12014年高中数学+选修2-3【配套课件】全套完整版(15份打包)
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化展开二项式的过程,使问题的解决更加简便.
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二、二项展开式中特定项、项的系数
活动与探究 2
6
1.若 - 2 展开式的常数项为 60,则常数a 的值为
.
思路分析:利用二项式定理的通项公式求出不含 x 的项即可.
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答案:4
6-r
解析:由二项式定理可知 Tr+1 =C6 x
- 2
(x )
Tr+1 =C10
2 10-r
令
∴第 9
5
20-2r=0,得
·
1
2
= C10
8
r=8,∴T9 =C10
·
5
20-2r
1
2
8
·
1
2
(r=0,1,…,10).
45
= 256 .
45
项为常数项,其值为25问题,实质是考查通项 Tk+1 =C a b 的
=C51
51
51
51
51·251 -1)以外各项都能被 7 整除,
易知除(C51
又 251 -1=(23 )17 -1=(7+1)17-1
0
1
16
17
=C17
·717 +C17
·716 +…+C17
·7+C17
-1
0 16
1 15
16
=7(C17
7 +C17
7 +…+C17
),
显然上式能被 7 整除,
证明:∵3
-8n-9
=9n+1 -8n-9=(8+1)n+1 -8n-9
n+1
=8
-1
+C1 +1 ·8 +…+C +1 ·8 +C+1 ·8+1-8n-9
n
2
-1
=8n+1 +C1 +1 ·8n +…+C+1
·82 +8(n+1)+1-8n-9
-1
=8n+1 +C1 +1 ·8n +…+C+1
=7677 +C77
77
77
77
1 7675 +C 2 7674 +…+C 76).
=76(7676 +C77
77
77
77
由于 76 能被 19 整除,因此 77 -1 能被 19 整除.
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迁移与应用
92
1.91 除以 100 的余数是
答案:81
.
0 ·9092 +C 1 ·9091 +…+C 90·902 +
1
4
=
(3+1)
2
4
1
=2 (81x4 +108x3 +54x2 +12x+1)
12
1
=81x2 +108x+54+ + 2 .
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迁移与应用
5
4
3
2
1.(x-1) +5(x-1) +10(x-1) +10(x-1) +5(x-1)=
.
答案:x5 -1
解析:原式
=C50 (x-1)5 +C51(x-1)4 +C52 (x-1)3 +C53(x-1)2 +C54 (x-1)+C55 -1=[(x-1)+1]5 -1=
∴5151 -1 能被 7 整除.
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2n+3
n+1
n+1
(2)3 -24n+37=3·9 -24n+37=3(8+1) -24n+37
=3(C0+18n+1 +C1 +1 8n +…+C+18+1)-24n+37
-24n+40
=3×64(C0 +1 8n-1 +C1+18n-2 +…+C-1
x5 -1.
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2.(2013 安徽合肥模拟)求
解法一:
C41 (
1
- 2
4
4
的展开式.
= C40 ( ) -
1
1
) ·2 + C42 ( )2 · 2
3
1
1
2
=x -2x+ 2 − 2 + 162 .
3
1
- 2
4
2
−
C43
1
2
3
1
+ C44 2
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4
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解法二:
1
2
4
=
2-1
2
4
1
4
(2x-1)
162
=
1
4
3
2
=162(16x -32x +24x -8x+1)
2
=x
3
1
1
-2x+ 2 − 2 + 162 .
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n
熟记二项式(a+b) 的展开式,是解决此类问题的关键,我们在解
较复杂的二项式问题时,可根据二项式的结构特征进行适当变形,简
=
C6 (-
6-3r
) x
,
令 6-3r=0,得 r=2,
∴T3 =C62 (- ) =60.
2
∴15a=60.∴a=4.
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2.在
15
A.- 4
2
-
2
6
2
的二项展开式中,x 的系数为(
B.
15
4
3
C.-8
)
3
D. 8
思路分析:利用二项展开式的通项公式求.
