2019-2020学年深圳市南山区七年级下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年深圳市南山区七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列运算正确的是()
A. (a2)3=a5
B. a2⋅a3=a5
C. a2+a3=a5
D. a6÷a2=a3
2.阳泉市郊区教科局提出开展“三有课堂”，某中学在一节体现“三
有课堂”公开展示课上，李老师展示一幅图，条件是：C为直线AB
上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，
各个小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余②∠FCG
与∠HCG互补③∠ECF与∠GCH互补④∠ACD−∠BCE=90°，聪明的你认为哪些组的结论是正确的，正确的有()个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.目前，随着制造技术的不断发展，手机芯片制造即将进入7nm(纳米)制程时代．已知1nm=
0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为()
A. 70×10−10m
B. 7×10−9m
C. 0.7×10−8m
D. 0.07×10−7m
4.如图，已知AB//CD，直线MN分别交AB、CD于点M、N，NG平分∠MND，若∠1=70°，则∠2的
度数为()
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 35°
5.如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他
选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是()
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短
D. 经过一点有无数条直线
6.数字0.0000036用科学记数法表示为()
A. 3.6×10−5
B. 3.6×10−6
C. 36×10−6
D. 0.36×10−5
7.不等式−2x≥8的解集在数轴上表示正确的是()
A. B.
C. D.
8.若a>b，则下列不等式一定成立的是()
A. a+1>b+1
B. a
2<b
2
C. −2a>−2b
D. a+c<b+c
9.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行：②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④相
等的角是对项角．它们的逆命题是真命题的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，梯形ABCD中，AD//BC，E、F两点分别在AB、AD上，
CE与BF相交于G点．若∠EBG=25°，∠GCB=20°，∠AEG=95°，
则∠A的度数为何？()
A. 95
B. 100
C. 105
D. 110
11.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若
矩形的面积为16√3，AE=B′D，∠EFB=60°，则线段DE的长是()
A. 4√3
B. 5
C. 6
D. 6√3
12.用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的
黑色五角星的个数是()
A. 18
B. 19
C. 21
D. 22
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若代数式4a 2+2ka +9是完全平方式，则k 的值为______ ．
14. 两直线平行，一组同位角的角平分线的位置关系是______ ．
15. 计算(2ab)3÷(4a 2b)(14ab)=______．
16. 如图：(1)阴影部分的周长是： ；(2)阴影部分的面积是： ．
17. 如图所示，甲、乙两车在某时间段内速度随时间变化的图象．下列结论：
①甲的速度始终保持不变；
②乙车第12秒时的速度为32米/秒；
③乙车前4秒行驶的总路程为48米．
其中正确的是______.(填序号)
18. 如图，将一个长方形的纸条按如图所示方法折叠一次，则∠1=______°.
三、解答题（本大题共6小题，共66.0分）
19. 计算：
(1)(x +2y)2−(x +y)(x −y)
(2)(2a −1a +2+a −4)÷a 2−6a +9a +2
20.计算
(1)(2x2y)2⋅(−7xy2)÷(14x4y3).
)−2−(3.14−π)0．
(2)(−1)2010+(1
3
(3)(x−3y)(3y+x)−(x−3y)2．
(4)2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1(简便运算)．
21.如图，已知点D为△ABC的边AB上一点，请在边AC上确定一
点E，使得S△BCD=S△BCE(要求：尺规作图、保留作图痕迹、不
写作法)．
22.某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品
投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克(两项选一项)，每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．
(1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收
入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x 的取值范围．
(2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大
收益．
23.在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，
加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：
(1)如图①边长为(x+3)的正方形纸片，剪去一个边长为x的正方形之后，剩余部分可拼剪成一
个长方形(不重叠无缝隙)，则这个长方形的面积为______(用含x的式子表示)．
(2)如果你有5张边长为a的正方形纸，4张长、宽分别为a、b(a>b)的长方形纸片，3张边长
为b正方形纸片．现从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(不重叠无缝隙)，则拼成的正方形的边长最长可以为______
A.a+b；
B.a+2b；
C.a+3b；
D.2a+b．
(3)1个大正方形和4个大小完全相同的小正方形按图②③两种方式摆放，求图③中，大正方形
中未被4个小正方形覆盖部分的面积．(用含m、n的代数式表示)
24.互余的两个角的度数之比为3：7，则这两个角的度数分别是多少？
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：A、应为(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；
B、a2⋅a3=a5，正确；
C、a2与a3不是同类项的不能合并，故本选项错误；
D、应为a6÷a2=a6−2=a4，故本选项错误．
故选：B．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查幂的乘方的性质，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
2.答案：C
解析：解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，
∴∠ACF=∠FCD=1
2∠ACD，∠DCH=∠HCB=1
2
∠DCB，∠BCG=∠FCD=1
2
∠ACD，
∵∠AOB=180°，∠DCE=90°，
∴∠FCH=90°，∠HCG=45°，∠FCG=135°
∴∠ACF+∠BCH=90°，∠FCG+∠HCG=180°，故①②正确，
∵∠ECF=∠DCE+∠FCD=90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH=90°，
∴∠ECF+∠DCH=180°，
∵∠HCG≠∠DCH，
∴∠ECF与∠GCH不互补，故③错误，
∵∠ACD−∠BCE=180°−∠DOB−∠BCE=90°，故④正确．
故选：C．
根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．
本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
解析：解：∵1nm=0.000000001m，
∴7nm=7×10−9m.
