2023-2024学年山东师大附中高一数学上学期10月期中考试卷附答案解析

2023-2024学年山东师大附中高一数学上学期10月期中考试卷
2023.10
（试卷满分150分；考试时间120分钟
第I 卷（选择题）
一､单选题（共40分）
1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈
利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知
,a b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（
）A.22
ac bc > B.
2211ab a b
> C.22
a b > D.
b a a b
>2.下列函数中与函数y x =相等的函数是（）
A.2
y =
B.y =
C.y =
D.2
x y x
=
3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N ⋂为（）
A.3,1x y ==-
B.(3,1)
- C.{3,1}
- D.{(3,1)}
-4.命题“,0x x x ∀∈-
≥R ”的否定是（
）
A.000,0x x x ∃∈-<R
B.,0x x x ∀∈+≥R
C.000,0x x x ∃∈-≥R
D.
,0
x x x ∀∈-<R 5.下列命题中错误的是（）
A.当0x >时，
2
≥ B.当2x >时，1
x x
+的最小值为2
C.当04x <<2
≤ D.当32
x <
时，4
21223x x -+
≤--6.已知函数()2
3,0
1,0
x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩是(),-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（）
A.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.10,3
⎛⎤ ⎥
⎝⎦
D.10,3⎡⎫
⎪⎢⎣⎭7.定义区间()[)(][],,,,,,,a b a b a b a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，
例如，()[)1,23,5 的长度()()21533d =-+-=．用[]
x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R ．设()[]{}()1
,12
f x x
g x x x =⋅=
-，当2x k -≤≤时，不等式()()f x g x <解集的区间长度为
107
105，则实数k 的最小值为（）．
A.307
B.
163
C.6
D.7
8.已知ln3a =，3e b =，11
c =，则（
）
A.
c a b << B.c b a
<< C.a b c
<< D.b a c <<.
二､多选题（共25分）9.下列说法正确．．
的是（）
A.命题“0x ∃≤，20x x -≥”的否定是“0x ∀>，20x x -<”
B.若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”是“a c >”的充分不必要条件
C.“a b >”是“
11a b
<”的充要条件
D.若0b a >>，0m >，则b b m
a a m
+>
+10.下列命题正确．．的是（）
A.11
y x =
-的图像是由1
y x =的图像向左平移一个单位长度得到的
B.11y x
=+的图像是由1
y x =的图像向上平移一个单位长度得到的
C.函数()y f x =的图像与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称
D.11x y x -=
+的图像是由2
y x
=的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=-；②1x ∀，[)20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()
2121
0f x f x x x -<-．则下列选项成立的是（
）
A.()00
f = B.()()
13f f -<-C.若()0xf x <，则()0,x ∈+∞ D.若()10f m -<，则(),1m ∈-∞12.设1
1a b >>,，且()1ab a b -+=，那么（）
A.a b +有最小值)
2
1B.a b +有最大值
)
2
1
+
C.ab 有最大值3+
D.ab 有最小值3+.
13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x
=称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]
y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）
A.x ∀∈R ，[][]22x x =
B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡
⎤
++
=⎢⎥⎣
⎦
C.x ∀，R y ∈，若[][]
x y =，则有1x y ->-
D.方程[]2
31x x =+的解集为
第II 卷（非选择题）
（注意：考生需将填空题的答案及解体步骤写到答题卡的标准区域，只写答案没有步骤则视为无效答案，请考生须知）三､填空题（共20分）
14.函数y =
的定义域是__________.
15.已知0a >，0b >，12a a b ≥
+，12
b b a
≥+，则a b +的最小值为________．16.已知函数()+12f x x ax =+-，函数()f x 的最小值记为()M a ，给出下面四个结论：①()M a 的最小值为0；②()M a 的最大值为3；
③若()f x 在(,1)-∞-上单调递减，则a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞；
④若存在R t ∈，对于任意的x ∈R ，()()f t x f t x +=-，则a 的可能值共有4个；则全部正确命题的序号为__________.
