2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学理
2015年高考数学(理)试题(重庆题)含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（）（A）A＝B （B）A B =∅∩（C）A BÜ（D）B A Ü（2）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝（）（A）－1（B）0（C）1（D）6（3）重庆市2013年各月的平均气温（ºC）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）（A）19（B）20（C）21.5（D）23（4）“1x >”是“1log (2)0x +<的”（）（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）13π+（2）23π+（3）123π+（4）223π+（6）若非零向量a，b满足a =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（）（A）4π（B）2π（C）34π（D）π（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是（）（A）3s ≤（B）5s ≤（C）1112s ≤（D）2524s ≤（8）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C：224210x y x y +--+=的对称轴，过点A（-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B，则AB ＝（）（A）2（B）（C）6（D）（9）若tan 2tan 5πα=，则3cos(10sin()5παπα--＝（）（A）1（B）2（C）3（D）410、设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F，右顶点为A，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B、C 两点，过B、C 分别作AC、AB 的垂线，两垂线交于点D。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题 (文科)解析版
2 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}，则 A B = （ ）(A) {2} (B) {1, 2} (C) {1, 3} (D) {1, 2, 3}【答案】C考点：集合的运算.2. “ x = 1”是“ x 2- 2x +1 = 0 ”的（ ） (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由“ x = 1 ”显然能推出“ x 2- 2x +1 = 0”，故条件是充分的；又由 “ x 2- 2x +1 = 0”可得(x - 1)2= 0 ⇒ x = 1，所以条件也是必要的； 故选 A.考点：充要条件.3. 函数 f (x) = log (x 2+ 2 x - 3) 的定义域是（ ）(A) [-3,1](C) (-∞, -3] [1, +∞) 【答案】D(B) (-3,1)(D) (-∞, -3) (1, +∞) 【解析】试题分析：由 x 2+ 2x - 3 > 0 ⇒ (x + 3)(x - 1) > 0 解得 x < -3 或 x > 1； 故选 D.考点：函数的定义域与二次不等式.4. 重庆市 2013 年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是（ ） (A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23【答案】B考点：茎叶图与中位数.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 1 + 2π(B)13π (C)7π (D)5π3【答案】B 【解析】632试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为 1，高也为 1；构成的一个组合体，故其体积为π⨯12 ⨯ 2 + 1 ⨯π⨯12 ⨯1 =13π；66故选 B.考点：三视图.6. 若 tan a = 1 , tan(a + b ) = 1,则 tan b = （ ）32(A)17【答案】A 【解析】(B)1 6(C)5 7(D)5 61 -1 试题分析： tan b = tan[(a + b ) - a ] = tan(a + b ) - tan a = 23 = 1 ；1 + tan(a + b ) tan a 1 + 1 ⨯ 1 72 3故选 A.考点：正切差角公式.7. 已知非零向量满足，且 ⊥ (2 则b 的夹角为（ ）π(A)3【答案】Ca ,b π (B)2|b |=4|a | (C)a a +b ) a 与2π 5π(D)36考点：向量的数量积运算及向量的夹角.8. 执行如图（8）所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）(A)34【答案】D(B)5 6(C)11 12(D)25 24考点：程序框图.± ⎩x 2 y 29. 设双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 A 1 , A 2 ,过 F 做A 1A 2 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若 A 1B ⊥ A 2 C ,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 1 2 (B) ± 2 2(C) ±1 (D) ± 2【答案】C【解析】考点：双曲线的几何性质.⎧ x + y - 2 ≤ 0 10. 若不等式组 ⎪x + 2 y - 2 ≥ 0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 4 ，则 m 的值为（ ）⎨⎪x - y + 2m ≥ 0 3(A)-3 (B) 1(C) 43(D)3【答案】B 【解析】试题分析：如图，⎩；⎧ x + y - 2 ≤ 0由于不等式组 ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 ,表示的平面区域为三角形 ABC ，且其面积等于 4 ，⎨⎪x - y + 2m ≥ 0 3再注意到直线 AB ：x+y-2=0 与直线 BC:x-y+2m=0 互相垂直，所以三角形 ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m,m+1）,C( 2 - 4m ,2m + 2);33112m + 2 4 从而 S ∆ABC =2 2 + 2m ⋅ m +1 - 22 + 2m ⋅ 3= 3，化简得： (m +1)2 = 4，解得 m=-3,或 m=1；检验知当 m=-3 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以 m=1; 故选 B.考点：线性规划.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．复数(1+ 2 i ) i 的实部为 .【答案】-2考点：复数运算.12. 若点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 .【答案】x+2y-5=0 【解析】试题分析：由点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为： x 2+ y 2= 5，所以该圆在点 P 处的切线方程为1⨯ x + 2 ⨯ y = 5即 x+2y-5=0； 故填：x+2y-5=0. 考点：圆的切线.⎩13. 设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a , b , c ,且 a = 2, cos C = - 1, 3sin A = 2sin B ,4则 c= . 【答案】4 【解析】试题分析：由3sin A = 2sin B 及正弦定理知：3a=2b,又因为 a=2,所以 b=3；由余弦定理得： c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C = 4 + 9 - 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ (- 1) = 16 ，所以 c=4;4故填：4.考点：正弦定理与余弦定理.14. 设 a , b > 0, a + b = 5,则 a +1+ 的最大值为.考点：基本不等式.15. 在区间[0, 5]上随机地选择一个数 p ，则方程 x 2+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的概率为 .2 【答案】 3【解析】⎧∆ = 4 p 2- 4(3 p - 2) ≥ 0 试题分析：方程 x 2+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是⎪ x + x = -2 p < 0⎨ 1 22 <≤p ≥orp 1,,23 ⎪ x 1 x 2 = 3 p - 2 > 0即 ；又因为 p ∈[0, 5] ，所以使方程 x 2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的(1- 2) + (5 - 2)2 p 的取值范围为( ,1] [2, 5]，故所求的概率= 2 ； 32故填： .35 - 0 3 考点：复数运算.【答案】3 2b +3 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(重庆卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆文科数学数学试题卷(文史类)共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015重庆,文1)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A ∩B=( ) A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3} 答案:C解析:因为A={1,2,3},B={1,3},所以A ∩B={1,3}. 2.(2015重庆,文2)“x=1”是“x 2-2x+1=0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:当x=1时,x 2-2x+1=12-2×1+1=0;当x 2-2x+1=0时,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”是“x 2-2x+1=0”的充要条件. 3.(2015重庆,文3)函数f (x )=log 2(x 2+2x-3)的定义域是 ( ) A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 答案:D解析:要使函数有意义,应满足x 2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞). 4.(2015重庆,文4)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5D.23答案:B解析:由茎叶图知,这组数据的中位数是20+202=20. 5.(2015重庆,文5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+2π B.13π6 C.7π3D.5π2答案:B解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积V 1=13π·12·1·12=π6;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V 2=π·12·2=2π,故该几何体的体积为V=V 1+V 2=π6+2π=13π6.6.(2015重庆,文6)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β= ( )A.17B.16C.57D.56答案:A解析:tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tan (α+β)tanα=12-131+12×13=17.7.(2015重庆,文7)已知非零向量a ,b 满足|b |=4|a |,且a ⊥(2a+b ),则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π6答案:C解析:因为a ⊥(2a+b ),所以a ·(2a+b )=0,即2|a|2+a ·b=0.设a 与b 的夹角为θ,则有2|a |2+|a ||b |cos θ=0.又|b |=4|a |,所以2|a |2+4|a |2cos θ=0,则cos θ=-12,从而θ=2π3.8.(2015重庆,文8)执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A.34B.56C.1112D.2524答案:D解析:由程序框图可知,输出的s=12+14+16+18=2524,所以输出结果为2524. 9.(2015重庆,文9)设双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ,C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12B.±√22C.±1D.±√2答案:C解析:依题意知A 1(-a ,0),A 2(a ,0),F (c ,0),不妨设点B 在点F 的上方,点C 在点F 的下方,则B (c ,b 2a ),C (c ,-b 2a),因为A 1B ⊥A 2C ,所以k A 1B ·k A 2C =-1. 而k A 1B =b 2a-0c -(-a )=b2a (c+a ),k A 2C=0-(-b2a )a -c=b 2a (a -c ),所以b 2a (c+a )·b 2a (a -c )=-1,即b4a 2(a 2-c 2)=-1,所以b 4=a 2b 2,从而b 2=a 2,即b=a ,所以ba=1,故双曲线的渐近线的斜率为±1.10.(2015重庆,文10)若不等式组{x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( )A.-3B.1C.43D.3 答案:B解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m ≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.由{x +y -2=0,x +2y -2=0,解得{x =2,y =0,则A (2,0).由{x +y -2=0,x -y +2m =0,解得{x =1-m ,y =1+m ,则B (1-m ,1+m ). 同理C (2-4m 3,2+2m3),M (-2m ,0). 因为S △ABC =S △ABM -S △ACM =12·(2+2m )·[(1+m )-2+2m3]=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2015重庆,文11)复数(1+2i)i 的实部为 . 答案:-2解析:因为(1+2i)i =i +2i 2=-2+i,所以其实部等于-2.12.(2015重庆,文12)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为 . 答案:x+2y-5=0解析:设坐标原点为O ,依题意,切线l 与OP 垂直,而k OP =2,所以k l =-12,于是切线l 的方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0. 13.(2015重庆,文13)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B ,则c= . 答案:4解析:由于3sin A=2sin B ,根据正弦定理可得3a=2b ,又a=2,所以b=3.于是由余弦定理可得c=√a 2+b 2-2abcosC =√22+32-2×2×3×(-14)=4.14.(2015重庆,文14)设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 . 答案:3√2解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y ,而(√x +√y )2=x+y+2√xy≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2.15.(2015重庆,文15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ,则方程x 2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 . 答案:23解析:当方程x 2+2px+3p-2=0有两个负根x 1和x 2时,应有{ Δ=(2p )2-4(3p -2)≥0,x 1+x 2=-2p <0,x 1x 2=3p -2>0,0≤p ≤5,解得{ p ≥2或p ≤1,p >0,p >23,0≤p ≤5,所以23<p ≤1或2≤p ≤5,即p ∈(23,1]∪[2,5],由几何概型的概率计算公式可知所求概率为(1-23)+(5-2)5=23.