浙江省杭州市萧山中学2020-2021学年高三下学期返校考试数学试题

浙江省杭州市萧山中学2020-2021学年高三下学期返校考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知,x y R ∈，设集合(){}2ln 1A x y x
==-，(){}2ln 1B y y x ==-，则 R B A ⋂=( )
A ．()0,1
B ．(],1-∞-
C ．[)0,1
D ．(),1-∞- 2．下列通项表达式中能表达数列,1,,1,,1,, 1......i i i i ----的是( )
A ．n i
B ．n i -
C ．3n i
D ．3n i -
3．某几何体三视图如图所示（单位：cm ），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm 3）是( )
A ．8243π-
B ．16243π-
C ．8303π-
D ．16303
π- 4．以下不是立体几何公理的是( )
A ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
B ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线
C ．经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面
D ．经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
5．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )
A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12
B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14
C ．对任意x ，y ∈(0，1)，
D (ξ)≤
E (ξ)
D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>14
6．以下方程能表达该图象的是( )
A ．()221xy x y
-= B ．()221xy y x -= C ．221xy x y -= D ．()221xy x y -=
7．设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈>R ，则“02b f f a ⎛⎫⎛⎫-
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“()f x 与(())f f x ”都恰有两个零点的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8．已知0x >，则92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+
-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( )
A ．
B ．48
C ．79316
D ．60
9．如图所示，在顶角为3
π圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1,4的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于EF ，则截面所表示的椭圆的离心率为
( )
（注：在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,B C ，
由相切的几何性质可知，AE AC =，AF
AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=，
为椭圆的几何意义）
A ．12
B
C
D 10．已知0a >，0b >，下列说法错误的是( )
A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥
B ．若23a b e a e b +=+，则a b >
C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立
D ．ln 0b b a a e
+≥恒成立
二、双空题
11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织
______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.
12．()91ax +的二项展开式中系数最大的是第三项，且a N +∈，则a =______，展开
式中二项式系数最大的是第______项.
13．设实数,x y 满足条件30x y -≥，22x y +≤，则可行域面积为______，xy 最大
值为______.
14．已知三角形ABC 的外接圆半径为1，外接圆圆心为O ，且O 点满足2340OA OB OC ++=，则cos ACB ∠=______，AB OA ⋅=______.
三、填空题
15．已知奇函数()f x 的定义域为R 且在R 上连续.若0x >时不等式()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
的解集为()2,3，则x ∈R 时()1f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
的解集为______.
16．已知在五位车牌中，字母最多有两个，且为防止混淆1和l ，0和O ，车牌中不设
置字母l 和O ，则“浙A ”的五位车牌最多有______块.
17．已知关于x 的方程()22ln ln 2x m e
e x x m +--=++恰有两个实数解，则实数m 的
取值范围是______.
四、解答题
18．三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且50cos cos 725cos A B C ⋅+=.
（1）若三角形是锐角三角形，求tan B 的取值范围；
（2）若4a =，3b =，求三角形ABC 的面积.
19．在四面体ABCD 中，已知2AC BC DC DA DB =====，AB x =.
（1）当四面体体积最大时，求x 的值；
（2）当x =ABCD 的外接球球心为O ，求AO 和平面BCD 所成夹角
的正弦值.
20．已知{}n a 是一个单调递增的等比数列，{}n b 是一个等差数列，n S 是n b 的前n 项和，其中134
a ，2a ，3a 成等差数列，23438a a a ++=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若22b S ⋅，33b S ⋅，42a 既成等比数列，又成等差数列.
（i ）求{}n b 的通项公式；
（ii ）对于数列{}n T ，若1k k T T -≥且1k k T T +≥，或1k k T T -≤且()
1k k T T k N ++≤∈，则k 为数列n T 的转折点，求{}n n b S ⋅的转折点个数.
21．已知抛物线21:4C y x =和x 轴上的定点()4,0M ，过抛物线焦点作一条直线交1
C 于A 、B 两点，连接,AM BM 并延长，交1C 于C 、
D 两点.