17.()f x 在R 上非严格递增，满足()()()()(),8
11,,8
f x x f x f x
g x f x a x ⎧<⎪+=+=⎨
-≥⎪⎩，若存在符合上述要
求的函数()f x 及实数0x ，满足()()0041g x g x +=+，则a 的取值范围是__________.四､解答题（共65分）
18.已知全集{}{}
2
4,1,0,1,2,4,{Z0
3},20U M x x N xx x =--=∈≤<=--=∣∣.（1）求集合,M N ；
（2）若集合{}
()2
,2U m m M N -=⋃ð，求实数m 的值.
19.已知函数2()log (26)(0a f x kx x a =-+>且1)a ≠．（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2，3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
20.若存在常数k ，b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上的任意实数x 都有()F x kx b ≥+，
()G x kx b ≤+，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的分隔直线函数．当0mn >时，
()n f x mx x =+
被称为双飞燕函数，()n
g x mx x
=-被称为海鸥函数．（1）当0x >时，取2m =．求()2f x n >+的解集；
（2）判断：当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数解析式；若没有，请说明理由．
21.若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[],a b D ⊆（其中a b <），使得当[],x a b ∈时，
()f x 的取值范围恰为[],a b ，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[],a b 叫做等域区间.
（1）是否存在实数m ，使得函数()2
g x x m =+是(),0∞-上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值
范围；若不存在，请说明理由.
（2）若()2
2h x x mx m =++，且不等式()a h x b ≤≤的解集恰为[]
(),,a b a b ∈Z ，求函数()h x 的解
析式.并判断[],a b 是否为函数()h x 的等域区间.
22.设正实数a 、b 、c 满足：1abc =，求证：对于整数2k ≥，有3
2
k k k a b c a b b c c a ++≥+++．
1.B 【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可求解.【详解】对于A ，当2c =0时，220ac bc ==，故A 错误，对于B ，
222211a b
ab a b a b --=，由于
a b >，所以2222
110a b ab a b a b --=>，故B 正确，对于C ，若2,3,a b =-=-则224,9a b ==，此时22a b <，故C 错误，对于D ，取2,4a b ==-，则12,2b a a b =-=-，不满足b a
a b
>，故D 错误，故选：B 2.B 【解析】
【分析】根据相等函数的要求一一判定即可.
【详解】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数y x =的定义域为R ，
对于函数2
y =
，其定义域为[)0,∞+，对于函数2
x y x
=，其定义域为()(),00,∞-+∞U ，显然定义域不同，故A 、D 错误；
对于函数y x ==，定义域为R ，符合相等函数的要求，即B 正确；
对于函数y x ==，对应关系不同，即C 错误.
故选：B 3.D 【解析】
【分析】根据集合描述，联立二元一次方程求解，即可得M N ⋂.
【详解】由23
41
x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，故M N ⋂={(3,1)}-.
故选：D 4.A 【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】命题“,0x x x ∀∈-≥R ”的否定是“000,0x x x ∃∈-<R ”.
