时域信号,复频域

第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
4.1.3 我们通过求常用函数的象函数， 掌
握单边拉氏变换的基本方法。 1. 单位阶跃函数u(t)
u(t) F (s) 1estdt 1 est 1
0
s 0s
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数）
d ds
1 s3
1 s3
t 3u(t )
d ds
1 s3
1 s4
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7. 若f(t)u(t) F(s)， 则
t f ( )du(t) f (1) (t)u(t)
0_
f ( )d F (s) f (1) (0 _) F (s)
s
s
s
s
(4.2-9)
j2 j
(4.1-6)
式中称s=σ+jω为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。
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j
0
图 4.1-1 复平面
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
象函数与原函数的关系还可以表示为
f (t) F(s)
L{ f
(t)}
F(s)
L1{ f (t)} f (t)
令 at x,t x , dt 1 dx ， 代入上式得 aa
L[ f (at)] 1
f
sx
(x)e a dx
1
F
s
a
a a
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5. 若f(t) F(s)， 则
df (t) sF (s) f (0 _) dt
式中, f(0-)是f(t)在t=0-时的值。 可以将式(4.2-6)推广到高阶导数
eatu(t) F (s) eatest dt e(sa)t dt
0
0
s
1
a
e(sa)t
|0
s
1 a
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3. t的正幂函数
f (t) tnu(t)
tnu(t) F (s)
t n e st dt
0
1 tnest s
|0
n s
t n 1e st dt
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0_
式中, f(-1)(t)表示积分运算，
f ( )d f (1) (0 _)
f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可 积条件。 则
F1( j)
f (t)eate jtdt
0
f (t)e( j )tdt F ( j )
0
(4.1-1)
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令σ+jω=s， 式（4.1-1）可表示为
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
4.1
4.1.1 1. 因果信号的傅氏正、
F( j)
f (t)e jtdt
0
f (t)
1
F ( j )e jtdt
2
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收 敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt， 使得 f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。 即有
d
r f (t) dt r
|t0 _
时的值。
证
L
df (t) dt
0_
df (t) estdt estdf (t)
dt
0_
est
f
(t) |0_
s
0_
f (t)estdt sF (s) f (0 _)
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同理,
令 df (t)
dt
f1(t) ，
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0＝ －a －a
j 收敛 区
0
j 0＝ 0
0
收敛 区
(a)
(b)
j 0＝a
0a
(c)
收敛 区
图 4.1-2 收敛区示意图
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当σ0<0时， 收敛区包含虚轴jω， 函数的傅氏变换 存在； 当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω， 函数的傅氏变 换不存在； 当σ0=0时， 收敛区虽不包含虚轴jω， 但函 数的傅氏变换存在， 不过有冲激项。 数的单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以不标明收 敛区。
2
F1(
j )e( j )td
1
2
F ( j )e( j )td
(4.1-4)
已知s=σ+jω， ds=d(σ+jω)， σ为常量，
ds=j dω， 代入式（4.1-4）且积分上、 下限也做相应改
变， 式(4.1-4)可写作
f (t) 1
j
F (s)ds
j2 j
(4.1-5)
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n n 12 1 1 s s sss
n! sn1
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特别地，
n 1 n2 n3
tu(t)
1 s2
t 2u(t)
2 s3
t 3u (t )
6 s4
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４. 冲激函数 (t)
(t) F (s) (t)estdt 1 0
F (s) f (t)estdt 0
(4.1-2)
F1(ω)的傅氏反变换为
f1(t)
f (t)et
1
2
F1( j )e jtd
(4.1-3)
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式（4.1-3）两边同乘eσt， eσt不是ω的函数， 可放 入积分号里， 由此得到
f (t) 1
(4.2-4)
f (t)es0testdt 0
0
f
(t)e j(ss0 )tdt
F(s
s0 )
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4. 若f(t) F(s),
f (at) 1 F (s / a) 其中a>0
a
(4.2-5)
证
L[ f (at)] f (at)estdt 0
(变换运算次序)Biblioteka 0f(t)
d ds
est dt
tf
(t )e st dt
L
f
(t)
0
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可以推广至复频域的高阶导数
tn
f
(t)
(1)n
d nF(s) dsn
利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数
u(t) 1 s
tu(t)
d ds
1 s
1 s2
t2u(t)
(4.2-1)
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证
k1 f1(t) k2 f2(t)
0
k1 f1(t) k2
f2 (t )
estdt
0
k1
f1 (t )e st dt
0
k2
f2
(t )e st dt
k1F1(s) k2F2 (s)
线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。 例如
(s)
L
d
n f (t) dt n
snF