（1）求证：直线CD 过定点；
（2）求直线AB 与直线CD 最大夹角为θ，求tan θ.
22．已知函数()()()2
1ln f x x a x a R =--∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，且关于x 的方程()()f x b b R =∈恰有
三个实数根3x ，4x ，5x ()345x x x <<，求证：()21532x x x x ->-.
参考答案
1．A
【分析】
由题意{}11A x =-<<，{}0B y y =≤，利用补集和交集的概念计算即可.
【详解】
由题意(){}{}
{}22ln 11011A x y x x x x ==-=->=-<<， (){}{}{}2
ln 1ln10B y y x y y y y ==-=≤=≤， 所以() 0,R B =+∞，() 0,1R B A ⋂=.
故选：A.
【点睛】
本题考查了对数型复合函数的定义域和值域的求解，考查了集合的运算，属于基础题.
2．D
【分析】
根据数列中的项和通项公式逐项排除即可得解.
【详解】
当1n =时，1a i =，而1i i -=-，3i i =-，故排除B 、C 选项；
当2n =时，21a =，而21i =-，故可排除A 选项.
故选：D.
【点睛】
本题考查了数列通项的应用和复数的运算，属于基础题.
3．C
【分析】
由三视图还原出几何体为一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，分别求出各部分体积即可得解.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，
长方体的体积为134336V =⨯⨯=；
截去的三棱锥有三个两两垂直的棱，长度分别为3，3，4，
则截去的三棱锥体积为211334632
V =⨯⨯⨯⨯=； 截去的半圆柱的底面半径r 满足()11543422
r ⋅+=⨯⨯即43r =，高为3， 则截去的半圆柱的体积为231483233
V ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭； 所以该几何体体积123883663033
V V V V ππ=--=--
=-. 故选：C.
【点睛】
本题考查了三视图的识别和组合体体积的求解，属于基础题.
4．C
【分析】
由题意逐项判断即可得解.
【详解】
“经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”为立体几何公理，
“经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面”为该公理的推论.
故选：C.
【点睛】
本题考查了立体几何公理，关键是对于公理的识记，属于基础题.
5．C
【分析】
表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。

【详解】
解：依题意可得()2E xy ξ=，
()()()()()()()222222222212121212D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yx ξ⎡⎤=-+-=-+-=-+-⎣⎦因为1x y +=
所以()21222
x y xy +≤=即()12E ξ≤故A ，B 错误；
()()()()()()222221121212D x x x y yx x x y yx x yx ξ⎡⎤∴=-+-=-+=-⎣⎦
01x <<
1211x ∴-<-<
()2
0211x ∴<-< ()D yx ξ∴<即()()12D E ξξ<
，故C 成立； ()()
()2211244
x y D x yx xy ξ+=-<≤=故D 错误 故选：C
【点睛】 本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。

6．A
【分析】
由图象的特征对比方程的性质，逐项排除即可得解.
【详解】
设点(),a b 为该图象上一点，
对于B ，图象在第一象限存在点满足a b >即22a b >，此时()2201ab b a -<≠，
故B 错误； 对于C ，图象经过第二、四象限即存在点满足0ab <的情况，则2201ab a b -<≠，故C
错误；
对于D ，()()()2222a b a b ab a b ⋅--=-，由(),a b -不在图象上，故D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了由图象识别方程，关键是找到选项的差异，属于基础题.
7．C
【详解】 显然2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
是()f x 的最小值，若()f x 有两个零点， 设12,x x ，且12x x <，由()()0f f x =得()1f x x =或()2f x x =，
由题意()()0f f x =只有两个零点，因此()1f x x =无解，()2f x x =有两个不等实根， 即122b x f x a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，02b f f a ⎛⎫⎛⎫∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，必要性得证， 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，由于0a >，因此()f x 有两个零点， 设为12,x x ，不妨设122b x f x a ⎛⎫<-
< ⎪⎝⎭，由()()0f f x =得()1f x x =或()2f x x =， 显然()1f x x =无解，()2f x x =有两个不等实根，
即()()f f x 有两个零点，充分性得证，
故题中是充分必要条件，故选C.