故选：A.5.B 【解析】【分析】
利用基本不等式可判断选项A ；利用对勾函数的性质可判断选项B ；利用基本不等式可判断选项C ；利用基本不等式可判断选项D ．
【详解】对于A ，当0x >2
+
≥=，当且仅当1x =时取等号，正确；对于B ，当2x >时，115
222
x x +
>+=，错误；
对于C ，当04x <<2≤=，当且仅当4x x =-，即2x =时取等号，正确；
对于D ，当32x <
时，230x -<，44212324222323x x x x -+
=-++≤-+=---，当且仅当1
2
x =时取等号，正确；故选：B 6.A 【解析】【分析】
由题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()y f x =是(),-∞+∞上的减函数，则函数21y x ax =-+在(),0∞-上为减函数，所以，02
a
≥，解得0a ≥.且有31a ≤，解得1
3
a ≤
.综上所述，实数a 的取值范围是10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故选：A.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.7.B 【解析】
【分析】根据[]
x 的定义将
()()f x g x <化为[][]2
1
12
x x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
-<-，对[)2,1x ∈--，[)1,0x ∈-，…，
依次讨论，求解不等式直到满足解集的区间长度为
107
105
，从而可求得k 最小值.【详解】()[]{}[][]()[][]2
f x x x x x x x x x =⋅=⋅-=-，()112
g x x =-，
()()[][]2
112f x g x x x x x <⇒--<
即[][]2112x x x ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭-<-，
当[)2,1x ∈--时,[]2x =-，上式可化为532x -<，∴6,15x ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，其区间长度为15；当[)1,0x ∈-时,[]1x =-，上式可化为3
02
x -<，∴x ∈∅；当[)0,1x ∈时,[]0x =，上式可化为1
12
x -<-，∴x ∈∅；当[)1,2
x ∈时,[]1x =，上式可化为102
x <，∴x ∈∅；
当[)2,3x ∈时,[]2x =，上式可化为3
32
x <，∴x ∈∅；当[)3,4x ∈时,[]3x =，上式可化为
582x <，∴163,5x ∈⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，其区间长度为15；当[)4,5x ∈时,[]4x =，上式可化为
7152x <，∴304,7x ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，其区间长度为2
7；
当[)5,6x ∈时,[]5x =，上式可化为
9242x <，∴165,3x ∈⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，其区间长度为13；所以当165,3x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,不等式的解集为165,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；∴当1623x -≤≤
时，不等式()()f x g x <解集的区间长度为1121107
5573105
+++=，所以实数k 的最小值为16
3
.
故选：B
【点睛】函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.8.A 【解析】
【分析】利用ln ()x f x x =的单调性比较,a b 的大小关系，利用ln ()x f x x =的单调性证明111
<即
可比较出,,a b c 的大小关系.【详解】令ln ()x
f x x
=
，则2
1ln ()x f x x -'=，由()0f x '>得，()0,e x ∈，由()0f x '<得，()e,+x ∞∈，所以()f x 在()0,e 上为增函数，在()e,+∞为减函数.因为e 3<，所以
ln e ln 3e 3>，即3
ln 3e
>，故a b <.
因为，所以
ln 2ln 4
24=<
22ln <
所以ln ln11<，所以2111
<，而ln31a =>，所以c<a<b ．故选：A
二､多选题（共25分）9.BD 【解析】
【分析】对于A ，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B ，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C ，举例判断，对于D ，作差法分析判断
【详解】对于A ，命题“0x ∃≤，20x x -≥”的否定是“0x ∀≤，20x x -<”，所以A 错误，对于B ，当22ab cb >时，20b >，a c >，而当a c >时，22ab cb ≥，所以“22ab cb >”是“a c >”的充分不必要条件，所以B 正确，对于C ，若1,2a b ==-，则
111
12
a b =>=-，所以“a b >”不是“11a b <”的充要条件，所以C 错误，
对于D ，因为0b a >>，0m >，所以0,0b a a m ->+>，所以
()0()b b m m b a a a m a a m +--=>++，所以b b m
a a m
+>+，所以D 正确，故选：BD 10.BCD
【解析】
【分析】由函数的平移法则和对称性可直接判断A ，B ，C 选项，采用分离常数法化简函数，再结合函数平移法则可判断D 选项.【详解】11
y x =
-的图像是由1
y x =的图像向右平移一个单位长度得到的，故A 项错误；
11y x
=+
的图像是由1
y x =的图像向上平移一个单位长度得到的，故B 项正确；
函数()y f x =的图像与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称，故C 项正确；
()1212
1111
x x y x x x -++-=
==-+++，故11x y x -=
+的图像是由2y x =的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，故D 项正确.故选：BCD 11.AB 【解析】
【分析】对A ：根据函数奇偶性的性质，赋值即可求得结果；对B ：利用函数奇偶性和单调性即可判断；
对C ：利用函数性质，分类讨论，即可求得不等式解集；对D ：由()00f =，结合函数单调性，即可求得不等式解集.