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.答案：D
解析：解：∵AB//CD，∠1=70°，
∴∠MND=∠1=70°，
∵NG平分∠MND，
∠MND=35°，
∴∠3=1
2
∵AB//CD，
∴∠2=∠3=35°．
故选：D．
先利用两直线平行，同位角相等求出∠MND，再根据角平分线定义和两直线平行，内错角相等即可求出∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握几何概念是解题的关键．
5.答案：B
解析：解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
根据垂线段的性质解答即可．
此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两垂直线段最短．
解析：解：0.0000036=3.6×10−6，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7.答案：C
解析：
本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.根据不等式的性质两边都除以−2即可得．
解：两边都除以−2，
得：x≤−4，
故选C．
8.答案：A
解析：解：A、a>b，由不等式的性质1可知：a+1>b+1，故A正确；
B、a>b，由不等式的性质2可知：a
2>b
2
，故B错误；
C、a>b，由不等式的性质3可知：−2a<−2b，故C错误；
D、a>b，由不等式的性质1可知：a+c>b+c，故D错误．
故选：A．
A、由不等式的性质1可判断A；
B、由不等式的性质2可判断B；
C、由不等式的性质3可判断C；
D、由不等式的性质1可判断D．
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
解析：
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了逆命题，属于基础题．
先写出四个命题的逆命题，然后分别根据平行线的性质、全等三角形的判定、直角的定义和对顶角的定义进行判断．
解：同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题；
全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；
直角都相等的逆命题为相等的角为直角，此逆命题为假命题；
相等的角是对项角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命题．
故选B．
10.答案：C
解析：解：∵∠AEG=∠ABC+∠GCB，
∴∠ABC=∠AEG−∠GCB=95°−20°=75°，
∵AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°−75°=105°；
故选：C．
先由三角形的外角性质求出∠ABC=75°，再由梯形的性质得出∠A+∠ABC=180°，即可求出∠A的度数．
本题考查了梯形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握梯形的性质，由三角形的外角性质求出∠ABC的度数是解决问题的关键．
11.答案：C
解析：
此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
根据题意易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，A′B′=√3A′E=√3AE，结合矩形面积以及AE=B′D，可求出AE，AD的长，继而求得答案．
解：在矩形ABCD中，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°，
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°−60°=30°，
∴B′E=2A′E，A′B′=√3A′E=√3AE，
∵矩形的面积为16√3，AE=B′D，
则AD=4AE，AB=√3AE，
则AD·AB=4√3AE2=16√3，
∴AE=2，AD=8，
∵AD=AE+DE=8，AE=2，
∴DE=6，
故选C．
12.答案：C
解析：解析：
试题分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律，再把13代入即可求出答案．
当n为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有n+12，故共有3(n+12)个，
当n为偶数时，中间一行有n2+1个，故共有3n2+1个，
则当n=13时，共有3×(13+12)=21；
故选C．
考点：1.规律型：2.图形的变化类．
13.答案：±6
解析：解：∵4a2+2ka+9=(2a)2+2ka+32，
∴2ka=±2×2a×3，
解得k=±6．
故答案为：±6．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.答案：相互平行
解析：解：一组同位角的角平分线的位置关系是相互平行．
根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，那么每个同位角的角平分线平分的角也相等，且也形成一组关于两个角平分线的同位角．即一组同位角的角平分线的位置关系是相互平行．
本题考查平行线的性质以及角平分线的性质和平行线的判定定理．
15.答案：1
2
a2b3
解析：解：原式=8a3b3÷(4a2b)×1
4
ab
=2ab2×1
4 ab
=1
2
a2b3，
故答案为：1
2
a2b3．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．16.答案：(1)4x+6y；(2)3.5xy。

解析：(1)将各段相加可得出周长；
(2)先计算整个长方形的面积，然后减去空白的面积即可。

(1)阴影部分的周长为：2x+2x+2y+2y+2y=4x+6y；
(2)阴影部分的面积是：2x×2y−(2x−x−0.5x)y=4xy−0.5xy=3.5xy。