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答案:C
关的简单问题.
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预习导引
1.二项式定理
(a+b)n =C0 an +C1 an-1 b+…+C an-kbk+…+C bn (n∈N* )
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n 的二项式的展开式,展
开式中一共有 n+1 项.
(3)二项式系数:各项的系数C (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
n-r r
指的是第 r+1 项,不是第 r 项;④某项的二项式系数与该项的系数不
是一个概念,C 叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母
外的部分,如(1+2x)3 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为C32 =3,
而该项的系数为C32 ·22 =12.
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n
(2)(x+1) 的展开式共有 11 项,则 n 等于(
)+24C
+1
+1
=64×3(C0 +1 8n-1 +C1+18n-2 +…+C-1
+1 )+64,
显然上式是 64 的倍数,故原式可被 64 整除.
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解析:Tr+1 =C5 (2x )
1
2 2 -
5
的二项展开式中,x 的系数为
C.40
1
-
D.-40
=(-1) 2 C5 x
r 5-r
10-3r
,
∴当 10-3r=1 时,r=3.
∴(-1) 2 C53 =-40.
3 5-3
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2.求二项式
2
+
1
2
10
的展开式中的常数项.
解:设第 r+1 项为常数项,则
·82
-1
=(8n-1 +C1 +1 ·8n-2 +…+C+1
)·64,
∴32n+2 -8n-9 是 64 的倍数.
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n
用二项式定理解决 a +b 整除(或余数)问题时,一般需要将底数
a 写成除数 m 的整数倍加上或减去 r(1≤r<m)的形式,利用二项展开
式求解.
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当堂检测
1.
.
答案:-6
解析:展开式中的 x2 项为C41·(-x)1 ·C32 ·(- )2 +C42 (-x)2C30 =-6x2 .
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51
5.求证:(1)51 -1 能被 7 整除;
2n+3
(2)3 -24n+37 能被 64 整除.
证明:(1)∵5151 -1=(49+2)51 -1
0 4951 +C 1 4950 ·2+…+C 50·49·250 +C 51·251 -1,
特点,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k 的取
n-k k
值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项;
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0
建立方程;
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法
x .
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2.(2013 江西高考,理 5)
2
2 - 3
5
展开式中的常数项为(
)
A.80
B.-80
C.40
D.-40
答案:C
解析:展开式的通项为 Tr+1 =C5 x2(5-r)(-2)r x-3r =C5 (-2)r x10-5r .令 10-5r=0,
得 r=2,所以 T2+1 =C52 (-2)2 =40.故选 C.
1
16
的二项展开式中第 4 项是(
)
2 x
3 x
A. C16
B. C16
3 x10
4 x8
C.-C16
D.C16
答案:C
解析:展开式的通项公式为
12
10
Tr+1 =C16
·x
16-r
·
1
-
=(-1)r ·C16
·x16-2r ,
3
3 10
∴第 4 项为 T4 =(-1)3C16
·x10 =-C16
理起来比较复杂,因此可以考虑将原式变形后再展开.
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解法一: 3 +
C42 (3 )
2
C44 (3 )
0
1
1
2
4
1
4
= C40 (3 )
+ C43 (3 )
1
3
4
1
0
+ C41 (3 )3 ·
1
+
+
12
1
=81x +108x+54+ + 2.
2
解法二: 3 +
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4
3.在(x+ 3y) 的展开式中,系数为有理数的项共有
答案:6
20
项.
解析:∵Tr+1 =34 C
20-r r
x
y (r=0,1,2,…,20)的系数为有理数,
20
∴r=0,4,8,12,16,20,共 6 项.
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4.(1-x)4 ·(1- )3 的展开式中 x2 的系数是
解析:∵9192 =(90+1)92 =C92
92
92
91·90+1,该式前面各项均能被 100 整除,只有末尾两项不能被 100
C92
整除.
91
又由于C92
·90+1=8281=8200+81,
92
∴91 被 100 除余 81.
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2n+2
2.证明:3 -8n-9 是 64 的倍数.