【方法点睛】
本题通过充分条件与必要条件考查二次函数的图象与性质，属于难题题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.本题中，不但要理解充分条件与必要条件的基本含义，更要熟练掌握二次函数的图象与性质，以及二次函数与一元二次方程的关系.
8．B
【分析】 转化条件得29251535148x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据函数单调性确定15x x -的取值范围后即可得解.
【详解】 由题意229252253035219x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+
-⋅++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22151515249148x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 令()15f x x x =-，0x >，由函数单调性可知()(),f x ∈-∞+∞，
所以当151x x -=-时，92535x x x x ⎛⎫⎛⎫
+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
取最小值48.
故选：B. 【点睛】
本题考查了函数单调性的应用，考查了整体意识，属于中档题. 9．C 【分析】
设两球的球心分别为1O ，2O ，圆锥顶点为S ，取两球与圆锥同一母线上的切点G ，H ， 连接1O G ，2O H ，1O F ，2O E ，连接2O S 交EF 于K
，由题意可得AE AF +=
利用平面几何知识即可得FE =. 【详解】
设两球的球心分别为1O ，2O ，圆锥顶点为S ，取两球与圆锥同一母线上的切点G ，H ， 连接1O G ，2O H ，1O F ，2O E ，连接2O S 交EF 于K ， 由顶角为
3
π
，两个球的半径分别为1，4，
可知
1tan
6
O G SG π
=
=
2tan
6
O H SH π
=
=112
sin
6
O G SO π
=
=，
228
sin
6
O H SO π
=
=，
所以GH =
AE AF AB AC GH +=+==，126O O =， 由12O FK O EK △△∽可得
11221
4
O K O F FK O K EK O E ===， 所以2245O K =
，所以EK ==
，54FE EK ==，
所以该椭圆离心率EF e AE AF ===
+故选：C.
【点睛】
本题考查了圆锥和球的几何特征，考查了椭圆的性质，属于中档题. 10．D 【分析】
由a
b b a
a a
b a b ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭
可得1b a a b ⋅=即11b a a ab -=，利用基本不等式可判断A ；利用反证法可
证明B ；由()ln ln ln
1b b
a a
b a b a a
-≥-⇔-≥-，构造函数求导可判断C ；设()()ln 0h x x x x =>，()()0x
x
g x x e =
>，求导后根据函数的最值可判断D ；即可得解. 【详解】
对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1a a
b b
b a a
a a a
b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以1b
a
a b ⋅=即11
b a
a
ab
-=
，由10b a -≥可知101b a a -<≤，则101ab <
≤，
所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，
故32a b e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确； 对于C ，()ln ln ln
1b b
a a
b a b a a
-≥-⇔-≥-，
令0b x a
=
>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x -'=，
则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以
ln 10b b a a --≥即ln 1b b
a a
-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x x
g x x e
=>， 则()ln 1h x x '
=+，()1x x
g x e
-'=
， 所以()h x 在(
)1
0,e
-上单调递减，在()1
,e
-+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，
()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，
所以()()1
1
0h e
g e --+<，即当1
a b e
-==时ln 0b b
a a e
+
<，故D 错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查了基本不等式和导数的应用，关键是对条件做适当的变形，属于难题. 11．
10
31
165 【分析】
设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得15
31
a =后即可得解. 【详解】
设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()515
12512
a S -==-，解得1531
a =
， 所以2110231a a ==，()10105
123116512
S -=
=-. 故答案为：10
31
，165.