【详解】由x ∀∈R ，()()f x f x -=-得：函数()f x 是R 上的奇函数；由1x ∀，[)20,x ∈+∞，12x x ≠，
()()
2121
0f x f x x x -<-得：()f x 在[)0,∞+上单调递减；
又()y f x =是连续函数，故可得()f x 在R 上单调递减；对A ：()()f x f x -=-，令0x =，故可得()00f =，A 正确；对B ：()()13f f -<-，即()()13f f -<-，
由()y f x =在R 上单调递减，可得()()13f f -<-，故B 正确；对C ：对()0xf x <，当0x >时，()0f x <；当0x <时，()0f x >；由()y f x =在R 上单调递减，且()00f =可知，
()0xf x <的解集为{|0}x x ≠，故C 错误；
对D ：()10f m -<，即()()10f m f -<，则10m ->，解得1m >，故D 错误；故选：AB ．12.AD 【解析】
【分析】直接利用基本不等式分别求出a b +和ab 的范围，对照四个选项进行判断.【详解】1a >Q ，1b >，
∴a b + a b =时取等号，
∴1()ab a b ab =-+- 1+，
∴21)3ab =+ ，ab ∴有最小值3+； 2
(
)2
a b ab + ，当a b =时取等号，∴2
1()(
)()2
a b ab a b a b +=-+-+ ，2()4()4a b a b ∴+-+ ，2[()2]8a b ∴+-
，解得
2a b +- ，即1)a b ++ ，a b ∴+有最小值1)+．
故选：AD 13.BCD 【解析】
【分析】对于A ：取1
2
x =
，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,
2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2
a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]2
31x x =+代入不等式[][]()
2
22
1x x x ≤<
+得到[]
x 的范围，再求得x 值.
【详解】对于A ：取12x =
，[][][]1211,2220x x ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡
⎤⎡⎤=-∈∴++
=+++⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
12[]2x a ⎡
⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，
当10,
2a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣
⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡
⎤++=⎢⎥⎣
⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时1[]2[]2
x x x ⎡
⎤++=⎢⎥⎣
⎦
成立.
当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+
∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡
⎤++=+=+⎢⎥⎣
⎦，故当1
,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦
成立.综上B 正确.
对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则
|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;
对于D ：由[]2
31x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，
所以[]1
3
x ≥-
，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2
22
1x x x ≤<
+得[]
[][]()2
2
311x x x ≤+<+，
由[][]2
31x x ≤+解得[]33 3.322
x ≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()
2
311x x +<
+解得
[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，
所以[]2x =或[]3x =，
当[]2x =时x =[]3x =时x =，
所以方程[]2
31x x =+的解集为
，
故选：BCD.
【点睛】高斯函数常见处理策略:
(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.
(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]
x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，
[0,1)a ∈处理.
(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]
x 的范围,再求x 的取值范围.
(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]
x 构成的不等式求解.14.[
)
1,+∞【分析】根据解析式建立不等式求解即可.
【详解】由310x -≥，即31x ≥，解得1x ≥
，即函数y =的定义域是[)1,+∞.
故答案为：[
)1,+∞
15.【分析】由已知可得33
a b a b
+≥+，结合基本不等式求2()a b +的最小值，再求a b +的最小值.【详解】因为12a a b ≥+，12
b b a ≥+，
所以33
a b a b
+≥+，又0a >，0b >，
所以2
3333()()612b a a b a b a b a b ⎛⎫
+≥++=++≥
⎪⎝⎭
，当且仅当a b ==
所以a b +≥
a b ==时取等号．所以a b +
的最小值为
故答案为：16.①②④【解析】
【分析】把给定函数按a 的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出()M a 的表达式并判断AB ；由在
(,1)-∞-上单调性确定a 值判断C ；由函数图象具有对称性求出a 值判断D 作答.
