曲线运动经典专题复习-实用

曲线运动经典专题复习
-实用
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曲线运动专题
知识要点：
一、曲线运动三要点
1、条件：运动方向与所受合力不在同一直线上，
2、特点：
（1）速度一定是变化的——变速运动（2）加速度一定不为零，但加速度可能是变化的，也可能是不变的
3、研究方法——运动的合成与分解
二、运动的合成与分解
1、矢量运算：（注意方向）
2、特性：
（1）独立性
（2）同时性
（3）等效性
3、合运动轨迹的确定：
（1）两个分运动都是匀速直线运动
（2）两个分运动一个是匀速直线运动，另一个是匀变速直线运动
（3）两个分运动都是初速不为零的匀变速直线运动
（4）两个分运动都市初速为零的匀变速直线运动
三、平抛
1、平抛的性质：匀变速曲线运动（二维图解）
2、平抛的分解：
3、平抛的公式：
4、平抛的两个重要推论
5、平抛的轨迹
6、平抛实验中的重要应用
7、斜抛与平抛
8、等效平抛与类平抛
四、匀速圆周运动
1、运动性质：
2、公式：
3、圆周运动的动力学模型和临界问题
五、万有引力
1、万有引力定律的条件和应用
2、重力、重力加速度与万有引力
3、宇宙速度公式和意义
4、人造卫星、航天工程
5、地月系统和嫦娥工程
6、测天体的质量和密度
7、双星、黑洞、中子星
六、典型问题
1、小船过河
2、绳拉小船
3、平抛与斜面
4、等效的平抛
5、平抛与体育
6、皮带传动
7、表针问题
8、周期性与多解问题
6、转盘问题
7、圆锥摆
8、杆绳模型、圆轨道与圆管模型
9、卫星问题
10、测天体质量和密度
11、双星问题
一、绳拉小船问题
例：绳拉小船
汽车通过绳子拉小船，则（）
A、汽车匀速则小船一定匀速
B、汽车匀速则小船一定加速
C、汽车减速则小船一定匀速
D、小船匀速则汽车一定减速
练习1：如图，汽车拉着重物G，则
（）
A、汽车向左匀速，重物向上加速
B、汽车向左匀速，重物所受绳拉力小于重物重力
C、汽车向左匀速，重物的加速度逐渐减小
D、汽车向右匀速，重物向下减速
练习2：如左图，若已知物体A的速度大小为v A，求重物B的速度大小v B
练习3：如右图，若α角大于β角，则汽车A 的速度 汽车B 的速度
练习4：如图，竖直平面内放一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分个套有质量分别为m A =2.0kg 和m B =1.0kg 的小球A 和B ，A 小球与水平杆的动摩擦因数μ=，AB 间用不可伸长的轻绳相连，图示位置处OA=1.5m ，OB=2.0m ，取g=10m/s 2，若用水平力F 沿杆向右拉A ，使B 以1m/s 的速度上升，则在B 经过图示位置上升0.5m 的过程中，拉力F 做了多少功
练习5：如图，A 、B 、C 三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体A 、B 的速度向下，大小均为v ，则物体C 的速度大小为（ ） A 、2vcos θ B 、vcos θ C 、2v/cos θ
D 、v/cos θ
练习6：一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向
运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度大小为 。

练习8：一端用铰链连接于天花板的木棒在倾角为θ的斜面的作用下转动，斜面速度大小恒定为v ，方向水平向右，某时刻棒与竖直方向的夹角为φ，此时棒端点P 的速度为 。

二、小船过河问题 例：小船匀速横渡一条小河，问，怎样过河时间最短怎样过河，过河位移最短
练习1：在小船下游40m 处有危险区域，河宽30m ，河速5m/s ，若小船过河时不进入危险区域，小船在静水中的最小速度应是多大航行时船头指向什么方向
练习2：小船匀速横渡一条小河，当船头垂直于河岸航线时，出发10min 到达对岸下游120m 处。