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,文16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92, 化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12,故通项公式a n =1+n -12,即a n =n+12. (2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q ,则q 3=b4b 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1.17.(本小题满分13分,(1)小问10分,(2)小问3分)(2015重庆,文17)随着我国经济的发展,(年底余额)如下表:(1)求y 关于t 的回归方程y ^=b ^t+a ^;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程y ^=b ^t+a ^中,b ^=∑i=1nt i y i -nt y∑i=1n t i 2-nt2,a ^=y −b ^t .解:(1)列表计算如下:这里n=5,t =1n ∑i=1n t i =155=3,y =1n ∑i=1n y i =365=7.2. 又l tt =∑i=1nt i 2-n t 2=55-5×32=10,l ty =∑i=1n t i y i -n t y =120-5×3×7.2=12,从而b ^=l tyl tt=1210=1.2,a ^=y −b ^t =7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y ^=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元). 18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分) (2015重庆,文18)已知函数f (x )=12sin 2x-√3cos 2x. (1)求f (x )的最小正周期和最小值; (2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象.当x ∈[π2,π]时,求g (x )的值域.解:(1)f (x )=12sin 2x-√3cos 2x=12sin 2x-√32(1+cos 2x )=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)−√32,因此f (x )的最小正周期为π,最小值为-2+√32. (2)由条件可知:g (x )=sin (x -π3)−√32.当x ∈[π2,π]时,有x-π3∈[π6,2π3],从而sin (x -π3)的值域为[12,1],那么sin (x -π3)−√32的值域为[1-√32,2-√32]. 故g (x )在区间[π2,π]上的值域是[1-√32,2-√32].19.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) (2015重庆,文19)已知函数f (x )=ax 3+x 2(a ∈R )在x=-43处取得极值.(1)确定a 的值;(2)若g (x )=f (x )e x ,讨论g (x )的单调性. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=3ax 2+2x ,因为f (x )在x=-43处取得极值,所以f'(-43)=0, 即3a ·169+2·(-43)=16a 3−83=0,解得a=12. (2)由(1)得g (x )=(12x 3+x 2)e x ,故g'(x )=(32x 2+2x)e x +(12x 3+x 2)e x=(12x 3+52x 2+2x)e x =12x (x+1)(x+4)e x . 令g'(x )=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x<-4时,g'(x )<0,故g (x )为减函数; 当-4<x<-1时,g'(x )>0,故g (x )为增函数; 当-1<x<0时,g'(x )<0,故g (x )为减函数; 当x>0时,g'(x )>0,故g (x )为增函数.综上知g (x )在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数. 20.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆,文20)如图,三棱锥P-ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,∠ABC=π2,点D ,E 在线段AC 上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F 在线段AB 上,且EF ∥BC. (1)证明:AB ⊥平面PFE ;(2)若四棱锥P-DFBC 的体积为7,求线段BC 的长.(1)证明:如图,由DE=EC ,PD=PC 知,E 为等腰△PDC 中DC 边的中点,故PE ⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=π2,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)解:设BC=x,则在直角△ABC中,AB=√AC2-BC2=√36-x2,从而S△ABC=12AB·BC=12x√36-x2.由EF∥BC知,AFAB =AEAC=23,得△AFE∽△ABC,故S△AFES△ABC=(23)2=49,即S△AFE=49S△ABC.由AD=12AE,S△AFD=12S△AFE=12·49S△ABC=29S△ABC=19x√36-x2,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=12x√36-x2−1 9x√36-x2=718x√36-x2.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=√PC2-EC2=√42-22=2√3.体积V P-DFBC=13·S DFBC·PE=13·718x√36-x2·2√3=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3√3.所以,BC=3或BC=3√3.21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆,文21)如图,椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+√2,|PF2|=2-√2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ|=λ|PF1|,且34≤λ<43,试确定椭圆离心率e的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+√2)+(2-√2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=|F1F2|=√|PF1|2+|PF2|2=√(2+√2)2+(2-√2)2=2√3, 即c=√3,从而b=√a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x 24+y2=1.(2)如图,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得|QF1|=√|PF1|2+|PQ|2=√1+λ2|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a.于是(1+λ+√1+λ2)|PF1|=4a,解得|PF1|=1+λ+1+λ,故|PF2|=2a-|PF1|=√21+λ+√1+λ.由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2,从而(1+λ+√1+λ)2+(√21+λ+√1+λ)2=4c2,两边除以4a2,得(1+λ+√1+λ)√22(1+λ+√1+λ)=e2.若记t=1+λ+√1+λ2,则上式变成e2=4+(t-2)2t2=8(1t-14)2+12.由34≤λ<43,并注意到1+λ+√1+λ2关于λ的单调性,得3≤t<4,即14<1t≤13,进而12<e2≤59,即√22<e≤√53.。
2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ）（A ）A B = （B ）A B =∅ （C ）A B （D ）B A【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠，且，故选D ．（2）【2015年重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =，故选B ． （3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（ ） （A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20+20202=，故选B ．（4）【2015年重庆，理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-，故选B ．（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，故选A ． （6）【2015年重庆，理6】若非零向量,a b 满足22||||3a b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） （A ）4π （B ）2π （C ）34π （D ）π 【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=，结合22||||3a b =，可得2||3a b b =，2cos ,,,[0,],24||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=，故选A ．（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==是，是，114+24k s ⇒==，是，1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否，判断框内应该填11111++=24612s ≤，故选C ．（8）【2015年重庆，理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）（A ）2 （B） （C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=，其圆心坐标为2,1C （），半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线，它过圆心2,1C （），所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=知，6AB ==，故选C ．（9）【2015年重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tansin cos 5cos5ππαααπ=⇒=⊗，3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos 1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-，故选C ． （10）【2015年重庆，理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ）（A ）()()1,00,1- （B ）()(),11,-∞-+∞ （C ）()()0,2 （D ）((),2,-∞+∞【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中，由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-，由题意得：22()()c a c a a +-<01ba a c a+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a =±∴∈-，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2015年重庆，理11】设复数()i ,a b a b R +∈()()i i a b a b +-= ． 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈223a b =+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=． （12）【2015年重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）．【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r rrr r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=．故35()2x x +的展开式中8x 的系数为2521522C =． （13）【2015年重庆，理13】在ABC ∆中，0120B =，2AB =，P ABC -的角平分线3AD =，则AC = ． 【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin 2AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠， 30C ∴∠=，再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）【2015年重庆，理14】如图，圆O 的弦,AB CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ． 【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2015年重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=由 222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及． 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）． （16）【2015年重庆，理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5，则实数a = __．【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，|1|54a a +=⇒=，综上，可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同， 从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则()11123531014C C C P A C ==． （Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2，且()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===， ()21283101215C C P X C ===．故分布列见表：且X 0 1 2 P715715 115()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）． （18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫--⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期 T π=，最大值为23-． （Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减．因此，()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减．（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值．解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC DE ⊥．又2CD DE ==，2CE =，故CDE ∆为等腰直角三角形，且CD DE ⊥．因PC CD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图，取CE 的中点F ，连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形，故DF CE ⊥，1DF CF FE ===．又2ACB π∠=，故//DF AC ，因此23DF FB AC CB ==，从而32AC =．以C 为原点，,,CA CB CP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0E ，()1,1,0D ，()0,0,3P ，故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,3DP =--，()1,1,0DE =-．设()1111,,n x y z =为平面APD 的法向量，则110n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩，取11y =得()12,1,1n =．