【点睛】
本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12．3或4 5和6 【分析】
写出()9
1ax +的二项展开式的通项公式，由题意2923
93
99292191
9
9C a C a C a C a ----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解不等式组即可得解；由二项式系数的定义可得展开式中二项式系数最大为第3和4项；即可得解. 【详解】
由题意()9
1ax +的二项展开式的通项公式为()
9991991r
r
r r r r r T C ax C a x ---+=⋅=⋅⋅，
由第三项的系数最大可得2923
9399292191
9
9C a C a C a C a ----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即3684
369a a ≥⎧⎨≥⎩， 解得
21
49
a ≤≤，又a N +∈，所以3a =或4； 展开式中二项式系数最大的是4
9C 和5
9C ，即为第5项和第6项. 故答案为：3或4；5和6 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题. 13．
127 1
2
【分析】
分类讨论即可画出可行域，即可求出可行域面积；由图形可知，当xy 取最大值时，点(),x y 在线段AB 上，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】
由题意得03022y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩或03022y x y x y <⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，画出可行域如图阴影部分，
易得点()2,0B ，由3022
x y x y -=⎧⎨
+=⎩可得点26,77A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
所以可行域面积为16122222
77
AOB S S ==⨯⨯⨯
=△; 由图形可知，当xy 取最大值时，点(),x y 在线段AB 上， 易知121227y x x ⎛⎫=-
+≤≤ ⎪⎝⎭
，则()211121122227xy x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以当1x =时，xy 取最大值为1
2
. 故答案为：127，12
. 【点睛】
本题考查了线性规划的应用，考查了方程与函数思想，属于中档题.
14．
4
34-
【分析】
由题意()
423OC OA OB =-+，两边同时平方可得1
cos 4
AOB ∠=
，利用二倍角余弦公式即可得cos ACB ∠；转化条件为()
AB OA OB OA OA ⋅=-⋅即可得AB OA ⋅；即可得解. 【详解】
由题意可知ABC 为锐角三角形，点O 在ABC 内部， 由2340OA OB OC ++=可得()
423OC OA OB =-+，
两边同时平方可得2
2
2
164912cos OC OA OB OA OB AOB =++⋅⋅∠， 由1OC OA OB ===可得1cos 4
AOB ∠=
，
由2AOB ACB ∠=∠可得2cos 2cos 1AOB ACB ∠=∠-得cos ACB ∠=
； 由()
2
13144
AB OA OB OA OA OB OA OA ⋅=-⋅=⋅-=
-=-.
故答案为：4
，34-.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积与二倍角余弦公式的综合应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
15．()()()3,20,23,--+∞
【分析】
当0x >时，易得()1f x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的解集为()()0,23,+∞；
利用奇函数的性质可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫
-->-- ⎪⎝⎭
的解集为()2,3，令0t x =-<即可得解. 【详解】
由题意可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的解集为()()0,23,+∞，
由奇函数的性质可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫-->-- ⎪⎝⎭
的解集为()2,3，
令0t x =-<，则()1f t f t ⎛⎫->- ⎪⎝⎭
的解集为()3,2--，
即当0x <时，()1f x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的解集为()3,2--， 所以()1f x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的解集为()()()3,20,23,--+∞.
故答案为：()()()3,20,23,--+∞.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.
16．67.0610⨯ 【分析】
按车牌中没有字母、有一个字母和有两个个字母分类讨论，求和即可得解. 【详解】
若车牌中没有字母则共有510100000=块车牌；
若车牌中含有一个字母则共有14
524101200000C ⋅⋅=块车牌； 若车牌中含有两个个字母则共有223
524105760000C ⋅⋅=块车牌；
则“浙A ”的五位车牌最多有6100000120000057600007.0610++=⨯块. 故答案为：67.0610⨯. 【点睛】
本题考查了分步相乘和分类相加计数原理的应用，属于中档题. 17．m e =- 【分析】
由题意转化条件为()()2ln 2ln 2x m
e
x m x e x x +-+=+--+恰有两解，设
()()2ln 2ln 2f x x e x x =+--+，求导后求得函数()f x 的单调性和极值，令t x m =+，()t g t e t =-，求导后确定函数()g t 的单调性和极值，根据两函数的单调性和极值情况即
可确定m 的值. 【详解】 由题意可得()()2ln 2ln 2x m
e
x m x e x x +-+=+--+恰有两解，
设()()2
ln 2ln 2f x x e x x =+--+，则()2ln 22ln 2
1x e x x e f x x x x
--+-'=
+-=， 令()2ln 2h x x x e =-+-，则()22
1x h x x x
-+'=-=，
所以函数()h x 在()0,2单调递增，在()2,+∞上单调递减，
又()130h e =-<，10h
e =>， ()0h e =，
所以函数()h x 存在两个零点(1
x ∈，2
x e =，
所以函数()f x 在()10,x ，(),e +∞单调递减，在()1,x e 上单调递增，且()1f e =， 令t x m =+，()t
g t e t =-，则()1t
g t e '=-，
可得()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()()01g t g ≥=即()1x m
e x m +-+≥，
则要使()()2ln 2ln 2x m
e
x m x e x x +-+=+--+恰有两根，则要使()()x m
f x e
x m +=-+在()10,x ，()1,x +∞上各有一个根， 故()()x m
f x e
x m +=-+在()1,x +∞上的根为x e =，此时0x m +=即m e =-.