若船头保持与河岸成α角航行，在出发后到达正对岸，求： （1）水流速度
（2）船在静水中的速度 （3）河的宽度
（4）船头与河岸的夹角α
v
θ
P φ α A
B
β
v B
v A θ A
B B
A
R θ
O
P V 0 V 1
v v
v 1
d v
v
v 1 d v
v 2 v 1 d θ
θ
C A B
θ θ
练习3甲船对静水的速度为v 1，以最短时间过河，乙船对静水的速度为v 2，以最短位移过河，结果两船运动轨迹重合，水速恒定不变，则两船过河时间之比为（ ） A 、v 1/v 2 B 、v 2/v 1 C 、(v 1/v 2)2 D 、(v 2/v 1)2 三、平抛与斜面
例：求下面三种情况下平抛时间（思考斜面提供了什么已知条件）
（1）以v 0平抛的物体垂直落在对面倾角为θ的斜面上
（2）从倾角θ为的斜面顶端以v 0平抛的物体落在斜面上
（2）从倾角θ为的斜面顶端以v 0平抛的物体离斜面最远时
练习1：（2010全国理综1）如左图一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。

小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）
A ．1tan θ
B ．12tan θ
C ．tan θ
D ．2tan θ
练习2：（2008全国理综1）如图，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端平抛后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角α满足（ ）
A 、tan α=sin θ
B 、tan α=cos θ
C 、tan α=tan θ
D 、tan α=2tan θ
练习3：如右图物体从倾角θ为的斜面顶端以v 0平抛，求物体距斜面的最大距离 多种解法：①反向延长线交于中点 ②沿斜面正交分解 ③利用相似三角形
练习4如图物体从倾角θ为的斜面顶端以v 0平抛，从抛出到离斜面最远所用的时间为t 1，沿斜面位移为s 1，从离斜面最远到落到斜面所用时间为t 2，沿斜面位移为s 2，则( )
A 、t 1 =t 2
B 、t 1<t 2
C 、s 1=s 2
D 、s 1<s 2 练习5：如图，一架在2000m 高空以
200m/s 的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A 和B ，已知山高720m ，山脚与山顶的水平距离为1000m ，若不计空气阻力，取g=10m.s2，投弹的时间间隔为（ ） A 、4s B 、5s C 、9s D 、16s
练习6：光滑斜面顶端同时有两个小球开始运动，甲球做平抛运动，乙球由静止开始沿斜面下滑，当甲球落在斜面上P 点时，乙球（ ） A 、还没到达p 点
B 、正好到达p 点
C 、已经经过p 点
D 、无法确定
（思考：若要在斜面上相遇，乙球应采取怎样的具体措施）
四、等效平抛、类平抛
练习1：如左图，光滑斜面长为l 1，宽为l 2，倾角为θ，一物体从斜面左上方P 点水平射入，从斜面右下方Q 点离开斜面，求入射速度
练习2：如
θ α
θ 1000
720m
2000
A
B P
Q
l 1
l 2
θ
θ
P A B
C
D
图，一小球沿内壁光滑的薄壁圆筒的顶端沿直径方向水平抛出，圆筒筒壁竖直固定在水平面上，已知圆筒直径和筒的高度，小球与筒壁发生两次弹性碰撞后落在圆筒的地面圆的圆心，求小球的水平初速
练习3：如右图，小球从水平地面A点以v1斜抛到竖直墙壁时速度v2恰好与墙壁垂直，已知抛出点到墙的距离为L，球与竖
直墙的碰撞点与地面的高度为h，求v1和v2。

五、平抛与体育
练习：排球场总长18m，网高2.25m，设对方飞来的球刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回，假设排球被击回的初速度方向水平，认为排球做平抛运动（g=10m/s2）
（1）若击球的高度为h=2.5m，球被击回时既不触网也不出底线，则球的水平在什么速度范围内
（2）若运动员仍从3m线正上方击球，击球的高度h满足什么条件时会出现无论球的水平初速是多大都会触网或越界
六、皮带传动
练习1如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

练习2：如图为磁带录音机主动轮、被动轮示意图，倒带时，A为主动轮，其转速恒定，倒完一盘磁带的时间为t，则从开始到两轮角速度相等时经历的时间（）
A、等于t/2
B、大于t/2
C、小于t/2
D、无法确定
七、圆周运动的动力学模型和临界问题
1、转盘问题
练习1：如图所示，一圆盘可绕一通过圆心O且垂直盘面的竖直轴转动。

在圆盘上放置一与圆盘的动摩擦因数为μ，距圆心O为R的木块，随圆盘一起作匀速转动，求转盘的最大角速度
练习2：物体m用线通过光滑的小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，物体与圆盘间的动摩擦因数为μ，圆周半径为r，求圆盘转动的角速度范围
2、圆周摆、火车拐弯和漏斗
练习1：两个质量不同的小球，被长度不等的细线悬挂在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动，如图所示。