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故DE 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅，故所求二面角A PD C --的余弦值为3． （20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x ee+-+-+-+'==，因()f x 在0x =处取得极值，故()00f '=，得0a =．因此()23x f x x e -=，()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e =，()31f e'=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e-=-即30x ey -=．z yxF PEDC BA（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立，故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减，故()()max 932g x g ==-，所以92a ≥-，即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且 1PQ PF ⊥． （Ⅰ）若1||22PF =+，2||22PF =-，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若1||||PF PQ =，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=，故2a =．又222124||||12c PF PF =+=，故23c =，因此2221b a c =-=，从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ，由题()1114||||||22||a F P PQ QF F P =++=+，故()1||222F P a =-，从而21||2||F P a F P =-()221a =-，因此()2222124||||4962c PF PF a =+=-，所以()2296263e =-=-，得63e =-．（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中，13a =，()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++． 解：（Ⅰ）由0λ=，2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>，故0n a >，得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列，从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因130a =>，故1230n a a a =>>>>>．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=-⎪+⎝⎭， 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，因此001212k k a a a a +>>>>>，从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+⎪++⎝⎭∑． 综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
2015年高考理科数学重庆卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回. 特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3}B =,则( )A .AB =B .AB =∅C .A BD .B A 2.在等差数列{}n a 中,若24a =,42a =则6a =( )A .1-B .0C .1D .63.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )A .19B .20C .21.5D .234.“1x >”是“12log (2)0x +<”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .即不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .1π3+ B .2π3+ C .12π3+D .22π3+ 6.若非零向量a ,b 满足|a|3=|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ), 则a 与b 的夹角为 ( )A .π4 B .π2C .3π4D .π7.执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内 可填入的条件是 ( )A .34s ≤ B .56s ≤C .1112s ≤D .2524s ≤8.已知直线l :10()x ay a +-=∈R 是圆C :224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB = ( ) A .2 B.C .6D.9.若πtan 2tan 5α=,则3πcos()10πsin()5αα-=- ( )A .1B .2姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .3D .410.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ( )A .(1,0)(0,1)- B .(,1)(1,)-∞-+∞C.((0,2) D.(,(2,)-∞+∞二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.设复数i(,)a b a b +∈R 则(i)(i)a b a b +-= . 12.35(x 的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）.13.在ABC △中,120B=︒,AB =,A 的角平分线AD =则AC = .考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若6PA =,9AE =,3PC =,:2:1CE ED =,则BE = .15.已知直线l 的参数方程为1,1,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为23π5πcos24(0,)44ρθρθ=><<,则直线l 与曲线C的交点的极坐标为 .16.若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5,则实数a = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率;（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望. 18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分）已知函数2π()sin()sin 2f x x x x =-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值;（Ⅱ）讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.19.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问9分）如图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面ABC ,3PC =,π2ACB ∠=.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD DE =22CE EB ==. （Ⅰ）证明:DE ⊥平面PCD ; （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问5分）设函数23()()xx axf x a e+=∈R . （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;（Ⅱ）若()f x 在[3,)+∞上为减函数,求a 的取值范围.21.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中,13a =,2*110()n n n na a a a n λμ++++=∈Ν. （Ⅰ）若0λ=,2μ=-,求数列的{}n a 的通项公式;数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）（Ⅱ）若*0001(,2)k k k λ=∈Ν≥,1μ=-,证明:010011223121k a k k ++<<+++.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】集合{1,2,3}A =，{2,3}B =，可得A B ≠，{2,3}A B =，所以B 是A 的真子集，所以D 正确.【提示】直接利用集合的运算法则求解即可. 【考点】子集，真子集 2.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则426611()(4)222a a a a =+=+=，解得60a =.【提示】直接利用等差中项求解即可. 【考点】等差数列的性质 3.【答案】B【解析】样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为2020202+=. 【提示】根据中位数的定义进行求解即可. 【考点】茎叶图4.【答案】B【解析】由“12log (2)0x +<”得21x +>，解得1x >-，故“1x >”是“12l o g (2)0x +<”的充分不必要条件.【提示】解“12log (2)0x +<”，求出其充要条件，再和1x >比较，从而求出答案.【考点】充要条件 5.【答案】A【解析】由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为22111111π2=π2323⨯⨯⨯+⨯⨯+.【提示】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【考点】由三视图求面积和体积 6.【答案】A【解析】()(32)a b a b -⊥+，()(32)0a b a b ∴-+=，即22320a b a b --=，即2222323a b a b b =-=，22223cos ,||||22ba b a b a b b ∴<>===，即πcos ,4a b <>=. 【提示】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可. 【考点】数量积表示两个向量的夹角 7.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =），因此可填1112S ≤. 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当1112S >时，退出循环，输出k 的值为8，故判断框图可填入的条件是1112S ≤. 【考点】循环结构 8.【答案】C【解析】圆C ：224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆.由题意可得，直线l ：10xay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --，由于AC =，2CB R ==，∴切线的长||6AB .【提示】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l ：10x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB 的值. 【考点】直线与圆的位置关系 9.【答案】C 【解析】πtan 2tan5α=，则数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）1a a c=--，D 4b (0,1).由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，则由BD AC ⊥得2201b b a a c x a c -=---，c x -，利用D 到直线BC 的距离小于a +.【答案】3 解析】因为复数i (,)a b a b +∈R 的模为，所以222)3a b +==，则22i)(i)3b a b a b +-=+=.22a b +，恰好为已知复数的模的平方.【答案】5253x ⎛+ ⎝的展开式的通项公式为71521512rr r rT C x -+=T ，令71582r -=，2r =，故展开式中8x 的系数是251542C =. x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可8x 的系数. 由题意以及正弦定理可知：sin sin AB ADADB B=∠，=，45ADB ∠=， 18012045A =--，可得30A =，则30C =，三角形ABC 是等腰三角形，606==.A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可. 【答案】22CE x =，ED x =，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，∴由2PA PC PD =，即363(33)x =⨯+，3x =，由相交弦定理可得数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）9BE CE ED =，即963BE =⨯，2BE ∴=.【提示】利用切割线定理计算CE ，利用相交弦定理求出BE 即可. 【考点】相交弦定理，切割线定理 15.【答案】(2,π)【解析】直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），它的直角坐标方程为：20x y -+=；曲线C 的极坐标方程为23π5πcos 240,44ρθρθ⎛⎫=><< ⎪⎝⎭，可得它的直角坐标方程为：224x y -=，0x <；由22204x y x y -+=⎧⎨-=⎩，可得2x =-，0y =，交点坐标为(2,0)-，它的极坐标为(2,π). 【提示】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化为极坐标即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程 16.【答案】6-或4【解析】函数()|1|2||f x x x a =++-，故当1a <-时，321,()21,1321,1x a x af x x a a x x a x -+-<-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+≥-⎩，根据它的最小值为()3215f a a a =-+-=，求得6a =-；当1a =-时，()3|1|f x x =+，它的最小值为0，不满足条件；当1a ≥-时，321,1()21,1321,x a x f x x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+≥⎩，根据它的最小值为()15f a a =+=，求得4a =. 综上可得，6a =-或4a =.【提示】分类讨论a 与1-的大小关系，化简函数()f x 的解析式，利用单调性求得()f x 的最小值，再根据()f x 的最小值等于5，求得a 的值. 【考点】带绝对值的函数 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有1112353101()4C C C P A C ==. （Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，则383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===，3()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个. 【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差，古典概型及其概率计算公式18.【答案】（Ⅰ）12-（Ⅱ）()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【解析】（Ⅰ）函数2()sin sin cos sin cos 2)2f x x x x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故函数的周期为22π=π，最大值为1- （Ⅱ）当π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[0,3x π-∈π]，故当0232x ππ≤-≤时，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为增函数；当223x ππ≤-≤π时，即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 为减函数.【提示】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）根据2[0,3x π-∈π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【考点】二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）19.