故答案为：m e =-. 【点睛】
本题考查了利用导数研究方程的根的问题，考查了构造新函数的能力，属于难题.
18．（1）7,24⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2【分析】
（1）由题意得50cos cos 25cos 70A B C ⋅=->，计算出7
cos 25
C >后，利用诱导公式和同角三角函数的关系即可得解；
（2）利用余弦定理求出c ，利用同角三角函数的平方关系求出sin C 后，再利用三角形面积公式即可得解. 【详解】 （1）
ABC 为锐角三角形，∴A ，B ，0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
∴cos cos 0A B ⋅>即50cos cos 25cos 70A B C ⋅=->， ∴7cos 25
C >
， 又 ()2B A C C π
π=-->
-，∴7sin sin cos 225B C C π⎛⎫
>-== ⎪⎝⎭
,
∴24cos 25B =<
，∴sin 7tan cos 24
B B B =>，
∴tan B 的取值范围为7,24⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
（2）由题意222222222
50725222b c a c a b a b c bc ac ab
+-+-+-⋅⋅+=⋅
，
化简得425045712250c c --=，解得2457100
c +=
，
所以sin C ===
=
所以1sin 2ABC S bc A ==△【点睛】
本题考查了余弦定理和三角函数的综合应用，考查了计算能力，属于中档题.
19．（1；（2）26
. 【分析】
（1）取DC 中点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AH BE ⊥，由题意可知当AE ⊥平面BCD 时，四面体的面积最大，求出此时的x 的值即可得解；
（2）在线段BE 上取O '，使23BO BE '=
=，O '为BCD 的内心，过O '作'⊥O O 平面BCD ，则球心在直线O O '上，设O O m '=，球的半径为r ，由勾股定理求得m 后，由
sin cos OAP θ=∠即可得解.
【详解】
（1）取DC 中点E ，连接AE ，BE ，过点A 作AH BE ⊥,
由2AC BC DC DA DB =====可得AE CD ⊥，BE CD ⊥，AE BE ==
由AE
BE E =可得CD ⊥平面ABE ，
又CD ⊂平面BCD ，所以平面ABE ⊥平面BCD ，所以AH ⊥平面BCD ， 即AH 即为四面体的高，由AH AE ≤，可知当AE ⊥平面BCD 四面体面积最大，
此时AB x ==x ；
（2）当x =AB AE BE ===H 为BE 的中点，
所以BH =
，32AH =，
在线段BE 上取O '，使23BO BE '=
=，易知O '为BCD 的内心，O H '=， 过O '作'⊥O O 平面BCD ，则球心在直线O O '上，
球心为O ，过点O 作OP AH ⊥，连接OB ，OA ，则6
OP O H '==， 设O O m '=，球的半径为r ，则HP O O m '==，
则2
22222
32
r OA OP AP m ⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭⎝⎭， 2
22222
3r OB O O O B m ⎛''==+=+ ⎝⎭
，
所以2
2
2
2
3623m m ⎛⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得13m =，
所以OA =
76AP =，cos AP OAP AO ∠==
设AO 和平面BCD 所成夹角为θ，
由AH ⊥平面BCD 可知sin cos 26
OAP θ=∠=
，
所以AO 和平面BCD .
