八年级数学下册教学课件《菱形的判定》

第十八章 平行四边形
菱形的判定
类比导入
前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性 质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否 也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 我们大家 一起来尝试一下吧!
类比导入
图形 性质定理
判定定理
对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行 对边相等 四边 对角相等
A
D
F B EC
∴∠B=∠D. 又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
例题精析
例2 如图，在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点
F,AE⊥BF于点O,
A
F
D
交BC于点E,连接EF.
O
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
B
E
解：如图，由题意得：AB=9, AC= 6 5, BD=12. A
O
C
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=
1 2
AC=
3
5
,BO=
1
2 BD=6.
∴ AB2 AO2 BO2 .
∴△OAB是直角三角形.
B
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
∴
S菱形ABCD
=
1 2
AC
BD
36
5.
新知探究
探究点2 四条边相等的四边形是菱形.
∵BE∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF,∴▱ABEF是菱形．
例题精析
(2)解：如图，过点F作FG⊥BC于点G．
∵四边形ABEF是菱形, AE=6, BF=8,
∴OE= 1 AE=3, OB= 1 BF=4.
A
F
D
2
2
在Rt△BOE中, BE= OB2 OE2
O
= 42 32 =5. ∵ ∴S1×菱形6A×BE8F==512FGAE, ∴·BFFG=B=E24·F.G,
又AE∥BF,
∴∠2=∠3，AD∥BC.
∴∠1=∠3. ∴BA=BC.
同理可得：AB=AD.
B
∴AD=BC.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴四边形ABCD为菱形.
A 12
O 3
C
DE F
课后作业
2. 如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB， AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分 别在BC，CD上，MG与NF相交于点E. 求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形【. 选自教材P61，习题18.2第10题】
且BD⊥AC. 求证：▱ABCD是菱形.
A
D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO．∵BD⊥AC,∴AB=BC
O
B
C
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
∴▱ABCD是菱形.
归纳总结
归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形, 且BD⊥AC.
？
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一 个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋, 做成一个四边形.
(1)转动木条,这个四边形总有什 么特征? 它是什么四边形?
这个四边形的对角线总是互相平分,它是平行四边形．
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
C
(2)若AE=6,BF=8,CE=3,求▱ABCD的面积.
例题精析
(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=EO, AD∥BC,∴∠EBF=∠AFB．
∵BF平分∠ABC,
A
F
D
∴∠ABF=∠EBF,
O
∴∠ABF=∠AFB,∴AB=AF．
B
E
C
∵BO⊥AE, AO=EO,∴AB=EB,∴BE=AF．
加一个条件,可推出▱ABCD是菱形,则该条件可以是 (
)C A. AB=AC C. AC⊥BD
B. AC=BD D. AB⊥AC
A
D
O
B
C
对应训练
2. 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的
长分别是12和6 5，这是一个特殊的平行四边形吗？
为什么？求出它的面积.【选自教材P58，练习第2题】
D
A
M
B
E
N D
F
G
C
课后作业
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=DA=BC=CD.
∵BM=DN,
A
∴AB-BM=DA-DN,即AM=AN. M
N
∵MG∥AD，NF∥AB,
B
E
D
∴四边形AMEN是平行四边形. ∴▱AMEN是菱形.
F
G
C
同理可证：四边形EFCG是菱形.
课后作业
3. 已知平行四边形ABCD, 下列条件: ①AC⊥BD; ②∠BAD=90°; ③AB=BC; ④AC=BD. 其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( A )
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
课后作业
4. 如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分
线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.
求证：四边形AFCD是菱形.
平行四边形
角相等
A
E
D
三角形全等
边相等
AECF +垂直(AC⊥EF)
O
B
F
C
点击查看解题过程
菱形AECF
课后作业
证明：∵四边形ABCD为平行四边形,
四条边都相等
四条边相等的四边形是菱形
两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分
一组对角
对角线互相垂直的平行四边形是 矩形
知识结构
两条边都相等
菱形
四
边
形
对角线相等互相垂直 菱形
平行四边形
有一组邻边相等
菱形
课后作业
1. 教材P60习题18.2第6, 10题. 2. 《创优作业》主体本部分相应课时训练.
形 对角线互相平分
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
类比导入
图形 矩形
菱形
性质定理 四个角都是直角
对角线相等
四条边都相等 两条对角线互相垂 直，并且每一条对 角线平分一组对角
判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形
CD ，AD的中点. 求证：四边形EFGH 是菱形.
解：证明：∵四边形ABCD是矩形,
D
G
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D =90°, AD=BC，AB=CD.
H
F
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=CG=DG.
A
E
B
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
老师拿四根长度一样的新粉笔,首尾顺次相接拼成一 个四边形,在黑板上画出相应的图形并标上字母(如图), 得到的四边形ABCD是菱形吗?
四边形ABCD是菱形.
猜想：四条边相等的四边形是菱形．
新知探究
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
B
EG C
2
5
∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S▱ABCD=BC·FG=8×
24
5=
192 5
.
矩形和菱形小结：
课堂总结
图形 概念
性质定理
判定定理
矩形 菱形
有一个角 是直角的 平行四边
形
有一组邻 边相等的 平行四边 形是菱形
四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一 个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋, 做成一个四边形.
(2)继续转动木条,观察橡皮筋围 成的四边形什么时候变成菱形?
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,
∴▱ABCD是菱形．
例题精析
例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O,
且AB=5,AO=4,BO=3.
求证： ABCD是菱形.
证明：∵AB=5,AO=4,BO=3,
D
A
O
C
∴ AB2 AO2 BO2 .
B
∴△OAB是直角三角形.
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
对应训练
1. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若添
求证：四边形D,
∴四边形ABCD是平行四边形. B
C
又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结
归纳总结：四条边相等的四边形是菱形. 几何语言：∵AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
对应训练
1. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，
课后作业
1. 如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点
C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形.【选自教材P60，习题18.2第6题】
平行线 +角平分线
A
DE
角相等
O
边相等
B
C
F
点击查看解题过程
菱形ABCD
课后作业
证明：∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2.
∴AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又EF垂直平分AC,
A
∴∠AOE=∠COF=90°，EA=EC.
在△AOE与△COF中，∠∠A1O=∠E=2∠COF
OA=OC
B
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
又EA=EC,
∴四边形AFCE是菱形.
E 1
O 2 F
D C
∴HE=FE=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形.
对应训练
2. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构
成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？【选自教材P58，练习第3题】
解：四边形ABCD是一个菱形.
理由：过点A作AE⊥BC于点E,作AF⊥CD于点F. ∵AD∥BC，AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形，