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）证明：PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PC DE ∴⊥，2CE =，CD DE ==CDE ∴△为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥，PC CD C =，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD . （Ⅱ）由（Ⅰ）知CDE △为等腰直角三角形，4DCE π∠=， 过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF FC EF ===，又由已知1EB =，故2FB =，由2ACB π∠=得DF AC ∥，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==， 以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2,0)E ，(1,1,0)D ，(1,1,0)ED ∴=-，(1,1,3)DP =--，1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面P AD 的法向量1(,,)n x y z =，由113012n DP x y z n DA x y ⎧=--+=⎪⎨=-=⎪⎩，故可取1(2,1,1)n =， 由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取(1,1,0)ED =-，∴两法向量夹角的余弦值1212123cos ,6||||n n n n n n <>==∴二面角A PD C --.【提示】（Ⅰ）由已知条件易得PC DE ⊥，CD DE ⊥，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C 为原点，分别以CA ，CB ，CF 的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得ED ，DP ，DA 的坐标，可求平面P AD 的法向量1n ，平面PCD 的法向量2n 可取ED ，由向量的夹角公式可得.【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定 20.【答案】（Ⅰ）3e 0x y -=（Ⅱ）9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）222(6)e (3)e 3(6)()(e )e x x x xx a x ax x a x af x +-+-+-+'==，()f x 在0x =处取得极值，(0)0f '∴=，解得0a =， 当0a =时，23()ex x f x =，236()e xx x f x -+'=， 3f (1)e∴=，3f (1)e '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为33(1)e ey x -=-，化为3e 0x y -=. （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()exxa x af x -+-+'=， 令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x ，2x =.当1x x <时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数； 当12x x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，此时函数()f x 为增函数；数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）当2x x >时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知23x =≤，解得92a ≥-， 因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.解法二：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，()0f x '∴≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立.令236()1x x u x x -+=-，223[(1)1]()0(1)x u x x --+'=<-， ()u x ∴在[3,)+∞上单调递减，9(3)2a u ∴≥=-，因此a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【提示】（Ⅰ）23(6)()exx a x af x -+-+'=，由()f x 在0x =处取得极值，可得(0)0f '=，解得A ，可得(1)f ，(1)f '，即可得出曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可得23(6)()e xx a x a f x -+-+'=，令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1x，2x =.对x 分类讨论：当1x x <时；当12x x x <<时；当2x x >时.由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知2x =，解得即可. 解法二：“分离参数法”：由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可得()0f x '≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立，令236()1x xu x x -+=-，利用导数研究其最大值即可.【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程21.（Ⅰ）2214x y +=【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||224a PF PF =+=+-=，故2a =， 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122||c F F ==，即c =，从而1b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）连接1F Q ，由椭圆的定义，12|||2|PF PF a =+，12|||2|QF QF a =+， 从而由122||||||||PF F PQ PF Q =++，有11||4||QF a PF =-， 又由1PQ PF ⊥，1||||PF PQ =，知111|||42||QF PF a PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=， 由21PF PF ⊥，知122||c F F =，因此c a e === 【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义，122||||a PF PF =+，求出a ，再根据122||c F F ==c ，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得111|||4a ||QF PF PF ==-，解得1|2(2|PF a =，从而21|2|1|)|PF PF a a =-=，再一次根据勾股定理可求出离心率.【考点】椭圆的简单性质22.【答案】（Ⅰ）132n n a -g（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由0λ=，2u =-，有212()n n n a a a n ++=∈N .若存在某个0n +∈N ，使得00n a =，则由上述递推公式易得010n a +=， 重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾， ∴对任意,0n n a +∈≠N ，从而12()n n a a n ++=∈N ， 即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，故11132n n n a a q --==g .（Ⅱ）证明：由01k λ=，1u =-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ， 由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋯>>>⋯>.数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++Q g ， ∴对01,2,n k =⋯,求和得：00011211()()k k k a a a a a a ++=+-+⋯+-010000102000001111111112111313131k a k k k k a k a k a k k k k ⎛⎫⎛⎫=-++++>+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g …，另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>…， 得00110000102000001111111112111212121k k a a k k k k a k a k a k k k k +⎛⎫⎛⎫=-+++⋯+<+++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭g g g01221k =++.综上，010011223121k a k k ++<<+++. 【提示】（Ⅰ）把0λ=，2u =-代入数列递推式，得到212()n n n a a a n ++=∈N ，分析0n a ≠后可得12n n a a +=()n +∈N ，即{}n a 是一个公比2q =的等比数列，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把01k λ=，1u =-代入数列递推式，整理后可得2101()n n n a a a n k ++⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭N ，进一步得到22220010000011111111n n n nn n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++g ，对01,2,,n k =⋯求和后放缩可得不等式左边，结合001212k k a a a a +>>⋯>>>，进一步利用放缩法证明不等式右边.【考点】数列与不等式的综合。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合P ={x X2—2x 3 0}, Q ={x 1 CX 兰2}，则(eRP)P|Q=()A. [0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]Aqd 0,dS h 0 B. a1d :: 0,dS n :: 0A.命题①和命题②都成立C.命题①成立，命题②不成立B.命题①和命题②都不成立D.命题①不成立，命题②成立2、某几何体的三视图如图所示（单位:A.8cm3B. 12cm3C. cm），则该几何体的体积是（3、已知｛a n｝是等差数列，公差比数列，则（）D.40cm3d不为零，前n项和是S n，若a3,a4,a3成等C. qd 0,dS n :: 0D. qd : 0,dS n 04、命题“ -n • N , f (n) • N 且f (n)込n的否定形式是( )A. -n N , f (n) N 且f (n) nB. - n N , f (n) N 或f (n) nC. n0N*, f (n0) N* 且f(n0) n0D. -J n0N*, f (n0) N*或f(n0) n025、如图，设抛物线y =4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点代B,C，其中点代B在抛物线上，点C在y轴上，则.BCF与ACF的面积之比是（）BF -1A.―—AF|-1C吃AF 12BF| -12AF -12BF| +12AF +16.设代B 是有限集，定义d(A,B)二card(AljB) - card (AplB)，表示有限集A中的元素个数,其中card (A) 命题①：对任意有限集代B，“ A = B ”是“ d（A, B） 0 ”的充分必要条件;命题②：对任意有限集代B,C，d（代C）^d（代B） d（B,C），7、存在函数f(x)满足，对任意X. R 都有() 2 A. f (sin2x)=sinxB. f (sin 2x) = x xC. f(x 2+1)=x+1|D. f(x 2+2x) = x +18、如图，已知 厶ABC , D 是AB 的中点，沿直线 CD 将 ACD 折成.A CD ，所成二面角 A 〔CD-B 的 平面角为：•，则()A. Z A DB < :C. . ACB < :二、填空题：本大题共2 9、 双曲线 寸=1的焦距是 ________ ，渐近线方程是 ___________ .2 工 2i x +— _i,x 生110、 已知函数f(x)二 2，则f(f(-3))= , f (x)的最小值是 _______ .2 lg(x 1),X ：：111、 函数f(x) =sin 2x ，sinxcosx ，1的最小正周期是 ________ ，单调递减区间是 ___________a __a12、 若 a =log 2 3，则 2 2 二 .13、 如图，三棱锥 A - BCD 中，AB 二 AC 二 BD 二 CD = 3,AD 二 BC =2 ,别是A D, B C 勺中点，则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是 __________ .14、 若实数x, y 满足x 2+y 2E1，则2x + y —2+|6—x —3y 的最小值是 _____________ .15 15、 已知ei,e 2是空间单位向量，巳e 2,若空间向量b 满足be = 2,b®,且对于任意x, y R , 2 2-K b —(xe +ye 2) b -(X 。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(重庆卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a ab b θ--=，所以23(cos 2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===.选C. 9.3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )210101010sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C.10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11.由a bi +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=. 12.二项展开式通项为7153521551()()2k kkkk k k T C x C x--+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠=，解得sin ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以18012030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3C E E D ==，再相交弦定理有A E E B C E E D ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题 及 答案。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题重庆卷和答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A. 6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b bθ--=，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4A --，6AB ===.选C.9. 3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33costan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C. 10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由B D A C ⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11.由a bi +=得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.12.二项展开式通项为7153521551()()2k kk kk k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，即sin sin120ADB =∠︒，解得s i n 2A D B ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题 及 答案。