【点睛】
本题考查了三棱锥的特征及其外接球的相关问题，考查了线面角的求解，属于中档题.
20．（1）2
532
n n n a --=；（2）（i ）6n b n =-或6n b n =-+；（ii ）3.
【分析】
（1）由题意结合等比数列的通项公式可得()2
211
324138q q q a q q q ⎧>⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎩
，解出132163q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即可得解；
（2）（i ）由题意得23342362b S b S a ⋅=⋅==，则()()()()111
1236
23336b d b d b d b d ⎧+⋅+=⎪⎨+⋅+=⎪⎩，解方程组
即可得解；
（ii ）由题意()211622n n n b S n n ⎛⎫
⋅=-⋅- ⎪⎝
⎭，由题意列出不等式组，解出不等式组即可得解. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公比为q ，
由题意()132223421324138q a a a a a a a q q ⎧>⎪⎪+=⎨⎪⎪++=++=⎩即()2
211
324138
q q q a q q q ⎧>⎪⎪+=⎨⎪
⎪++=⎩
，
解得132163q a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以1
2
51633322
n n n n a ---⎛⎫=⋅= ⎪
⎝⎭
； （2）（i ）
22b S ⋅，33b S ⋅，42a 既成等比数列，又成等差数列，
∴23342362b S b S a ⋅=⋅==，
设{}n b 公差为d ，
则()()()()111123623336b d b d b d b d ⎧+⋅+=⎪⎨+⋅+=⎪⎩解得151b d =-⎧⎨=⎩或151b d =⎧⎨=-⎩，
∴6n b n =-或6n b n =-+；
（ii ）当6n b n =-时，25611222
n n n S n n -+-=⋅=-，
()211622n n n b S n n ⎛⎫
⋅=-⋅- ⎪⎝⎭
，
设m m b S ⋅满足11
11
m m m m m m m m b S b S b S b S --++⋅≥⋅⎧⎨⋅≥⋅⎩，
则()()()()()()()()222
2111116712222111116512222m m m m m m m m m m m m ⎧⎡⎤-⎛⎫
⎪-⋅-≥-⋅--⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦
⎨⎡⎤⎪+⎛⎫
-⋅-≥-⋅-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩
，
解得23m ≤≤，
当6n b n =-+时，25611
222
n n n S n n -+=⋅=-+，
()211622n n n b S n n ⎛⎫
⋅=-⋅- ⎪⎝⎭
，与第一种情况相同；
设p p b S ⋅满足11
11p p p p p p
p p b S b S b S b S --++⋅≤⋅⎧⎨⋅≤⋅⎩，
则()()()()()()()()222
2111116712222111116512222p p p p p p p p p p p p ⎧⎡⎤-⎛⎫⎪-⋅-≤-⋅--⎢⎥
⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦
⎨⎡⎤⎪+⎛⎫
-⋅-≤-⋅-+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩
，
解得252833
p ≤≤； 综上，{}n n b S ⋅的转折点个数为3，分别为2，3，9. 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列基本量的计算，考查了新概念在数列中的应用，属于中档题. 21．（1）证明见解析；（2）3
tan 4
θ=. 【分析】
（1）当直线AB 、AM 斜率不存在时，可直接求解；当直线AB 、AM 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，不妨设10y >，
联立方程组得114y y =-，221212144y y x x =⋅=，111616,C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，221616,D x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
结合2
114y x =可得直线()1
21
16:4
x y CD y y -=
-，即可得证；
（2）当直线AB 斜率存在时，易证1
4
CD k k =，利用tan 1CD CD k k
k k
α求出最大值即可得
解. 【详解】
（1）证明：由题意知抛物线焦点()1,0F ，
当直线AB 斜率不存在时，直线:1AB x =，易得()1,2A ，()1,2B -， 则直线()2:43AM y x =-
-，()2:43
BM y x =-， 所以点()16,8C -，()16,8D ，此时直线:16CD x =；
当线AB 斜率存在时，设直线():1AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，
()44,D x y ，不妨设10y >，
则()214y k x y x
⎧=-⎨=⎩，化简得2440y y k --=，>0∆，
则114y y =-，22
12
12144
y y x x =⋅=，