2n+2
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2.二项展开式的通项
(a+b) 展开式中第 k+1 项 Tk+1 =Ca b (k∈{0,1,2,…,n})称为二
n
n-k k
项展开式的通项.
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预习交流
(1)二项展开式的特点有哪些?
提示:①项数:n+1 项;②指数:字母 a,b 的指数和为 n,字母 a 的指
数由 n 递减到 0,同时 b 的指数由 0 递增到 n;③通项公式 Tr+1 =C a b
2
解析:设含 x 的项是二项展开式中第 r+1 项,
则 Tr+1 =C6
=C6
1
2
6-
2
6-
· -
2
(-2)r x3-r.
令 3-r=2,得 r=1.
2
∴x
1
的系数为C61
2
5
3
8
(-2)=- .
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迁移与应用
1.(2012 天津高考,理 5)在
(
).
A.10
答案:D
B.-10
2 5-r
1.3 二项式定理
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1.3.1 二项式定理
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课 前预习导学
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目标导航
学习目标
重点、难点
1.能用计数原理证明
二项式定理.
2.能记住二项式定理和二
项展开式的通项公式.
3.能解决与二项式定理有
重点:掌握二项式定理和二项展开式
的通项公式,能求特定项和系数.
难点:解决与二项式定理有关的简单问题.
求解.
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三、二项式定理的应用(整除问题)
活动与探究 3
77
试判断 77 -1 能否被 19 整除.
77
77
思路分析:由于 76 是 19 的倍数,可将 77 转化为(76+1) 用二
项式定理展开.
77
77
解:77 -1=(76+1) -1
1 ·7676 +C 2 ·7675 +…+C 76·76+C 77-1
A.9
提示:B
(3)
1
2
项的系数为
B.10
7
C.11
)
D.12
的展开式中第 3 项的二项式系数为
,x 的次数为 5 的项为
,第 6
.
提示:21 -84 -448x5
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课 堂合作探究
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问题导学
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二、二项展开式中特定项、项的系数
活动与探究 2
6
1.若 - 2 展开式的常数项为 60,则常数a 的值为
.
思路分析:利用二项式定理的通项公式求出不含 x 的项即可.
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答案:4
6-r
解析:由二项式定理可知 Tr+1 =C6 x
- 2
(x )
Tr+1 =C10
2 10-r
令
∴第 9
5
20-2r=0,得
·
1
2
= C10
8
r=8,∴T9 =C10
·
5
20-2r
1
2
8
·
1
2
(r=0,1,…,10).
45
= 256 .
45
项为常数项,其值为25问题,实质是考查通项 Tk+1 =C a b 的
=C51
51
51
51
51·251 -1)以外各项都能被 7 整除,
易知除(C51
又 251 -1=(23 )17 -1=(7+1)17-1
0
1
16
17
=C17
·717 +C17
·716 +…+C17
·7+C17
-1
0 16
1 15
16
=7(C17
7 +C17
7 +…+C17
),
显然上式能被 7 整除,
证明:∵3
-8n-9
=9n+1 -8n-9=(8+1)n+1 -8n-9
n+1
=8
-1
+C1 +1 ·8 +…+C +1 ·8 +C+1 ·8+1-8n-9
n
2
-1
=8n+1 +C1 +1 ·8n +…+C+1
·82 +8(n+1)+1-8n-9
-1
=8n+1 +C1 +1 ·8n +…+C+1
=7677 +C77
77
77
77
1 7675 +C 2 7674 +…+C 76).
=76(7676 +C77
77
77
77
由于 76 能被 19 整除,因此 77 -1 能被 19 整除.
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迁移与应用
92
1.91 除以 100 的余数是
答案:81
.
0 ·9092 +C 1 ·9091 +…+C 90·902 +
1
4
=
(3+1)
2
4
1
=2 (81x4 +108x3 +54x2 +12x+1)
12
1
=81x2 +108x+54+ + 2 .
