导数知识点各种题型归纳方法总结

导数的基础知识
一．导数的定义：
2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； ③取极限得导数：00'()lim
x y
f x x
∆→∆=∆
（下面内容必记）
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①'0()C C =为常数；②1
()'n
n x nx -=；1
1()'()'n n n x nx x
---==-；1()'m m
n n m x x n -== ③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x x
a a a a a =>≠且；
⑦1(ln )'x x =； ⑧1
(log )'(0,1)ln a x a a x a
=>≠且
法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正
号) 法则3：2
()'()()()'()
[
]'(()0)()[()]
f x f x
g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：
①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =
题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知
()22sin f x x x π=+-，则()'0f =
2、若()sin x f x e x =，则()'f x = 3.
)(x f =ax 3+3x 2+2 ，
4)1(=-'f ，则a=（
）
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，
即有()0
0V f t '=。

＝s /
(t) 表示即时速度。

a=v /
(t) 表示加速度。

四．导数的几何意义：
函数
()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

于
是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线
()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。

相应的切线方程是：
()()000y y f x x x '-=-
（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。

例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
解析：（1）3)1x (36x 62x 3|'y k 2000x x 0++=++===当x 0=-1时，k 有最小值3， 此时P 的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0
五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，
（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；
注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或
递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数 )(x f y '='
(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号
(3)下结论
①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数)(x f y =单调区间的步骤为：
（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；
（2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或
减区间的子集。

注意：若函数f （x ）在（a ，c ）上为减函数，在（c ，b ）上为增函数，则x =c 两侧使函数f '（x ）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以'()0f c = 例题．若函数
x
x
x f ln )(=
，若)5(),4(),3(f c f b f a ===则( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
六、函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或
0()()f x f x >，则称0
()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。

②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一
定函数()f x 在该处取得极值（如3
()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。

③求极值的步骤： 第一步：求导数'()f x ；
第二步：求方程'()0f x =的所有实根；
第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化， 若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；
若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。

2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D 内存0x ，使得对任意的x D ∈，都有0()()f x f x ≤，（或
0()()f x f x ≥）则称0()f x 为函数的最大（小）值，记作max 0()y f x =（或min 0()y f x =）
②如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[,]a b 上必有最大值和最小值。

③求可导函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最值方法： 第一步；求()f x 在区间[,]a b 内的极值；
第二步：比较()f x 的极值与()f a 、()f b 的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点
可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。

极值≠最值。

函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。

最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。

如
1
()f x x x
=+
的极大值为2-，极小值为2。

注意：当x=x 0时，函数有极值⇒ f /
(x 0)＝0。

但是，f /
(x 0)＝0不能得到当x=x 0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。

题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数 '()f x 的符号 ()f x 单调性 '()f x 与x 轴的交点且交点两侧异号 ()f x 极值
'()f x 的增减性 ()f x 的每一点的切线斜率的变化趋势 （()f x 的图象的增减幅度） '()f x 的增 ()f x 的每一点的切线斜率增大（()f x 的图象的变化幅度快）
'()f x 减 ()f x 的每一点的切线斜率减小 （()f x 的图象的变化幅度慢）
例1. 已知f(x)=e x
-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；
（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：)(x f '=e x
-a.
（1）若a≤0，)(x f '=e x
-a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.
若a>0,e x
-a≥0,∴e x
≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.
∴e x
-a≥0，即a≤e x
在R 上恒成立.
∴a≤（e x
）min ，又∵e x
>0，∴a≤0.
（3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0
-a=0,∴a=1.
例2. 已知函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3
2
时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f(x)=x 3
+ax 2
+bx+c,得)(x f '=3x 2
+2ax+b,
当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x=
32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭
⎫
⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ② 由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.
（2）由（1）可得f(x)=x 3
+2x 2
-4x+5,∴)(x f '=3x 2
+4x-4,令)(x f '=0,得x=-2,x=3
2
.
当x 变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x -3 (-3,-2)
-2
1 y′ + 0 - 0 + y
8
单调递增
↗
13
单调递减 ↘
单调递增 ↗
4
∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.27
95 例3.当 0>x
，证明不等式
x x x
x
<+<+)1ln(1. 证明：x x
x x f +-+=1)1ln()(，x x x g -+=)1ln()(，则2
)
1()(x x x f +='， 当0>x 时。

