AD ，BD ，在点C 的运动过程中，有下列结论：
①△ABD 可能为直角三角形；②△ABD 可能为等腰三角形；③△CMN 可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD 的最小值为37. 其中正确的是（ ）
A ．②③
B ．①②③④
C ．①③④
D ．②③④
9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝4，点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的左上方作正方形AEFG ，同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当点F 落在直线MN 上，设运动的时间为t ，则t 的值为( )
A ．1
B ．103
C ．4
D ．143
10．如图，在菱形ABCD 中，若E 为对角线AC 上一点，且CE CD =，连接DE ，若5,8AB AC ==，则DE AD
=（ ）
A ．104
B ．10
C ．35
D ．45
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．
12．在平行四边形ABCD 中，30,3,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
13．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
14．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
15．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．
17．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．
18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则
EM =______；EDM 的面积为______，
19．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
22．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,︒得到线段,CQ 连接,BP DQ .
()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；
()2如图乙，延长BP 交直线DQ 于点E .求证：BE DQ ⊥；
()3如图丙，若BCP 为等边三角形，探索线段,PD PE 之间的数量关系，并说明理由.
23．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发
向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．
24．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．
(1)求证: ADE FEM ∠=∠;
(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;
(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
25．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
① ②
26．已知，如图，在三角形ABC ∆中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且
16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B 点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：
（1）线段AD =_________cm ；
（2）求证：PB PQ =；
（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？
27．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．
28．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．
①点A 与点______关于BC 互为顶针点；
②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．
实践操作
(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．
①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)
思维探究
②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．
29．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
30．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．
（1）求证：AG AE
=
（2）过点F作FP AE
⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：NH=FM
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=1
2 AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，
∴EC=27，
故选A.
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．2．D
解析：D
【分析】
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意过E作EK垂直于直线CD，垂足为K，再过E作EL垂直于直线BC，垂足为
L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S =四边形.
【详解】 解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.
四边形ABCD 为正方形
∴EL=EK
,EK CD EL BC ⊥⊥
∴90ELM EKN ︒∠=∠=
90BCD ︒∠=
90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形
90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=
LEM NEK ∴∠=∠
ENK ELM ∴∆≅∆
2224()39
EKCL ENCM S S
a a ∴===四边形 故选D.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.
【详解】
由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ， 即一个阴影部分的面积为
如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），
∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
5．B
解析：B
【分析】
由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；
设BG=FG=x，则CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正确；
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正确；
通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．
【详解】
①正确．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质
得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG
中，
AG AG
AB AF
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由如下：
由题意得：EF=DE=1
3
CD=4，设BG=FG=x，则CG=12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解
得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；
③正确．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GC F=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；
④错误．理由如下：
∵S△GCE=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=24．
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=3
5
×24=
72
5
≠28.8．
故④不正确，∴正确的有①②③．
故选B ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．
6．D
解析：D
【分析】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.
【详解】
①∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE 和△DFC 中
BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩
∴△ABE≌△DFC（SAS ）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DF E,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.