2015年高考理科数学(全国二卷)真题
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）(青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙古、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、云南、辽宁、广西、海南等)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则A I B=（）A．{-1,0}B．{0,1}C．{-1,0,1}D．{0,1,2} 2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）= - 4i，则a=（）A．-1B．0C．1D．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{} 满足=3，+=21，则++=（）A．21B．42C．63D．845.设函数f（x）=则f（-2）+f（）=（）A．3B．6C．9D．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7.过三点A（1,3），B（4,2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则IMNI=（）A．2B．8C．4D．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a , b分别为14 ，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC的体积最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．3D ．212.设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（，-1）∪（0,1）B ．（，0）∪（1,+）C ．（，-1）∪（-1,0）D ．（，1）∪（1,+）二、填空题13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =三、解答题17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍 （I ）求Csin Bsin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题 (理科)解析版
2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、13π+ B 、23π+C 、 123π+D 、223π+ 【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a ，b 满足|a |=22|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ）A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C . 【考点定位】程序框图.8．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、C 、6D 、【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a 围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C、((0,2) D、(,(2,)-∞+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．53x⎛+⎝的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2【考点定位】二项式定理13．在ABC中，B=120o，AB A的角平分线AD则AC=_______.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年度普通高等学校招生全国统一考试理科数学(重庆卷)(含答案解析全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆理科数学数学试题卷(理工农医类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆,理1)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案:D解析:因为A={1,2,3},B={2,3},所以B⫋A.2.(2015重庆,理2)在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:因为{a n}是等差数列,所以2a4=a2+a6,于是a6=2a4-a2=2×2-4=0.3.(2015重庆,理3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()A.19B.20C.21.5D.23答案:B解析:由茎叶图可知,这组数据的中位数为20+202=20.4.(2015重庆,理4)“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由lo g12(x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,而{x|x>1}⫋{x|x>-1},所以“x>1”是“lo g12(x+2)<0”的充分不必要条件.5.(2015重庆,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A .13+π B .23+π C .13+2π D .23+2π 答案:A解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V 1=13×12×2×1×1=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V 2=π·12·2·12=π,所以该几何体的体积V=V 1+V 2=13+π.6.(2015重庆,理6)若非零向量a ,b 满足|a|=2√23|b|,且(a-b )⊥(3a+2b ),则a 与b 的夹角为( )A .π4B .π2C .3π4D .π答案:A解析:由(a-b )⊥(3a+2b )知(a-b )·(3a+2b )=0,即3|a|2-a ·b-2|b|2=0.设a 与b 的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即3·(2√23|b|)2-2√23|b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得cos θ=√22,故θ=π4.7.(2015重庆,理7)执行如图所示的程序框图,若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是( )A .s ≤34B .s ≤56C .s ≤1112D .s ≤2524答案:C解析:由程序框图可知,程序执行过程如下: s=0,k=0,满足条件;k=2,s=12,满足条件;k=4,s=34,满足条件;k=6,s=1112,满足条件;k=8,s=2524,这时应不满足条件,才能输出k=8,故判断框内的条件是s ≤1112. 8.(2015重庆,理8)已知直线l :x+ay-1=0(a ∈R)是圆C :x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|=( ) A .2 B .4√2C .6D .2√10答案:C解析:依题意,直线l 经过圆C 的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A 的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC 为直角三角形可得|AB|=√|AC|2-r 2.又|AC|=2√10,所以|AB|=√(2√10)2-22=6. 9.(2015重庆,理9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A .1B .2C .3D .4解析:因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.10.(2015重庆,理10)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a+√a 2+b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A .(-1,0)∪(0,1) B .(-∞,-1)∪(1,+∞) C .(-√2,0)∪(0,√2) D .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)答案:A解析:设双曲线半焦距为c ,则F (c ,0),A (a ,0),不妨设点B 在点F 的上方,点C 在点F 的下方,则B (c,b 2a ),C (c,-b 2a ).由于k AC =0−(-b2a )a -c =b 2a(a -c),且AC ⊥BD ,则k BD =-a(a -c)b2,于是直线BD 的方程为y-b 2a =-a(a -c)b 2(x-c ),由双曲线的对称性知AC 的垂线BD 与AB 的垂线CD 关于x 轴对称,所以两垂线的交点D 在x 轴上,于是x D =(-b 2a )×[-b 2a(a -c)]+c=b4a 2(a -c)+c ,从而D 到直线BC 的距离为c-x D =-b4a 2(a -c),由已知得-b4a 2(a -c)<a+√a 2+b 2,即-b 4a 2(a -c)<a+c , 所以b 4<a 2(c-a )(c+a ),即b 4<a 2b2,b2a 2<1, 从而0<b a<1.而双曲线渐近线斜率k=±b a, 所以k ∈(-1,0)∪(0,1).二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2015重庆,理11)设复数a+b i(a ,b ∈R)的模为√3,则(a+b i)(a-b i)= . 答案:3解析:因为复数a+b i 的模为√3,所以√a 2+b 2=√3,即a 2+b 2=3.于是(a+b i)(a-b i)=a 2-(b i)2=a 2+b 2=3. 12.(2015重庆,理12)(x 32x)5的展开式中x 8的系数是 (用数字作答).答案:52解析:展开式的通项公式T r+1=C 5r·(x 3)5-r ·(2√x)r =C 5r ·2-r ·x 15−72r(r=0,1,2,…,5). 令15-72r=8,得r=2,于是展开式中x 8项的系数是C 52·2-2=52.13.(2015重庆,理13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC= .解析:如图所示,在△ABD 中,由正弦定理得AD sinB =ABsin ∠ADB ,即√3sin120°=√2sin ∠ADB, 所以sin ∠ADB=√22,从而∠ADB=45°, 则∠BAD=∠DAC=15°, 所以∠ACB=30°,∠BAC=30°,所以△BAC 是等腰三角形,BC=AB=√2. 由余弦定理得AC=√AB 2+BC 2-2·AB ·BC ·cos120° =√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2·(-12) =√6.考生注意:14、15、16三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.(2015重庆,理14)如图,圆O 的弦AB ,CD 相交于点E ,过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,若PA=6,AE=9,PC=3,CE ∶ED=2∶1,则BE= . 答案:2解析:因为PA 是圆的切线,所以有PA 2=PC ·PD ,于是PD=PA 2PC =623=12, 因此CD=PD-PC=9.又因为CE ∶ED=2∶1,所以CE=6,ED=3. 又由相交弦定理可得AE ·BE=CE ·ED , 所以BE=6×39=2. 15.(2015重庆,理15)已知直线l 的参数方程为{x =−1+t,y =1+t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4(ρ>0,3π4<θ<5π4),则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 .答案:(2,π)解析:由{x =−1+t,y =1+t可得直线l 的普通方程为y=x+2.又ρ2cos 2θ=4可化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,即(ρcos θ)2-(ρsin θ)2=4, 所以x 2-y 2=4,即曲线C 的直角坐标方程是x 2-y 2=4.由{y =x +2,x 2-y 2=4可解得{x =−2,y =0,即直线l 与曲线C 的交点坐标为(-2,0).又因为ρ>0,3π4<θ<5π4,所以ρ=2,θ=π,即交点的极坐标是(2,π).16.(2015重庆,理16)若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= . 答案:-6或4 解析:当a ≤-1时,f (x )=|x+1|+2|x-a|={-3x +2a -1,x <a,x -2a -1,a ≤x ≤−1,3x -2a +1,x >−1,所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x=a 处取得最小值f (a )=-a-1, 由-a-1=5得a=-6,符合a ≤-1; 当a>-1时,f (x )=|x+1|+2|x-a|={-3x +2a -1,x <−1,-x +2a +1,−1≤x ≤a,3x -2a +1,x >a.所以f (x )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增, 则f (x )在x=a 处取最小值f (a )=a+1, 由a+1=5,得a=4,符合a>-1. 综上,实数a 的值为-6或4.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2015重庆,理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解:(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 21C 31C 51C 103=14. (2)X 的所有可能值为0,1,2,且P (X=0)=C 83C 103=715, P (X=1)=C 21C 82C 103=715, P (X=2)=C 22C 81C 103=115.综上知,X 的分布列为故E (X )=0×715+1×715+2×115=35(个).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,理18)已知函数f (x )=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x.(1)求f (x )的最小正周期和最大值; (2)讨论f (x )在[π6,2π3]上的单调性.解:(1)f (x )=sin (π2-x)sin x-√3cos 2x=cos x sin x-√32(1+cos 2x )=12sin 2x-√32cos 2x-√32=sin (2x -π3)-√32, 因此f (x )的最小正周期为π,最大值为2−√32. (2)当x ∈[π6,2π3]时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x ≤5π12时,f (x )单调递增, 当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x ≤2π3时,f (x )单调递减.综上可知,f (x )在[π6,5π12]上单调递增;在[5π12,2π3]上单调递减.19.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问9分)(2015重庆,理19)如图,三棱锥P-ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC=3,∠ACB=π2.D ,E 分别为线段AB ,BC 上的点,且CD=DE=√2,CE=2EB=2.(1)证明:DE ⊥平面PCD ; (2)求二面角A-PD-C 的余弦值.(1)证明:由PC ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,故PC ⊥DE.由CE=2,CD=DE=√2得△CDE 为等腰直角三角形,故CD ⊥DE.由PC ∩CD=C ,DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线,故DE ⊥平面PCD. (2)解:由(1)知,△CDE 为等腰直角三角形,∠DCE=π4.如图,过D 作DF 垂直CE 于F ,易知DF=FC=FE=1, 又已知EB=1,故FB=2. 由∠ACB=π2得DF ∥AC ,DF AC =FB BC =23,故AC=32DF=32.以C 为坐标原点,分别以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,0,3),A (32,0,0),E (0,2,0),D (1,1,0),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,3),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-1,0).