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迁移与应用
5
4
3
2
1.(x-1) +5(x-1) +10(x-1) +10(x-1) +5(x-1)=
.
答案:x5 -1
解析:原式
=C50 (x-1)5 +C51(x-1)4 +C52 (x-1)3 +C53(x-1)2 +C54 (x-1)+C55 -1=[(x-1)+1]5 -1=
∴5151 -1 能被 7 整除.
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2n+3
n+1
n+1
(2)3 -24n+37=3·9 -24n+37=3(8+1) -24n+37
=3(C0+18n+1 +C1 +1 8n +…+C+18+1)-24n+37
-24n+40
=3×64(C0 +1 8n-1 +C1+18n-2 +…+C-1
x5 -1.
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2.(2013 安徽合肥模拟)求
解法一:
C41 (
1
- 2
4
4
的展开式.
= C40 ( ) -
1
1
) ·2 + C42 ( )2 · 2
3
1
1
2
=x -2x+ 2 − 2 + 162 .
3
1
- 2
4
2
−
C43
1
2
3
1
+ C44 2
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4
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解法二:
1
2
4
=
2-1
2
4
1
4
(2x-1)
162
=
1
4
3
2
=162(16x -32x +24x -8x+1)
2
=x
3
1
1
-2x+ 2 − 2 + 162 .
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n
熟记二项式(a+b) 的展开式,是解决此类问题的关键,我们在解
较复杂的二项式问题时,可根据二项式的结构特征进行适当变形,简
=
C6 (-
6-3r
) x
,
令 6-3r=0,得 r=2,
∴T3 =C62 (- ) =60.
2
∴15a=60.∴a=4.
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2.在
15
A.- 4
2
-
2
6
2
的二项展开式中,x 的系数为(
B.
15
4
3
C.-8
)
3
D. 8
思路分析:利用二项展开式的通项公式求.
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答案:C
关的简单问题.
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预习导引
1.二项式定理
(a+b)n =C0 an +C1 an-1 b+…+C an-kbk+…+C bn (n∈N* )
(1)这个公式叫做二项式定理.
(2)展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n 的二项式的展开式,展
开式中一共有 n+1 项.
(3)二项式系数:各项的系数C (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
n-r r
指的是第 r+1 项,不是第 r 项;④某项的二项式系数与该项的系数不
是一个概念,C 叫做二项式系数,而某一项的系数是指此项中除字母
外的部分,如(1+2x)3 的二项展开式中第 3 项的二项式系数为C32 =3,
而该项的系数为C32 ·22 =12.
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n
(2)(x+1) 的展开式共有 11 项,则 n 等于(
)+24C
+1
+1
=64×3(C0 +1 8n-1 +C1+18n-2 +…+C-1
+1 )+64,
显然上式是 64 的倍数,故原式可被 64 整除.
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解析:Tr+1 =C5 (2x )
1
2 2 -
5
的二项展开式中,x 的系数为
C.40
1
-
D.-40
=(-1) 2 C5 x
r 5-r
10-3r
,
∴当 10-3r=1 时,r=3.
∴(-1) 2 C53 =-40.
3 5-3
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2.求二项式
2
+
1
2
10
的展开式中的常数项.
解:设第 r+1 项为常数项,则
·82
-1
=(8n-1 +C1 +1 ·8n-2 +…+C+1
)·64,
∴32n+2 -8n-9 是 64 的倍数.
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n
用二项式定理解决 a +b 整除(或余数)问题时,一般需要将底数
a 写成除数 m 的整数倍加上或减去 r(1≤r<m)的形式,利用二项展开
式求解.
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当堂检测
1.
.
答案:-6
解析:展开式中的 x2 项为C41·(-x)1 ·C32 ·(- )2 +C42 (-x)2C30 =-6x2 .
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51
5.求证:(1)51 -1 能被 7 整除;
2n+3
(2)3 -24n+37 能被 64 整除.