④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF 是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO 和△DMO 中
∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩
△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）
∴BN=DM
11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯
∴△ADE △ABE S =S ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
7．C
解析：C
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC •BC ，故②正确，根据直
角三角形的性质得到AC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=
12
BC ，于是得到OE ：
∶6；故③错误；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BCD ∠=︒
∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，
∴60DCE BCE ∠=∠=︒，
∴CBE △是等边三角形，
∴BE BC CE ==．
∵2AB BC =，
∴AE BE CE ==，
∴90ACB ∠=︒，
∴30ACD CAB ∠=∠=︒，故①正确；
∵AC BC ⊥，
∴ABCD S AC BC =⋅，故②正确；
在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒， ∴3AC BC =．
AO OC =，AE BE =，
∴1OE BC 2
=， 1::33:62OE AC BC BC ∴==，故③错误． 故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据题意并结合图形，我们可以得出当C 为AB 的中点时，可判断所给结论正确与否．
【详解】
解：
当C 为AB 中点时，有图如下，
∵ACM 与BCN 为等边三角形，
∵C 为AB 中点，
∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND ，
∵MCN 60∠=︒
∴CMN CNM 60∠∠==︒
∴CMN 为等边三角形，③正确；
∵AMD BND 120∠∠==︒
∴AMD BND ≅
∴AD=BD，△ABD 此时为等腰三角形，②正确；
当C为AB中点时，AD+BD值最小，∵D为MN的中点，
∴CD为MN的垂直平分线，
∴
1
MD
4
AB
=，∵AB=6，
∴
2
2
333 CD3
2
⎛⎫
=-=
⎪
⎝⎭
∴
2
2
3337 AD3
22
⎛⎫
=+=
⎪
⎪
⎝⎭
∵AD=BD
∴AD+BD=37，④正确；
若△ABD可能为直角三角形，则ADB90
∠=︒，
∴CD为AB的垂直平分线
∴ADC45
∠=︒
∴AC=CD，与所求结论不符，①错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画出当C为AB中点时的图形是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF，证得∠AED=∠EFH，由AAS证得△ADE≌△EHF得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．
【详解】
过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF，
∵在正方形AEFG 中，∠AEF=90°，AE=EF ，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH ，
在△ADE 和△EHF 中，
ADE EHF AED EFH AE EF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△EHF （AAS ），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=
143
， 故选D ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
连接BD ，与AC 相交于点O ，则AC ⊥BD ，142AO AC =
=，由5AD AB ==，根据勾股定理求出DO ，求出EO ，由勾股定理求出DE ，即可得到答案.
【详解】
解：连接BD ，与AC 相交于点O ，则AC ⊥BD ，
在菱形ABCD 中，142
AO AC =
=， ∵5AD AB CD ===， 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得：
22543DO =-=，
∵=5CE CD =，8AC =，
∴853AE =-=，
∴431OE =-=，
在Rt △ODE 中，由勾股定理，得 223110DE =+=，
∴105
DE AD =. 故选：B.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及线段的和差关系，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理求出DE 的长度.
二、填空题
11．52
【分析】
连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM ，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点
∴AM=DM=12
EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）
∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为
52 故答案为
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
12．43或23 【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
在Rt ADE △中，
30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332
AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，
如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =，
30A ∠=︒，33BE x =
， 在Rt BDE △中，
2BD =， 22232()(23)x ∴=+， 3x ∴=23x =
1BE ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，
如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，
故答案为：43或23．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
13．102︒
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．
【详解】
连接BD ，BF ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD=CD ，
∴∠DAC=∠DCA ．
∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，
∴AF=BF ，BF=DF ，
∴AF=DF ，
∴∠FAD=∠FDA ，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD ，BF ，这是解答本题的突破口．
14．5
【分析】
过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OB=
22OE BE +．由于四边形OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=22OE BE +．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
15．6
【分析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，
推出PE=1
2
PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条
直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=1
2
AB=3，得到2PB+
PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=1
2 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
16．1或7．
【分析】
存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P 在AD上，只需要AP=CE即可得全等
【详解】
设点P 的运动时间为t 秒，
当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，
此时有ABP DCE ∆∆≌，
∴BP CE =，即22t =，解得1t =；
当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，
∵4AB =，6AD =，
∴6BC =，4CD =，
∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，
∴162AP t =-，
此时有ABP CDE ∆∆≌，
∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；
综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.
故答案为：1或7．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可
17．（-，0）
【分析】
先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．
【详解】
∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，
∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），
∴OD ==
将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0，），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，
由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，
∵201982523÷=，
∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）
故答案为：（-0）．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
18．2
【分析】
根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =
∴在Rt ABD △中，114222
DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222
EM AM AB ==
=⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠
∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠
()2MAE MAD =∠-∠
2DAC =∠
60=︒
∵=DM EM
∴DME 是等边三角形，且边长为2
∴122
EDM S =⨯=
故答案是：2
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．
19．2
【分析】
分别延长AE ，BF 交于点H ，易证四边形EPFH 为平行四边形，得出点G 为PH 的中点，则G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ，再求出CD 的长度，运用中位线的性质求出MN 的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∵点G为EF的中点，
∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN=1
2
CD=2，
∴点G移动路径的长是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC
∠=∠证明BC=BE，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.【详解】
过点B作BF CD
⊥于点F，如图所示．
∵AE是BAD
∠的平分线，
∴DAE BAE
∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ==
=，
∴BF ===
∴平行四边形ABCD 的面积为5BF CD ⋅==．
故答案为：
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）BD ⊥CF ，CF=BC-CD ；（2）CF=BC+CD ，见解析；（3）①CF=CD−BC ，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）先说明△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF ⊥BD 、CF=BD ，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD ；
（2）先利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF-CD=BC ； （3）①与（2）同理可得BD=CF ，然后结合图形可得CF=CD-BC ；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF ，然后利用“边角边”证明△BAD ≌△CAF ，得∠ACF=∠ABD ，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=
12
DF ，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA ，从而得到△AOC 是等腰三角形．
【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF 是正方形
∴AD=AF ，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC ∵BD+CD=BC
∴CF+CD=BC；
故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠CAF=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
（3）①与（2）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD−BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180∘−45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠FCD=∠AC F−∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=1
DF，
2
∵在正方形ADEF中，OA=1
AE，AE=DF，
2
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.
