辽宁省大连市第八十高级中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省大连市第八十高级中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是 ( )
(A)第二象限的角比第一象限的角大；
(B)若sinα＝，则α＝；
(C)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
(D)不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关。

参考答案：
D
略
2. 正方体ABCD－A B C D中，异面直线AD与BD 所成的角为（）
参考答案：
C
试题分析：如图所示，
连接B′D′，AB′．则BD∥B′D′，
∴∠AD′B′或其补角是异面直线AD'与BD 所成的角，
∵△AB′D′是等边三角形，
∴∠AD′B′= ，即为异面直线AD'与BD 所成的角
考点：异面直线及其所成的角
3. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（）。

A、和
B、和
C、和
D、和
参考答案：
C
略
4. 如图，要测量河对岸可见但不可到达的两点的距离，现选岸上相距40米的两点
，并用仪器测得：，，，，根据以上数据，求得为（）米
A． B．C． D．
参考答案：
C
略
5. 已知P是边长为2的正的边BC上的动点，则( )
A.最大值为8
B.是定值6
C.最小值为6
D.是定值3
参考答案：
B
6. 若直线与，若的交点在轴上，则的值为（）
A．4 B．－4 C．4或－4 D．与的取值有关
参考答案：
B
略
7. 根据下面的语句，可知输出的结果s是（）
参考答案：
C
略
8. 设U为全集，，则为（）
A．A B．B C． D．
参考答案：
B
9. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=15，b=10，A=60°，则sinB等于（）
A．﹣B．C．D．﹣
参考答案：
C
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理即可计算得解sinB的值．
【解答】解：∵a=15，b=10，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB===．
故选：C．
10. 过点且平行于直线的直线方程为（）
A. B.C．D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,,与的夹角为,且,则实数
的值为．
参考答案：
2
12. 给出下列命题：①函数在上的值域为；②函数，是奇
函数；③函数在上是减函数；其中正确命题的个数有．（将正确的序号都填上）
参考答案：
①
13. 比较sin1，sin2与sin3的大小关系为．
参考答案：
sin3＜sin1＜sin2
【考点】三角函数线．
【分析】先估计弧度角的大小，再借助诱导公式转化到（0，）上的正弦值，借助正弦函数在
（0，）的单调性比较大小．
【解答】解：∵1弧度≈57°，2弧度≈114°，3弧度≈171°．
∴sin1≈sin57°，
sin2≈sin114°=sin66°．
sin3≈171°=sin9°
∵y=sinx 在（0，90°）上是增函数， ∴sin9°＜sin57°＜sin66°， 即sin3＜sin1＜sin2． 故答案为 sin3＜sin1＜sin2．
14. A(2,3), B(6,-3), 点P 是线段AB 靠近A 的三等分点，P 点的坐标为 参考答案： （10/3，1） 略
15. 函数
的最小正周期为
▲
．
参考答案：
16. 函数
的定义域是 .
参考答案：
略
17. 已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．
参考答案：
试题分析：由题当且仅当时，等号成立；
考点：均值不等式
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图：已知四棱锥中，
是正方形，E 是
的中点，求证：
(1)平面
；(2) B C⊥P C 。

参考答案：
.解（1）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点， ∴E O∥PC……3分
∵PC 平面EBD,EO 平面EBD ∴PC ∥平面EBD ………6分
（2）∵PD ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥ BC ，………7分 ∵ABCD 为正方形 ∴ BC ⊥CD ，………8分
∵PD ∩CD=D, ∴BC ⊥平面PCD (10)
分
又∵ PC 平面PCD ，∴B C⊥P C ． ………12分
略
19. （本小题满分16分）
若数列是首项为
，公差为6的等差数列；数列
的前项和为
，其中为
实常数． （Ⅰ）求数列和
的通项公式；
（Ⅱ）若数列是等比数列，试证明: 对于任意的, 均存在正整数
, 使得
,
并求数列
的前项和
；
（Ⅲ）设数列满足
, 若中不存在这样的项
, 使得“”与
“
”同时成立（其中，
），求实数的取值范围．
参考答案：
解: (1)因为
是等差数列,所以……2分
而数列
的前项和为
,所以当
时,
，又
,所以………………………………………………………4分
(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以 (5)
分
对任意的,由于,
令,则,所以命题成立……………7分
数列的前项和…………………………9分
(3)易得,
由于当时, ,所以
①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得
,即,解得,…………………13分
②若,即,则当时,是递增数列,,
故由题意得,即,解得…………14分
③若,即,
则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,
则由题意,得,即,解得……15分
综上所述,的取值范围是或……………16分
略
20. 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是.
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设若,试求出木棒MN的长度a;
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，请问木棒长度能否大于a，并说明理由。

参考答案：
解：⑴如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，所以NS=，
因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，在Rt△QPS中，因为PQ=1，
∠PQS=θ，所以QS=，
1S在线段TG上，则TS=QT－，
在Rt△STM中，MS=，
因此MN=NS+MS=NS+．
②若S在线段GT的延长线上，则，在Rt△STM中，
，因此
⑵设≤≤则，因此，
令≤≤，则，
当≤≤时，上式单调递减,所以，即．所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．
略
21. .(12分)已知函数.
（1）求的周期和单调递增区间；
（2）说明的图象可由的图象经过怎样变化得到.
参考答案：
（1）………ks5u……2分
=, ……………ks5u5分
最小正周期为………………6分
由，可得，
所以,函数的单调递增区间为…………9分(2)将的图象纵坐标不变, 横坐标综短为原来倍, 将所得图象向左平稳个单位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标为原来的倍得的图象.…………12分
略
22. 已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）由已知可得二次函数f（x）关于直线x=1对称，又由二次函数f（x）的最小值为1，故可设f（x）=a（x﹣1）2+1，求出a值可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，则3a＜1＜a+1，解得实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，即2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在区间[﹣1，1]上恒成立，进而将其转化为函数的最值问题可得答案．
【解答】解：（1）∵f（0）=f（2），
故二次函数f（x）关于直线x=1对称，
又由二次函数f（x）的最小值为1，
故可设f（x）=a（x﹣1）2+1，
由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x2﹣4x+3．…
（2）要使函数不单调，
则，…
（3）若在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
即2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在区间[﹣1，1]上恒成立，
即x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，
设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，则只要g（x）min＞0，
而g（x）min=g（1）=﹣1﹣m，
得m＜﹣1．…．。