(s)
式中, s为微分因子。
(4.2-8a) (4.2-8b)
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6. 若L ［f(t)］=F(s)， 则
tf (t) dF (s)
证
ds
(4.2-14)
dF (s) d f (t)estdt
ds
ds 0
因为e-σt的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶 函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的 因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一 起， 单边拉氏变换定义为
F (s) f (t)estdt 0
f (t) 1
j
F (s)estds
0
f
(t
t0 )estdt
令t-t0=x， t=x+t0，
f ( x)es( xt0 )dx est0 f ( x)esxdx F (s)est0
0
0
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3. 频率平移（s域） 若f(t) F(s), 则
f (t)es0t F (s s0 )
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2. 收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使 f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。 由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt的作用， 使得 f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有
lim f (t)est 0
t
( 0 )
(4.1-8)
sn F (s)
n1 r0
snr1 f (r) (0 _)
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特别地， 当f(t)为有始函数， 即t<0， f(t)=0时，
f(0-)=f′(0-)=…=f(n-1)(0-)=0 则式(4.2-6) 、 (4.2-7)可分别化简为
L
df (t) dt
sF
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以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， σ0<0， 例如单边指数信号 e-atu(t)（a>0）的σ0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.12(a)所示； f(t)是随时间不变的， σ0=0， 例如u(t)、 sinω0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t) 是随时间增长的， σ0>0， 例如eatu(t)（a>0）的σ0=a， 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。
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式中, σ0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿 过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的 右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦σ0确定， f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。
满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函 数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数 阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐 标σ0确定。 σ0的取值与f(t)有关， 具体数值由式(4.1-8) 计算。
0
即
n tn1estdt n L{tn1u(t)}
s0
s
L{tnu(t)} n L{tn1u(t)}
s
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依此类推，
L{tnu(t)} n L{tn1u(t)} n n 1 L{tn2u(t)}
s
ss
n n 1 2 1 L{tnnu(t)} s s ss
(t) F (s) (t)estdt 0 0
通常 (t) 的拉氏变换的下限都采用０－
P130表5-1
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
4.2 拉普拉斯变换的性质与定理
1. 若f1(t) F1(s)， f2(t) F2(s)，
k1f1(t)+k2f2(t) k1F1(s)+k2F2(s) k1, k2为任意常数
(4.1-7)
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， σ是实轴， jω是虚轴， 如图4.1-1所示。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
由以上分析， 并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关 系式， 以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本 信号元为est。 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比 傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函 数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。
cos tu (t )
1 2
(e
jt
e
jt
)u(t)
1 2
(
s
1
j
s
1
j
)
s2
s
2
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
2. 时延（移位、 延时） 若f(t)u(t) F(s)，
f(t-t0)u(t-t0) F (s)est0 证
(4.2-2)
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )estdt
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
第4章 连续时间信号和系统的复频域 表示与分析
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法 4.5 系统函数与复频域分析法 4.6 连续时间系统的模拟及信号流图 4.7 LTI连续系统的稳定性
(4.2-6)
d n f (t) dt n
snF(s)
sn1 f
(0 _)
sn2
f
(0 _)
f
n1(0 _)
n1
snF (s) snr1 f (r) (0 _)
r0
(4.2-7)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及
L
d
2f dt
(t
2
)
0_
d
2 f (t) dt 2
estdt
0_
df1(t) estdt dt
sF1(s) f1(0 _) ssF (s) f (0 _) f1(0 _)
s2F1(s) f1(0 _) f (0 _)
依此类推， 可以得到高阶导数的 L 变换
d n f (t) dt n