故答案为：(1)4x+6y；(2)3.5xy。

17.答案：②③
解析：解：由图象可知，
甲的速度逐渐增大，故①说法错误；
乙车第12秒时的速度为32米/秒，故②说法正确；
乙车前4秒行驶的总路程为：12×4=48(米)，故③说法正确．
故答案为：②③．
由图象可知，甲的速度逐渐增大；根据图象可知，乙车第12秒时的速度为32米/秒；根据“路程=速度×时间”即可得出乙车前4秒行驶的总路程．
此题考查了函数的图象，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．
18.答案：65
解析：解：
根据题意得∠DMN=∠ANM，即2∠1=130°，
解得：∠1=65°．
故答案为：65．
根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解即可．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
19.答案：解：(1)原式=x2+4xy+4y2−x2+y2=4xy+5y2；
(2)原式=2a−1+(a−4)(a+2)
a+2⋅a+2
(a−3)2
=(a+3)(a−3)
a+2
⋅a+2
(a−3)2
=a+3
a−3
．
解析：(1)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到
结果．
此题考查了分式的混合运算，完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
20.答案：解：(1)原式=−28x5y4÷(14x4y3)
=−2xy；
(2)原式=1+9−1
=9；
(3)原式=9y2−x2−x2+6xy−9y2
=6xy−2x2
(4)原式=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(38−1)(38+1)(316+1)(332+1)+1
=(316−1)(316+1)(332+1)+1
=(332−1)(332+1)+1
=364−1+1
=364．
解析：(1)根据积的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可；
(2)根据零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可；
(3)根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可；
(4)利用平方差公式进行计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．
21.答案：解：如图，点E即为所求．
解析：过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求．
本题考查作图−复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.答案：解：(1)y1=(100−x)×4×30=−120x+12000，
y2=[30x−(100−x)×4×2]×3=114x−2400，
∵{12000−120x≥0 114x−2400≥0
x为整数
，
∴400
19
≤x≤100且x为整数．
(2)设每天的收入为w元，
w=y1+y2=−120x+12000+114x−2400=−6x+9600，
∵k=−6<0，
w随x的增大而减小，
∴x=22时，w有最小值，最小值为9468元．
解析：(1)根据题意构建一次函数y1、y2，构建不等式求出自变量的取值范围即可；
(2)设每天的收入为w元，则有w=y1+y2=−120x+12000+114x−2400=−6x+9600，因为k=−6<0，所以w随x的增大而减小，推出x=22时，w有最小值，由此即可解决问题；
本题考查一次函数的应用，不等式组等整数，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值值问题，属于中考常考题型．
23.答案：6x+9 D
解析：解：(1)则这个长方形的面积是(x+3)2−x2=6x+9，
故答案为：6x+9；
(2)5张边长为a的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为a、b的矩形纸片的面积是4ab，
3张边长为b的正方形纸片的面积是3b2，
∵4a2+4ab+b2=(2a+b)2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为2a+b，
故选：D．
(3)设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，由图②知，2x+y=m，
由图③知，y−2x=n，
∴x=1
4(m−n)，y=1
2
(m+n)，
∴③的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=(m+n
2)2−4×(m−n
4
)2=mn．
(1)两个正方形的面积差就是长方形的面积；
(2)根据5张边长为a的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为a、b(a>b)的矩形纸片的面积是4ab，3张边长为b的正方形纸片的面积是3b2，得出4a2+4ab+42=(2a+b)2，再根据正方形的面积公式即可得出答案；
(3)利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．
此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键．
24.答案：解：设这两个角的度数分别为3x°，7x°，
由题意得，3x+7x=90，
解得：x=9，
则3x=27，7x=63，
即这两角的度数为27°，63°．
解析：设这两个角的度数分别为3x°，7x°，根据互余两角之和为90°列出方程，求出x的值，继而可求得这两角的度数．
本题考查了余角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，属于基础题．。