)(x f ∴在()+∞,0内是增函数，)0()(f x f >∴，即01)1ln(>+-+x
x
x ，
又x
x
x g +-='1)(，当0>x 时，0)(<'x g ，)(x g ∴在()+∞,0内是减函数，)0()(g x g <∴，即
0)1ln(<-+x x ，因此，当0>x 时，不等式
x x x
x
<+<+)1ln(1成立. 点评：由题意构造出两个函数x
x
x x f +-+=1)1ln()(，x x x g -+=)1ln()(.
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
七定积分求值
1．定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()
1
()lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑⎰
2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间
[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求
和：1()n
i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1
()lim n b i a n i b a
f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰
3.曲边图形面积：()()0,b
a
f x S f x dx ≥=
⎰；()()0,b
a f x S f x dx <=-⎰
在x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程2
1
()t t S
v t dt =⎰； 变力做功 ()b
a W F r dr =⎰
4．定积分的性质
性质1
⎰⎰
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）
性质2 1212[()()]()()b
b b
a
a a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰
性质3
()()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）
5.定理 函数()F x 是[,]a b 上()f x 的一个原函数，即
()()f x F x '=则
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
导数各种题型方法总结
（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令0)('
=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，
432
3()1262
x mx x f x =--
（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足
2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，
则 2
()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法：
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3
()h x x x
=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”
则等价于当
2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立
变更主元法
再等价于2
()30F m mx x =-+>在
2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩
例2),10(32
R b a b x a ∈<<+-
],2不等式
()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）
()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）
令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）
∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=3a 时，)(x f 极大值=b.
（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 22
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤⎧⎨≥-⎩ 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =
01,a <<Q 12a a a a +>+=（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数. max min ()(2)2 1.
()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴
于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于
又,10<<a ∴.15
4
<≤a
点
评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数32
()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

解：（Ⅰ）/
2
()32f x x ax =+∴/(1)31f b a
⎧=-⎨=+⎩， 解得3
2a b =-⎧⎨=-⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]-
（Ⅲ）令2
()()()(1)3[1,4]2
t h x f x g x x t x x =-=-++-∈
思路1：要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2
(2)26t x x x -≥-分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
3a a
a 3a
例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(2
3++++=
． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数
)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
解：
)14()1(4
1)(2
++++=
'a x a x x f . （Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∴ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，34
1
)(2-='x x f ，
令0)(='x f ，解得：32±=x .
(－∞,－2
3)
－2
3
(－2
3,23)
2
3
(2
3,+∞)
+ 0 － 0 +
递增
极大值 递减
极小值
递增
可知：
()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f .
（Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，
∴2
1()(1)(41)04
f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法
则22
1(1)4(41)204
a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.
综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .
例5、已知函数
3211
()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =
+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若
()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

子集思想
（I ）2
()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++-
1、2
0,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立
当且仅当1x =-时取“=”号，()(,)f x -∞+∞在单调递增。

2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且
单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a --
（II ）当()[0,1],f x Q 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子
集：
1、0a =时，()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意
2、
[]()0,11,a ⊆-+∞，10a ∴-≤ 1a ∴≤
综上，a 的取值范围是[0，1]。

三、根的个数问题
提型一 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
a-1
-1
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3
1
)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．
（1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
解：（1）由题意x k x x f )1()(2
+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，
∴0)1()(2
>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）
即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k
（2）设3
12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，
①当1=k 时，0)1()(2
≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：
由于
02
1
<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2
<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<0
2212k k k ，解得31-<k 综上，所求k 的取值范围为31-<k
根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数
321
()22
f x ax x x c =+-+
（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；
（2）若2
1()2
g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的
图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =⇒= 2()32f x ax x '=+-， 又∵1x =-是()f x 的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=-
2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=
（2）设函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同
交点，
等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：
1
(1)(1)(1)2
f g d b -=-⇒=--
322111
2(1)222
x x x bx x b ∴+-=---整理得：
即：3
211
(1)(1)022
x
b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 （计算难点来了：）3211
()(1)(1)022
h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根，
则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：[]()21
(1)(1)(1)102
x x b x b x +-
+--+= 3211
(1)(1)022
x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根
等价于2
11(1)(1)022
x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。