设平面PAD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),由n 1·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-x 1-y 1+3z 1=0,12x 1-y 1=0,故可取n 1=(2,1,1).由(1)可知DE ⊥平面PCD ,故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即n 2=(1,-1,0). 从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为 cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=√36,故所求二面角A-PD-C 的余弦值为√36. 20.(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分) (2015重庆,理20)设函数f (x )=3x 2+axe x(a ∈R). (1)若f (x )在x=0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=(6x+a)e x -(3x 2+ax)e x (e x )2=-3x 2+(6−a)x+ae x . 因为f (x )在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,即a=0. 当a=0时,f (x )=3x 2e x ,f'(x )=-3x 2+6xe x, 故f (1)=3e ,f'(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-3e =3e(x-1),化简得3x-e y=0. (2)由(1)知f'(x )=-3x 2+(6−a)x+ae x.令g (x )=-3x 2+(6-a )x+a , 由g (x )=0解得x 1=6−a -√a 2+366,x 2=6−a+√a 2+366. 当x<x 1时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数; 当x 1<x<x 2时,g (x )>0,即f'(x )>0,故f (x )为增函数;当x>x 2时,g (x )<0,即f'(x )<0,故f (x )为减函数. 由f (x )在[3,+∞)上为减函数,知x 2=6−a+√a 2+366≤3,解得a ≥-92,故a 的取值范围为[-92,+∞).21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分) (2015重庆,理21)如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+√2,|PF 2|=2-√2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF 1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF 1|+|PF 2|=(2+√2)+(2-√2)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2,因此2c=|F 1F 2|=√|PF 1|2+|PF 2|2=√(2+√2)2+(2−√2)2=2√3, 即c=√3,从而b=√a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)解法一:如图,设点P (x 0,y 0)在椭圆上,且PF 1⊥PF 2,则x 02a 2+y 02b 2=1,x 02+y 02=c 2, 求得x 0=±a c √a 2-2b 2,y 0=±b 2c. 由|PF 1|=|PQ|>|PF 2|得x 0>0, 从而|PF 1|2=(a √a 2-2b2c+c)2+b4c 2=2(a 2-b 2)+2a √a 2-2b 2=(a+√a 2-2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a. 从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|, 有|QF 1|=4a-2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此(2+√2)|PF 1|=4a , 即(2+√2)(a+√a 2-2b 2)=4a , 于是(2+√2)(1+√2e 2-1)=4, 解得e=√12[1+(2+√21)2]=√6-√3. 解法二:如解法一中的图,由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a. 从而由|PF 1|=|PQ|=|PF 2|+|QF 2|,有|QF 1|=4a-2|PF 1|. 又由PF 1⊥PQ ,|PF 1|=|PQ|,知|QF 1|=√2|PF 1|, 因此,4a-2|PF 1|=√2|PF 1|,得|PF 1|=2(2-√2)a ,从而|PF 2|=2a-|PF 1|=2a-2(2-√2)a=2(√2-1)a. 由PF 1⊥PF 2,知|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2, 因此e=c a =√|PF 1|2+|PF 2|22a=√(2-√2)2+(√2-1)2=√9−6√2=√6-√3. 22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2015重庆,理22)在数列{a n }中,a 1=3,a n+1a n +λa n+1+μa n 2=0(n ∈N +).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n }的通项公式; (2)若λ=1k 0(k 0∈N +,k 0≥2),μ=-1,证明:2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1. 解:(1)由λ=0,μ=-2,有a n+1a n =2a n 2(n ∈N +).若存在某个n 0∈N +,使得a n 0=0,则由上述递推公式易得a n 0-1=0. 重复上述过程可得a 1=0,此与a 1=3矛盾,所以对任意n ∈N +,a n ≠0. 从而a n+1=2a n (n ∈N +),即{a n }是一个公比q=2的等比数列. 故a n =a 1q n-1=3·2n-1.(2)由λ=1k 0,μ=-1,数列{a n }的递推关系式变为a n+1a n +1k 0a n+1-a n 2=0,变形为a n+1(a n +1k 0)=a n 2(n ∈N +).由上式及a 1=3>0,归纳可得 3=a 1>a 2>...>a n >a n+1> 0因为a n+1=a n2a n +1k 0=a n 2-1k 02+1k2a n +1k 0=a n -1k 0+1k 0·1k 0a n +1, 所以对n=1,2,…,k 0求和得a k 0+1=a 1+(a 2-a 1)+…+(a k 0+1-a k 0)=a 1-k 0·1k 0+1k 0·(1k0a 1+1+1k 0a 2+1+…+1k 0a k 0+1)>2+1k 0·(13k0+1+13k 0+1+⋯+13k 0+1⏟ k 0个)=2+13k 0+1.另一方面,由上已证的不等式知a 1>a 2>…>a k 0>a k 0+1>2,得 a k 0+1=a 1-k 0·1k 0+1k 0·(1k 0a 1+1+1k 0a 2+1+…+1k 0a k 0+1)<2+1k 0·(12k0+1+12k 0+1+⋯+12k 0+1⏟ k 0个)=2+12k 0+1.综上,2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1.。
2015年重庆高考数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷 （理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至6页。
第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共50分）（1）已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）A 、A=B B 、A B =∅C 、A B ⊂≠D 、B A ⊂≠（2）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a =（ ）A 、—1B 、0C 、1D 、6 （3）、重庆市2013年各月的平均气温（0C ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A 、19B 、20C 、21.5D 、23 4、“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+ B 、23π+ C 、123π+ D 、223π+ 6、若非零向量,a b 满足22||||a b =且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角（ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π7、执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A 、34s ≤B 、56s ≤ C 、1112s ≤ D 、2524s ≤ 8、已知直线22:10():4210l x ay a R C x y x y +-=∈+--+=是圆的对称轴，过点A(－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A 、2 B、 C 、6 D、9、若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 10、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若点D 到直线BC的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C、((0,2)D、(,(2,)-∞+∞ 第II 卷二、填空题（每小题5分，共25分）11、设复数(,)a bi a b R+∈，则)()a bi a bi +-=_____________.12、35(x +的展开式中8x 的系数是_________________（用数字作答）.13、在△ABC 中，0120,B AB A==的角平分线AD =AC=___________. （14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14、如图（14）图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE ：ED=2:1，则BE=_______________.15、已知直线l 的参数方程为1(1x t t y t=-+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为____________________. 16、若函数()|1|2||f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =________________.三、解答题：本大题共6小题，共75分17、端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望。
2015年普通高等学校全国统一招生考试(新课标版)模拟试卷理科数学
2015年普通高等学校全国统一招生考试（新课标版）模拟试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝1－1i的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合M ＝{x|0＜|x －1|＜2}，N ＝{x|x(x －3)＜0}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．f(x)＝|x|xB ．f(x)＝12x －1＋12C ．f(x)＝e x －e －xe x ＋e－x D ．f(x)＝lg(sinx) 4．某地区为了了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若a ∶b ＝7，由图中可知，身高落在[110,130)范围内的学生人数是A ．35B ．24C ．46D ．655．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向左平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是A ．0B ．1 C.32D ．3 6．下列四个结论：①两条直线都和第三条直线异面，则这两条直线异面；②两条直线和某个平面只有一个公共点，则这两条直线可能平行；③两条直线都和第三条直线没有公共点，则这三条直线中至少有两条直线是异面的； ④一条直线和一个平面内无数条直线都有公共点是这条直线在这个平面内的充要条件． 其中正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．37．已知向量a ＝(x ，y 3)，向量b ＝(x ，－y 3)，曲线a·b ＝1上一点P 到F(2,0)的距离为4，Q 为PF 的中点，O 为坐标原点，则|OQ|的值是A ．1或2B ．2或3C ．3或2D ．1或38．设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中第四项的系数为116，则函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为A.．343 B ．323 C ．10 D ．2839．下列区间(其中k ∈Z)为函数f(x)＝1＋3tanx 1＋tan 2x单调递增区间的是 A ．[kπ＋π6，kπ－π2] B ．[kπ－π3，kπ＋π6] C ．(kπ－π3，kπ＋π6) D ．(kπ－2π3，kπ＋π3] 10．当实数x 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x>0y ≥x 2x ＋y ＋k ≤0(其中k<0)时，y ＋2x 的最小值为3，则实数k 的值是A ．－3B ．3C ．－23D ．2311．抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i,2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N ＋，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于A ．64B ．42C ．32D ．2112．若函数f(x)，g(x)分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x ，则有A ．f(2)＜f(3)＜g(0)B ．g(0)＜f(3)＜f(2)C ．f(2)＜g(0)＜f(3)D ．g(0)＜f(2)＜f(3)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015?重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A B B AB（=3．（5分）（2015?重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）则中位数为重庆）“x＞1”是““（（解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为所求几何体的体积为：=6．（5分）（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）解：∵（﹣）⊥（3+2∴（﹣+2）2﹣?=0即?=322＜，==即＜，≤≤＞．S8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（），|AB|=tanα=2tan，则==2tan，则======故答案为：3．本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．重庆）设双曲线a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值，，（，即可得出结论．，，﹣得，，∴＜）的模为，则（）的模为=3重庆）的展开式中解：由于的展开式的通项公式为??=8的系数是?=故答案为：．13．（5分）（2015?重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC= ．，即A=180=故答案为：．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全的参数方程为，则直线π）．（的极坐标方程为，可得16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ﹣6或4 ．=，=，子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．===，，=×××个．（﹣﹣x上的单调性．∈）在﹣﹣x=cosxsinx（=sin2x ﹣）﹣，故函数的周期为=﹣∈时，∈﹣≤[，]≤﹣[，（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，19．E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，的坐标，可求平面的法向量的法向量可取，∴△DCE=，得，DF=为原点，分别以，，，==，=（，﹣的法向量=，由，故可取的法向量可取=，＞=20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．，．对=≤≥===，=，=，）处的切线方程为，化为：，．=．的取值范围为：﹣的取值范围为：重庆）如题图，椭圆|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；|=|PF﹣（+2，从而b==1故所求椭圆的标准方程为．|PF﹣==22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（=，对，有，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得故．（Ⅱ）证明：由，数列，变形为：由上式及a=3＞0，归纳可得，另一方面，由上已证的不等式知，＜2+。