【详解】当0a =时，1,1
()+123,1
x x f x x x x -+≤-⎧=+=⎨+>-⎩，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上
递增，()(1)2M a f =-=；
当0a >时，(1)1,12()(1)3,12(1)1,a x x f x a x x a a x x a ⎧
⎪-++≤-⎪
⎪
=--+-<<⎨⎪
⎪
+-≥⎪⎩
，
若01a <<，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，()(1)2M a f a =-=+，若1a =，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在[2,)+∞上递增，当12x -≤≤时，()3M a =，若1a >，函数()f x 在2(,a -∞上递减，在2[,)a +∞上递增，22
()()1M a f a a
==
+；当20a -<<时，2(1)3,2()(1)1,1(1)3,1a x x a f x a x x a a x x ⎧
--≤⎪⎪
⎪
=-++<<-⎨⎪
--+≥-⎪⎪⎩
，
若10a -<<，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，()(1)2M a f a =-=+，若1a =-，函数()f x 在(,2]-∞-上递减，在[1,)-+∞上递增，当21x -≤≤-时，()1M a =，若21a -<<-，函数()f x 在2(,]a -∞上递减，在2[,)a +∞上递增，22
()()1M a f a a
==-
-；当2a =-时，33,1
()3+133,1
x x f x x x x --≤-⎧==⎨+>-⎩，函数()f x 在(,1]-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，
()(1)0M a f =-=；
当2a <-时，(1)3,12()(1)3,12(1)3,a x x f x a x x a a x x a ⎧
⎪--≤-⎪
⎪
=++-<<⎨⎪
⎪
--+≥⎪⎩
，
函数()f x 在2(,a -∞上递减，在2[,)a +∞上递增，22
()()1M a f a a
==
+，因此2
1,(,2)(1,)2
()1,[2,1)2,[1,1]a a M a a a
a a ∞∞⎧+∈--⋃+⎪⎪⎪=--∈--⎨⎪+∈-⎪⎪⎩
，于是()[0,3]M a ∈，即()M a 的最小值为0，最大值为3，
①②正确；
显然当10a -<<时，函数()f x 在(,1]-∞-上也递减，③错误；当0a =或2a =-时，函数()y f x =的图象关于直线=1x -对称，
当0a >时，当且仅当10a -=，即1a =时，函数21,1
()3,1221,1
x x f x x x x -+≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩的图象关于直线12x =对称，
当20a -<<时，当且仅当10a +=，即1a =-时，函数23,2
()1,2123,1
x x f x x x x --≤-⎧⎪
=-<<-⎨⎪+≥-⎩
的图象关于直线32x =-
对称，
当2a <-时，不存在直线x t =，使得函数()y f x =的图象关于直线x t =对称，则当31
{,1,}22
t ∈-
-时，对于任意的x ∈R ，()()f t x f t x +=-成立，此时{2,1,0,1}a ∈--，④正确，所以正确命题的序号为①②④.故答案为：①②④
【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑
17.()()4,22,4-- 【解析】
【分析】根据题意整理可得：对*n ∀∈N ，则()()f x n f x n +=+，分类讨论00,4x x +的取值范围，分析运算.