题型二：切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数3
2
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为
(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取
值范围．
（1）由题意得：2
'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--< ∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-
∴4a b c ++=-①，
'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③ 由①②③联立得：169a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴32
()69f x x x x =-+-
（2）设切点Q (,())t f t ，,
()()()y f t f t x t -=-2
3
2
(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-
222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 32()221290g t t t t m =--+-=令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=， 求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->⎧⎨<⎩23129016122490m m --++->⎧⇒⎨--+-<⎩1611m m <⎧⇒⎨
>-⎩ 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-
题型三：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、
解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x )＝ 13x 3－72
x 2
＋10x ，
()f x '＝x 2－7x ＋10，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <. 令()0f x '< ， 解得25x <
<
可知函数f (x )的单调递增区间为(,2)-∞和（5，＋∞），单调递减区间为()2,5．
（Ⅱ）()f x '＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6,
要使函数y ＝f (x )在（1，＋∞）有两个极值点,()f x '⇒＝x 2
－(m ＋3)x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2
m m f m m m ⎧
⎪∆=+-+>⎪
'=-+++>⎨⎪+⎪>⎩， 解得m ＞3 例9、已知函数232
1
3)(x x a x f +=，)0,(≠∈a R a （1）求)
(x
f
的单调区间；（2）令()g x ＝
14
x 4
＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）)1()(2
'
+=+=ax x x ax x f
当0>a
时，令0)('>x f 解得01>-<x a x 或，令0)('<x f 解得01
<<-x a
，
所以)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞-
-∞Y a
，递减区间为)0,1
(a -.
当0<a
时，同理可得)(x f 的递增区间为)10(a -，，递减区间为),1
()0,(+∞--∞a
Y . （2）432
113)42(g a x x x x =++有且仅有3个极值点
⇒2
23(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则0x =或210x ax ++=，2a <-
方程2
10x ax ++=有两个非零实根，所以240,a ∆=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
其它例题：
（一）最值问题与主元变更法的例子.
已知定义在R 上的函数3
2
()2f x ax ax b =-+）
（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数
()f x 的解析式；
（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.
解：（Ⅰ）32'2
()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-Q
令'
()f x =0,得[]1240,2,13
x x ==∉-
因此
5,(1)(2)f f +∴>-，
即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）
（Ⅱ）∵x x x f 43)(2
-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ，
令x x xt t g 43)(2
-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，
为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0
05322x x x x ，
解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].
（二）根分布与线性规划例子
例：已知函数322()3
f x x ax bx c =+++
(Ⅰ) 若函数
()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求
)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平
面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程. 解： (Ⅰ). 由2
()22f x x ax b '=++, 函数
()f x 在1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵
()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行,
∴ (0)3f b '==- 故 1
2
a =
∴
32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0
220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-⎧⎨
=+⎩ ∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20
220460
x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC
ABED S S ∆=四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k
>, 1S =四边形DEGF
由 220y kx y x =⎧⎨++=⎩
得点F 的横坐标为: 221F x k =-+
由 460y kx y x =⎧⎨++=⎩
得点G 的横坐标为: 6
41G x k =-+
∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121
k k =⨯⨯-⨯+⨯=+即 216250k k +-=
解得: 12k
=
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 1
2
y x =
综上,所求直线方程为: 0x =或1
2
y
x =
.…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1x b y a =-⎧⎨
=+⎩
∴ 12a y b x =-⎧⎨=+⎩ ∴ 20
220460
x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC
ABED S S ∆=四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为:
1
2
y x =
, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12
220
y x y x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩ 得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ∆=, 111
2222
DEC
S ∆=⨯⨯=, 11222211
122
H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB
∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2
y x = （三）根的个数问题
例 已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。

（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为
3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。

解：由题知：2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =⎧⎨
++--=⎩⇒⎩⎨
⎧==0
3
c d （Ⅱ）依题意 ()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b a b a b +--=-⎧⎨
+--+=⎩ 解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x 3
– 6x 2
+ 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2
– ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0⇒b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒11
1
＜a ＜3
所以 当
11
1
＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。

………… 12分 （四）根的个数问题
例：已知函数
3
21()1()3
f x x ax x a R =
--+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间；
（2）若12a
<
，讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数． 解：（1）2
()21f'x x ax =--
0a ∴=………………………………………………………………………2分 令()0f x '>得1,1x x <->或 令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分
（2）由题()()f x g x =得32
21151(21)326
x ax x x a x --+=-++
即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤……………………6分
令()0x ϕ'=得2x a =或1x =……………………………………………7分
此时，9
802
a -->，0a <，有一个交点；…………………………9分
当22a ≥-即1
1a -<
<
时， 2(32)036
a a -+>Q
, ∴当9802a -->即9
116a -<<-时,有一个交点；
当98002a a --≤≤，且即9
016a -
≤≤时，有两个交点； 当102a <<时，9
802
a --<，有一个交点．………………………13分
综上可知，当916a <-
或1
02
a <<时，有一个交点； 当9
016
a -
≤≤时，有两个交点．…………………………………14分 （五）简单切线问题
已知函数23)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bx
g x f x a =-+．
（Ⅰ） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；
（Ⅱ） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42
x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．。