2015年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式即可求．【考点】等比数列通项公式和性质．5.【答案】C【解析】由已知得2(2)1+log 43f -==，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)+(log 12)9f f -=．【提示】先求2(2)1+log (2+2)1+23f -===，再由对数恒等式，求得2(log 12)6f =，进而得到所求和．【考点】函数定义域以及指数对数的运算． 6.【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15．故选D ．【提示】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【考点】几何图形的三视图． 7.【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，2+7341CB k ==-，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)+(+2)25x y -=，令0x =，得2y =±，所以||MN =，故选C ．【提示】设圆的方程为22+++0x y Dx Ey F =，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令0x =，即可得出结论．【考点】直线与圆的相交，距离的计算． 8.【答案】B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．【提示】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论．【考点】程序框图． 9.【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -体积最大，设球O 的半径为R ，此时23--11136326O ABC C ABC V V R R R ==⨯⨯==，故R ＝6，则球O 的表面积为：24π144πS R ==，选C ．【提示】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【考点】球面的表面积和锥体的体积． 10.【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即π04x ≤≤时，P A ＋PBtan x ； 当点P在CD边上运动时，即π3π44x ≤≤，π2x ≠时，+PA P B =当π2x =时，+PA PB = 当点P 在AD 边上运动时，3ππ4x ≤≤时，P A ＋PB＝tan +P A P x B =， 从点P 的运动过程可以看出轨迹关于直线π2x =对称，且ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且轨迹非线型，故选B ．【提示】根据函数图像关系，利用排除法进行求解即可． 【考点】动点的函数图像． 11.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>，，如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=︒，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，||BN a =，||MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b c a ==-，即222c a =，所以e 故选D ．【提示】设M 在双曲线22221x ya b -=的左支上，由题意可得M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程可得a b =，再由离心率公式即可得到所求值． 【考点】双曲线离心率． 12.【答案】A 【解析】记函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(,+)∞0单调递减，又因为函数()f x ()x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递增，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．【提示】由已知当0x >时总有()()0xf x f x '-<成立，可判断函数()()f x g x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(,0)(0,+)-∞∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,+)∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图像，而不等式()0f x >等价于()0x g x >，数形结合解不等式组即可．【考点】奇函数，导数，定义域的求解．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】12【解析】因为向量+a b λ与+2a b 平行，所以+(+2)a b k a b λ=，则12k k λ=⎧⎨=⎩，，所以12λ=．【提示】利用向量平行即共线的条件，得到向量+a b λ与+2a b 之间的关系，利用向量相等解析【考点】平面向量的基本定理．14.【答案】32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为+y x z =，当z 取最大时，直线+y x z=的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到11,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，则+z x y =的最大值为32．【提示】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值【考点】线性规划问题的最值求解． 15.【答案】3【解析】由已知得4234(1+)1+4+6+4+x x x x x =，故4(+)(1+)a x x 的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为4+4+1+6+132a a =，解得3a =． 【提示】给展开式中的x 分别赋值1，1-，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【考点】排列组合． 16.【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以+1n n S S ，得+1111n nS S -=-，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n n n S =---=-，所以1n S n =-． 【提示】通过111n n n n n a S S S S +++=-=，并变形可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项和公差均为1-的等差数列，进而可得结论． 【考点】数列的求和运算． 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）BD =1AC =【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD =∠△，1sin 2ADC S AC AD CAD =∠△． 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD ∠=∠， 所以2AB AC =． 由正弦定理得：sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为:ABD ADC S S BD DC ==△△所以BD =．在ABD △和ADC △，由余弦定理知：222+2cos AB AD BD AD BD ADB =-∠，222+2cos AC AD DC AD DC ADC =-∠，故22222+23++26AB AC AD BD DC == 由（Ⅰ）知2AB AC =， 所以1AC =．【提示】（Ⅰ）过A 作AE BC ⊥于E ，由已知及面积公式可得2BD DC =，由AD 平分BAC ∠及正弦定理可得sin sin AD BAD B BD ⨯∠∠=，sin sin AD DAC C DC ⨯∠∠=，从而得解sin sin BC∠∠．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD =D 作DM AB ⊥于M ，作DN AC ⊥于N ，由AD平分BAC ∠，可求2AB AC =，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长． 【考点】正弦定理，余弦定理． 18.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）0.48【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1AC 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或不满意”； 记2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 记1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 记2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =，112211221122()()()+()()()+()()B A B A B A B A B A B A P C P C C C C P C C P C C P C P C P C P C ===由所给数据的1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820，故116()20A P C =，24()20A P C =，110()20B P C =，28()20B PC =，101684()+202020200.48P C =⨯⨯=.【提示】（Ⅰ）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （Ⅱ）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可． 【考点】茎叶图，古典概型的相关运算． 19.【答案】（Ⅰ）见如图（Ⅱ）15【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==.因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==，所以10AH =.以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图示空间直角坐标系D xyz -， 则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ．(0,6,8)HE =-，(10,0,0)FE =． 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则00n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1006+80x y z =⎧⎨-=⎩，所以可取(0,4,3)n =又(10,4,8)AF -=．故||45sin |cos ,|=15||||n AF n AF n AF θ==．所以AF 与平面EHGF ． 【提示】（Ⅰ）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（Ⅱ）分别以直线DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A ，H ，E ，F 几点的坐标．设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =，根据n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量n ，AF 坐标可以求出，可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ，由sin |cos ,|n AF θ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【考点】线面平行、相交，线面夹角的求解． 20.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）能4【解析】（Ⅰ）设直线l ：+(00)y kx b k b =≠≠，，11(,)A x y ，22(,)B x y (,)M M M x y ．将+y kx b =代入2229+x y m =得2222(+9)+2+0k x kbx b m -=．故122+2+9M x x kb x k -==，29++9M M by kx b k ==， 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，9OM k k =-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由22299+y x k xy m⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22229+81P k m x k =，即P x = 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此()233+9M kk m x k -=（）四边形OAPB 为平行四边形且当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =， 于是()2323+9k k m k =－（），解得14k =-2k =因为0i k>，3i k ≠，12i =，， 所以当l 的斜率为4OAPB 为平行四边形．【提示】（Ⅰ）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（Ⅱ）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，建立方程关系即可得到结论．【考点】直线的点斜式方程，平行四边形的判定． 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）(1,1)-【解析】（Ⅰ）因为2()e mx f x x mx =+-，所以()e 2mx f x m x m '=+-，2()e +20mxf x m ''=≥在R 上恒成立， 所以()e 2mxf x m x m '=+-在R 上单调递增，而(0)0f '=，所以0x >时，()0f x '>； 所以0x <时，()0f x '<．所以()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()(0)1f x f ==，当0m =时，2()1+f x x =， 此时()f x 在[]1,1-上的最大值是2. 所以此时12()()|e 1f x f x -≤-|成立．当0m ≠时，(1)e +1+m f m --=，(1)e +1mf m =-，令()(1)(1)e e 2m mg m f f m -=--=--在R 上单调递增，而(0)0g =，所以0m >时，()0g m >，即(1)(1)f f >-， 0m <时，()0g m <，即(1)(1)f f <-．当0m >时，12|()()|(1)1e e 101mf x f x f m m -≤-=-≤-⇒<<，当0m <时，12|()()|(1)1e +e ()e 110m mf x f x f m m m ---≤--=≤--≤-⇒-<<．所以，综上所述m 的取值范围是(1,1)-．【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥说明函数为增函数，利用()0f x '≤说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[]1,0-单调递减，在[0,1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围． 【考点】导数的运算，单调性的判别，分类讨论，运算求解能力． 22.