【详解】∵()()11f x f x +=+，即()()11f x f x +-=对*n ∀∈N ，则
()()()()()()()()
1121f x n f x n f x n f x n f x n f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+-+-++--+-+⋅⋅⋅++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()111f x n f x =++⋅⋅⋅++=+，
故对*n ∀∈N ，则()()f x n f x n +=+，∵()()0041g x g x +=+，则有：1.当012x ≤-时，则048x +≤-，
可得()()()000441f x a f x f a x a -=+=-+-+，不成立；
2.当0128x -≤-<时，则0484x +-≤-<，
可得()()()000441f x f x a f x +=+-=+，则()()003x a f f x =+-，若3a -=，解得3a =-，符合题意；
特别的：例如()[
),,1,f x k x k k k =∈+∈Z ，取{}011,10,9,8x ∈----，则34a ≤-<，解得
43a -<≤-；
例如()(]
,,1,f x k x k k k =∈+∈Z ，取{}011,10,9,8x ∈----，则23a <-≤，解得42a -<<-；故43a -<≤-；
3.当084x -<<时，则0448x -<+<，
可得()()()000441f x f x f x +=+=+，不成立；4.当048x ≤<时，则04128x +<≤，
可得()()()000441f x a f x x a f -+-=+=+，则()()003f x f x a -=+，若3a =，解得3a =，符合题意；
特别的：例如()[
),,1,f x k x k k k =∈+∈Z ，取{}04,5,6,7x ∈，则34a ≤<；例如()(]
,,1,f x k x k k k =∈+∈Z ，取{}04,5,6,7x ∈，则23a <≤；故34a ≤<；
5.当08x ≥时，则0412x +≥，
可得()()()000441f x a f x f a x a -=+=-+-+，不成立；综上所述：a 的取值范围是()()4,22,4-- .故答案为：()()4,22,4-- .【点睛】关键点点睛：
（1）对()()11f x f x +=+，结合累加法求得()()f x n f x n +=+；
（2）对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论00,4x x +与8±的大小关系；
（3）对特殊函数的处理，本题可取()[),,1,f x k x k k k =∈+∈Z 和()(]
,,1,f x k x k k k =∈+∈Z .四､解答题（共65分）
18.1）{}01
2M =,,，{} 1,2N =-（2）2
m =-【解析】
【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；
（2）先求出M N ⋃，再求()U M N ⋃ð，利用集合相等建立方程组求解即可.【小问1详解】
{}{}
{}2{Z03}0,1,2,201,2M x x N xx x =∈≤<==--==-∣∣，
所以{}01
2M =,,，{}1,2N =-；【小问2详解】
由（1）得{}1,0,1,2M N ⋃=-，
又{}4,1,0,1,2,4U =--，所以(){}{}
2
4,4,2U M N m m ⋃=-=-ð，
所以24
24
m m ⎧=⎨-=-⎩，得2m =-.
19.（1）16
k >；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得2260kx x -+>恒成立，再根据0k >，且∆4240k =-<，求得k 的范围．（2）分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得k 的值．【小问1详解】
函数2()log (26)(0a f x kx x a =-+>且1)a ≠的定义域为R ，故2260kx x -+>恒成立，
0k ∴>，且∆4240k =-<，∴16
k >
；【小问2详解】
令()2
26g x kx x =-+，当0k ≠时，是二次函数，其对称轴为01
x k
=
，当0k =时，()26g x x =-+，有()03g =，不符合题意，当0k ＜时，()390g k =＜，不合题意，
下面只讨论0k ＞的情况；①当32
2
a ≥
时，要使函数()log ()a f x g x =在区间[2，3]上为增函数，
则函数2()26y g x kx x ==-+在[2，3]上恒正，且为增函数，
0k ＞，则必有
12k
≤，即1
2k ≥，并且有()()min 2420g x g k ==+＞，()39g k =，
()()()()2
max
3log 3log 92,9
a a a f x f g k k ∴=====
12≥，满足题意；②当32
12
a ＜＜时，讨论与①相同，但2192a k =＜，不成立；
③当01a <<时，要使函数()f x 在区间[2，3]上为增函数，则函数2()26y g x kx x ==-+在[2，3]上恒正，且为减函数．
0k ＞，则必有
1
3k ≥，即103
k ≤＜，并且()()min 390g x g k ==＞，()()()2max
11
3log 92,993
a a f x f k k ====＜＜，满足题意；
综上，（1）16k ＞，（2）当32
2
a ≥和01a ＜＜时，存在29a k =
使得()f x 在[]2,3上为增函数，并且最大值为2.20.（1）答案见解析（2）存在分隔直线函数，解析式为y mx =，理由见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式转化为22(2)0x n x n -++>，对n 分类讨论解不等式；（2）对m ，n 分类讨论找出介于两个函数值之间的函数解析式.【小问1详解】
0x >，2m =时，()22n
f x x n x
=+
>+，可化为22(2)0x n x n -++>，即(1)02
n
x x -->，
当
12
n
=，即2n =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当
12
n
>，即2n >时，不等式的解集为{01x x <<或2n x ⎫>⎬⎭
；当012n
<
<，即02n <<时，不等式的解集为02n x x ⎧<<⎨⎩
或}1x >.