证明:(1)∵5151 -1=(49+2)51 -1
0 4951 +C 1 4950 ·2+…+C 50·49·250 +C 51·251 -1,
特点,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解,注意 k 的取
n-k k
值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项;
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为 0
建立方程;
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法
x .
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2.(2013 江西高考,理 5)
2
2 - 3
5
展开式中的常数项为(
)
A.80
B.-80
C.40
D.-40
答案:C
解析:展开式的通项为 Tr+1 =C5 x2(5-r)(-2)r x-3r =C5 (-2)r x10-5r .令 10-5r=0,
得 r=2,所以 T2+1 =C52 (-2)2 =40.故选 C.
1
16
的二项展开式中第 4 项是(
)
2 x
3 x
A. C16
B. C16
3 x10
4 x8
C.-C16
D.C16
答案:C
解析:展开式的通项公式为
12
10
Tr+1 =C16
·x
16-r
·
1
-
=(-1)r ·C16
·x16-2r ,
3
3 10
∴第 4 项为 T4 =(-1)3C16
·x10 =-C16
理起来比较复杂,因此可以考虑将原式变形后再展开.
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解法一: 3 +
C42 (3 )
2
C44 (3 )
0
1
1
2
4
1
4
= C40 (3 )
+ C43 (3 )
1
3
4
1
0
+ C41 (3 )3 ·
1
+
+
12
1
=81x +108x+54+ + 2.
2
解法二: 3 +
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4
3.在(x+ 3y) 的展开式中,系数为有理数的项共有
答案:6
20
项.
解析:∵Tr+1 =34 C
20-r r
x
y (r=0,1,2,…,20)的系数为有理数,
20
∴r=0,4,8,12,16,20,共 6 项.
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4.(1-x)4 ·(1- )3 的展开式中 x2 的系数是
解析:∵9192 =(90+1)92 =C92
92
92
91·90+1,该式前面各项均能被 100 整除,只有末尾两项不能被 100
C92
整除.
91
又由于C92
·90+1=8281=8200+81,
92
∴91 被 100 除余 81.
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2n+2
2.证明:3 -8n-9 是 64 的倍数.
2n+2
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2.二项展开式的通项
(a+b) 展开式中第 k+1 项 Tk+1 =Ca b (k∈{0,1,2,…,n})称为二
n
n-k k
项展开式的通项.
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预习交流
(1)二项展开式的特点有哪些?
提示:①项数:n+1 项;②指数:字母 a,b 的指数和为 n,字母 a 的指
数由 n 递减到 0,同时 b 的指数由 0 递增到 n;③通项公式 Tr+1 =C a b
2
解析:设含 x 的项是二项展开式中第 r+1 项,
则 Tr+1 =C6
=C6
1
2
6-
2
6-
· -
2
(-2)r x3-r.
令 3-r=2,得 r=1.
2
∴x
1
的系数为C61
2
5
3
8
(-2)=- .
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迁移与应用
1.(2012 天津高考,理 5)在
(
).
A.10
答案:D
B.-10
2 5-r
1.3 二项式定理
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1.3.1 二项式定理
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课 前预习导学
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目标导航
学习目标
重点、难点
1.能用计数原理证明
二项式定理.
2.能记住二项式定理和二
项展开式的通项公式.
3.能解决与二项式定理有
重点:掌握二项式定理和二项展开式
的通项公式,能求特定项和系数.
难点:解决与二项式定理有关的简单问题.
求解.
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三、二项式定理的应用(整除问题)
活动与探究 3
77
试判断 77 -1 能否被 19 整除.
77
77
思路分析:由于 76 是 19 的倍数,可将 77 转化为(76+1) 用二
项式定理展开.
77
77
解:77 -1=(76+1) -1
1 ·7676 +C 2 ·7675 +…+C 76·76+C 77-1
A.9
提示:B
(3)
1
2
项的系数为
B.10
7
C.11
)
D.12
的展开式中第 3 项的二项式系数为
,x 的次数为 5 的项为
,第 6
.
提示:21 -84 -448x5
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课 堂合作探究
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问题导学