【答案】（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥， 所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，故AD EF ⊥． 所以EF BC ∥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥， 故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为O 的弦， 所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥． 由AG 等于O 的半径的2AO OE =，所以30OAE ∠︒＝，因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE = 所以4AO =，2OE =．因为2OE OM ==，12DM MN == 所以1OD =.于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF的面积为221122⨯-⨯=⎝⎭（．【提示】（Ⅰ）通过AD 是CAB ∠的角平分线及圆O 分别与AB ．AC 相切于点E 、F ，利用相似的性质即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE 、OM ，则OE AE ⊥，利用ABC AEF S S -△△计算即可．【考点】等腰三角形，线线平行的判别，运算求解能力，面积的求解 23.【答案】（Ⅰ）(0,0)32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为22+0x y -=．联立2222+20+0x y y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和32⎫⎪⎪⎝⎭．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θα=(0)ρρ∈≠R ，，其中0πα≤<． 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以π|||2sin |4sin 3AB ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．当5π6α=时，||AB 取得最大值，最大值为4. 【提示】（Ⅰ）由曲线C 2：2sin ρθ=，化为22sin ρρθ=，把222s n +i x y y ρρθ⎧=⎨=⎩代入可得直角坐标方程．同理，由C 3：ρθ=，可得直角坐标方程，联立解出可得C 2与C 3交点的直角坐标． （Ⅱ）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，化为普通方程：tan y x α=，其中0πα≤<，其极坐标方程为：θα=(0)ρρ∈≠R ，，利用|||2sin |AB αα=-即可得出． 【考点】极坐标与参数方程，求解交点坐标，最大值的求解24.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）因为2+a b =2+c d = 由题设++a b c d =，ab cd >得22>>（Ⅱ）(ⅰ)若||||a b c d -<-则22()()a b c d -<-，即22(+)4(+)4a b ab c d cd -<-．因为++a b c d =，所以ab cd >．>(ⅱ)22>，即2++a b c d >． 因为++a b c d =，所以ab cd >，于是2222()(+)4(+)4()a b a b ab c d cd c d -=-<-=-因此||||a b c d -<-．||||a b c d-<-的充要条件．【提示】（Ⅰ）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且++a b c d=，ab cd>，即可得证；（Ⅱ）从两方面证，>证得||||a b c d-<-，②若||||a b c d-<-，证>【考点】不等式的证明和判定，充分、必要条件．。
高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(重庆卷)
2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B.【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A 、13π+B 、23π+ C 、 123π+ D 、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ） A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C . 【考点定位】程序框图.8．已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2 B、、6 D、 【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a 围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(D 、(,)-∞+∞ 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a +bi （a ，b ∈R a +bi ）（a -bi ）=________. 【答案】3【考点定位】复数的运算.12．53x⎛+⎝的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2【考点定位】二项式定理13．在 ABC中，B=120o，AB A的角平分线AD则AC=_______.【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为235 cos24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2015年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A.A=BB.A∩B=∅C.A⊊BD.B⊊A解析：直接利用集合的运算法则求解即可．答案：D．2.在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A.﹣1B.0C.1D.6解析：在等差数列{a n}中，a4=12（a2+a6）==2，解得a6=0．答案：B．3.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A.19B.20C.21.5D.23解析：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，答案：B4.“x＞1”是“＜0”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：由“＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“＜0”的充分不必要条件，答案：B．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C.D.解析： 由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为2，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：.答案：A ．6.若非零向量a r ，b r 满足|a r|=|b r |，且（a r ﹣b r ）⊥（3a r +2b r ），则a r 与b r 的夹角为（ ）A.4πB.2πC.34π D.π解析： ∵（a r ﹣b r ）⊥（3 a r +2b r）， ∴（a r ﹣b r ）•（3 a r +2b r）=0， 即3 a r 2﹣2 b r 2﹣a r • b r =0， 即a r • b r =3 a r 2﹣2 b r 2=23b r2，，即＜a r ，b r＞=4π，答案：A7.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）A.s≤3 4B.s≤5 6C.s≤11 12D.s≤25 24解析：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S≤11 12．答案：C．8.已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.2B.C.6D.解析：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．由于，CB=R=2，∴切线的长，答案：C．9.若tanα=2tan5，则=（）A.1B.2C.3D.4，则解析：tanα=2tan5答案：3．10.设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A.（﹣1，0）∪（0，1）B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C.，0）∪（0）D.（﹣∞，+∞）解析：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于，∴c﹣x=＜，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜ba＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．答案：A．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.设复数a+bi（a，b∈R，则（a+bi）（a﹣bi）=3．解析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．答案：3．12. 的展开式中x8的系数是．解析：由于的展开式的通项公式为令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是255 1C=42，答案：52．13.在△ABC中，B=120°，AB=2，A的角平分线AD=3，则AC=．解析：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，12A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，°．．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14.如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．解析：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．答案：2．15.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．解析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．答案：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．16.若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．解析：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）= ，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，答案：﹣6或4．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．答案：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P （A ）= =14．（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，则P （X=0）==715，P （X=1）==715，P （X=2）==115，X 0 1 1P715 715 115EX=0×715+1×715+2×115=35个．18.已知函数f （x ）=sin （2π﹣x ）sinx ﹣（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）讨论f （x ）在[6π，23π]上的单调性．解析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f （x ）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x ﹣3π∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f （x ）在[6π，23π]上的单调性．答案：（Ⅰ）函数f （x ）=sin （2π﹣x ）sinx ﹣x=cosxsinx ﹣3（1+cos2x ）=12sin2x ﹣3sin2x ﹣3=sin （2x ﹣3π）﹣3，故函数的周期为22π=π，最大值为1 （Ⅱ）当x ∈[6π，23π]时，2x ﹣3π∈[0，π]，故当0≤2x ﹣3π≤2π时，即x ∈[6π，512π]时，f （x ）为增函数；当2π≤2x ﹣3π≤π时，即x ∈[512π，23π]时，f （x ）为减函数．19.如题图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=2π．D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．解析：（Ⅰ）由已知条件易得PC ⊥DE ，CD ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C 为原点，分别以的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得的坐标，可求平面PAD 的法向量，平面PCD 的法向量可取，由向量的夹角公式可得．答案：（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，∴PC ⊥DE ，∵CE=2，，∴△CDE 为等腰直角三角形， ∴CD ⊥DE ，∵PC ∩CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE=4π，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=2π得DF ∥AC ，，故AC=32DF=32，以C 为原点，分别以的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），P （0，0，3），A （32，0，0），E （0，2，0），D （1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（12，﹣1，0），设平面PAD 的法向量=（x ，y ，z ），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos ＜，＞= =3∴二面角A ﹣PD ﹣C20.设函数f（x）= （a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．解析：（I）f′（x）= ，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2= ≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）= ，利用导数研究其最大值即可．答案：（I）f′（x）= = ，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）= ，f′（x）= ，∴f（1）= ，f′（1）= ，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）= ，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1= ，x2= ．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2= ≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．21.如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1，|PF2|=2（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．解析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==233，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．答案：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==23，即c=3，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因．==6322.在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：．解析：（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．解答：（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，a n≠0．从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得综上，．。