【小问2详解】
若0m >，0n >，当0x >时，()n
f x mx mx x
=+
≥恒成立，()n
g x mx mx x
=-
≤恒成立，则y mx =是()y f x =与()y g x =的分隔直线函数；若0m <，0n <，当0x >时，()n
f x mx mx x
=+≤恒成立，
()n
g x mx mx x =-≥恒成立，则y mx =是()y f x =与()y g x =的分隔直线函数；
综上所述，()y f x =与()y g x =的分隔直线函数解析式为y mx =.21.1）存在，31,4m ⎛⎫∈-- ⎪⎝
⎭
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据“正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程210a a m +++=在区间
11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
内有实数解”，利用构造函数法来求得m 的取值范围.
（2）根据“不等式()a h x b ≤≤的解集”求得,a b 的可能取值，再结合“等域区间”的定义求得正确答案.
【小问1详解】
因为函数()2
g x x m =+是(),0∞-上的减函数，
所以当[],x a b ∈时，()()g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22
a m
b b m a
⎧+=⎨+=⎩两式相减得22a b b a -=-，即()1b a =-+，代入2a m b +=得210a a m +++=，由0a b <<，且()1b a =-+得1
12
a -<<-
，故关于a 的方程210a a m +++=在区间11,2⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
内有实数解，记2()1h a a a m =+++，
则(1)0
10
2h h ->⎧⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝
⎭⎩，解得31,4m ⎛
⎫∈-- ⎪⎝⎭.
【小问2详解】
()22h x x mx m
=++由不等式()a h x b ≤≤的解集恰为[]
(),,a b a b ∈Z ，且()h x 为二次函数，得()h a b =，()h b b =且()2,2,2
a b
m a b m a b m +-=+=-+=-.所以22a ma m b ++=，①22b mb m b ++=，②将()2,2
a b
m a b m +=-+=-
代入①，230ab a b ++=，整理得()()23213a b ++=.又a b <，a ，b ∈Z ，
从而231213a b +=⎧⎨+=⎩或233211a b +=-⎧⎨+=-⎩.所以11a b =-⎧⎨=⎩或31a b =-⎧⎨
=-⎩当11
a b =-⎧⎨=⎩时，0m =，()2
h x x =当[]1,1x ∈-时，()[]0,1h x ∈，所以[]1,1-不是()h x 的等域区间.
当31
a b =-⎧⎨=-⎩时，2m =，()242h x x x =++.当[]3,1x ∈--时，()[]
2,1h x ∈--，所以[]3,1--不是()h x 的等域区间.
【点睛】函数中的新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，以不变应万变才是制胜法宝.22.证明见解析【解析】
【分析】本不等式是对称不等式，显然当a b c ==时取等号．从不等式局部入手，当
1a b c ===时，()1
22
1111
4222k k a a b a b -++++++
+
个
，用k 元均值不等式即可求解．【详解】因为(
)1
22
11114
2222k k a k
a b k a
a b -++++++≥⋅+ 个
，所以12()242
k a k k a a b a b -≥-+-
+.同理可得1212(),()242242
k k b k k c k k b b c c c a b c c a --≥-+-≥-+-
++.三式相加可得：
13()()(2)222
k k k a b c k a b c a b c k a b b c c a ++≥++-++--+++(1)3333
()(2)(1)(2).22222
k a b c k k k -=
++--≥---=【点睛】对于对称型不等式,有时从整体考虑较难入手,故比较管用的手法是从局部入手,从局部导出一些性质为整体服务,这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.。