则两个小球的（）
A v1
θ
v2
B
a
b
c
d
A
A 、运动周期相等
B 、运动线速度相等
C
练习2：一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定。

有质量相等的两个小球A 、B ，分别沿着筒的内壁在水平面内作匀速圆周运动。

如图所示。

A 的运动半径较大，则（ ）
A 、A 球的角速度必小于
B 球的角速度 B 、A 球的线速度必小于B 球的线速度
C 、A 球的运动周期必大于B 球的运动周期
D 、A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
练习3：火车拐弯
3、拱桥和凹地模型
练习1：半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体m 如图所示，今给小物体一个水平初速度gR v =0，则物体将：（ ）
A 、沿球面滑至M 点；
B 、先沿球面滑至某点N 再离开球面做斜下抛运动；
C 、按半径大于R 的新圆弧轨道运动；
D 、立即离开半圆球作平抛运动．
练习2：半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上，O 为半圆柱圆心，顶部P 点有一小物体m ，如图所示，今给小物体一个向
右的非常小的速度，当物体滑到Q 点离开半圆柱，求POQ 之间的角度的三角函数值。

（）
4、绳模型和杆模型
练习1在长绳的一端系一个质量为m 的小球，绳的长度为L ，用绳拉着小球在竖直面内做圆周运动。

若小球恰能通过最高点，则在最高点的速度为 ；若绳能够承受的最大拉力为7mg ，则小球到达最低点速度的不得超过 。

练习2：细杆的一端与
一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆的长度为L 。

现给
小球一初速度，使它做
圆周运动， a 、b 分别表示小球轨道的最高点和
最低点，则在a 点，当
v gL ，（填“大于” “等于”或“小于”），杆对球没有作用力。

当v gL ，杆对球的作用力为 ；（填“拉力”或“推力”）当v gL ，杆对球的作用力为 ；在b 点，杆对球的作用力为 。

练习3在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为
m 的重物，重物到轴的距离为R ，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动
机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ） A ．
g mR
m
M ⋅+ B ．
g mR m M ⋅+ A B
θ P
O
Q
R
a
b
O L
C ．
g mR
m
M ⋅- D ．
mR
Mg
5、圆轨道和圆管模型
练习1：如图过山车模型，小球从h 高处由静止开始滑下，若小球经过光滑轨道上最高点不掉下来， 求h 的最小值
练习2：如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。

列车全长为L
，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度h 和长度l ，但L>2πR ）.
已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。

试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V 0，才能使列车通过圆形轨道
练习3：如图，
倾斜轨道AC 与
有缺口的圆轨道BC 相切于C ，圆轨道半径为R ，
两轨道在同一竖
直平面内，D 是圆轨道的最高点，缺口DB 所对的圆心角为90°，把一个小球从倾斜轨道上某处由静止释放，它下滑到C 点后便进入圆轨道，要想使它上升到D 点后再落到B 点，不计摩擦，则下面说法正确的是( )
A 、释放点须与D 点等高
B 、释放点须比D 点高R/4
C 、释放点须比
D 点高R/2
D 、使小球经D 点后再落到B 点时不可能的
十、人造卫星 1、宇宙速度
（1）第一宇宙速度的公式和含义：最小发射速度和最大圆轨道速度
（2）第二宇宙速度的公式和含义：挣脱地球引力束缚的最小发射速度和黑洞判断条件
（3）第三宇宙速度的公式和含义：挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 2、人造卫星的三个常用公式
练习1：同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则a 1：a 2= ， v 1：v 2= 。

练习2：根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。

可测出环中各层的线速度V 与该层到土星中心的距离R 之间的关系。

下列判断正确的是：()
A 、若V 与R 成正比，则环为连续物；
B 、若V 2与R 成正比，则环为小卫星群；
C 、若V 与R 成反比，则环为连续物；
D 、若V 2与R 成反比，则环为小卫星群。

3、卫星的变轨 （1）速度关系：
（2）能量关系：小圆变大圆：机械能增加，引力势能增加，动能减少。

（3）运动关系：小圆变大圆：半径增大，周期增大，速度减小。

练习1：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图11所示。

则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：()
A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。

练习2：某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a,远地点离行星中心的距离为b,若卫星在近地点的速率为V a ,则卫星在远地点时的速率V b 多少
a b V b
a V。