22．（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）△DEP为等腰直角三角形，理由见试题解析．
【分析】
（1）根据正方形性质得出BC＝DC，根据旋转图形的性质得出CP＝CQ以及∠PCB＝
∠QCD，从而得出三角形全等来得出结论；
（2）由（1）知∠PBC＝∠QBC，BE和CD交点为F，根据对顶角得出∠DFE＝∠BFC，从而说明BE⊥QD；
（3）根据等边三角形的性质得出PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，则∠PCD＝30°，根据BC＝DC，CP＝CQ得出△PCD为等腰三角形，然后根据△DCQ为等边三角形，从而得出∠DEP＝90°，从而得出答案．
【详解】
（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，
又∵将线段CP绕点C顺时针旋90°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝90°，
∴∠PCD＋∠QCD＝90°，
又∵∠PCB＋∠PCD＝90°，
∴∠PCB＝∠QCD
在△BCP和△DCQ中，
BC＝DC，CP＝CQ，∠PCB＝∠QCD，
∴△BCP≌△DCQ，
∴∠CBP＝∠CDQ；
（2）证明：∵△BCP≌△DCQ，
∴∠PBC＝∠QDC，
∴∠DFE＝∠BFC，∠FED＝∠FCB＝90°，
∴BE⊥QD；
（3）△DEP为等腰直角三角形，理由如下：
∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC＝BC，∠PBC＝∠BPC＝∠PCB＝60°，
∴∠PCD＝90°－60°＝30°，
∴∠DCQ＝90°－30°＝60°，
又∵BC＝DC，CP＝CQ，
∴PC＝DC，DC＝CQ，
∴△PCD是等腰三角形，△DCQ是等边三角形，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，∠CDQ＝60°，
∴∠EPD＝180°－75°－60°＝45°，
∠EDP＝180°－75°－60°＝45°，
∴∠EPD＝∠EDP，PE＝DE，
∴∠DEP＝180°－45°－45°＝90°，
∴△DEP是等腰直角三形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）8-2t，8-t；（2）8
3
或
7
4
【分析】
（1）根据P、Q的运动速度以及AB和CD的长即可表示；（2）分PQ=PB、BP=BQ和QP=QB三种情况进行分析即可．【详解】
解：（1）由题意可得：
DP=2t，AQ=t，
∴PC=8-2t，BQ=8-t，
故答案为：8-2t，8-t；
（2）当PQ=PB时，
如图①，QH=BH，
则t+2t=8，
解得，t=8
3
，
当PQ=BQ时，
（2t-t）2+62=（8-t）2，
解得，t=7
4
，
当BP=BQ时，
（8-2t）2+62=（8-t）2，方程无解；
∴当t=8
3
或
7
4
时，△BPQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
24．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析
【分析】
（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．
【详解】
(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，
∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴ADE FEM ∠=∠;
(2) ;DE EF =理由如下:
如图，取AD 的中点N ，连接NE ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD AB = ，
∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22
AN DN AD AE EB AB ==
==， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒
∴45ANE ∠=︒
∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，
又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠
∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．
∴DNE EBF ∠=∠
在DNE △和EBF △中
ADE FEB DN EB
DNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()DNE EBF ASA ≌，
∴DE EF =
(3) DE EF =.理由如下:。