①当14x =时，则()4,4A ，所以2141y y -==-，21114x x ==，点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 所以直线:4AM x =，点()4,4C -，
直线()4:415BM y x =-，则()244154y x y x
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩解得点()64,16D ， 所以直线116
:33
CD y x =
-； ②当14x ≠时，此时直线()1
1:44
y AM y x x =
--， 则()11
2444y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩
，结合2
114y x =化简得()2211116160x x x x x -++=， 此方程有一根为1x ，所以3116x x =
，所以3116y y =-，所以1
11616,C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
同理可得221616,D x y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 由114y y =-，121=x x ，2
114y x =可得2
1
16416,C y y ⎛⎫
-
⎪⎝⎭，()2114,4D y y ， 所以111221121
16
464
4
4CD
y y y
k y y y +
==--，
所以直线()2
111
21:444y CD y y x y y -=
--，化简得()12116:4
x y CD y y -=-， 可得直线CD 过点()16,0； 综上，直线CD 恒过点()16,0；
（2）由（1）知，当直线AB 斜率不存在时，//AB CD ；
当直线斜率AB 存在时，1212211221121616116164CD
y y x x y y k k y y x x x x -
+-==-⋅=--， 设直线AB 与直线CD 的夹角为α，
2
333
tan 4144
CD CD k k k k k
k k
k
α
，当且仅当2k =±时，等号成立， 所以对于直线AB 与直线CD 最大夹角θ，3tan 4
θ=. 【点睛】
本题考查了抛物线与直线的综合运用，考查了运算能力，属于中档题. 22．（1）见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）求导后按照12a ≤-、0a ≥、1
02
a -<<分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；
（2）构造新函数()()(){}11121,0min ,g x f x x f x x x x x x =+--≤<-，求导后可得
()()00g x g >=即可得3412x x x --<-；同理可得5422x x x +<，即可得证.
【详解】
（1）由题意得()()22221a x x a
f x x x x
--'=--=，
令()0f x '=即2220x x a --=，48a ∆=+，
①当1
2a ≤-
时，0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在()0,∞+
上单调递增； ②当1
2
a >-时，>0∆，
22
20x x a --=的两根为112x
-=
，212
x +
=， （i ）当10≤即0a ≥时，10x =
≤，
所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<
；当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 所以()f x
在10,2⎛+ ⎝⎭
上单调递减，12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增； （ii
）当10->即102a -
<<
时，12102
x x <=<，
所以当12a x ⎛⎛⎫
+
∈+∞ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
时，()0f x '>； 当x
∈
⎝⎭
时，()0f x '<； 则()f x
在
⎝⎭上单调递减，在⎛ ⎝⎭
，1,2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增
. 综上，当1
2
a ≤-
时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a ≥时，
()f x 在10,2⎛ ⎝⎭上单调递减，1,2
⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当1
02a -<<时，()f x
在
⎝⎭上单调递减，⎛ ⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增； （2）证明：由题意得1
02
a -
<<，314250x x x x x <<<<<，1201x x ， 令()()(){}11121,0min ,g x f x x f x x x x x x =+--≤<-， 则()()()()11111+41'''=+-=--
-+-a a
g x f x x f x x x x x x x
()()()()
()()()()
2222111
11111
11114124142x x x ax x x x x x ax x x x x x x x x -----+--=
=
+-+-，
由（1）知2
11220x x a --=，
则()()()()()()()
22
111111114122410x x ax ax x x g x x x x x x x x x --+---'=
=>+-+-
又()00g =，可知对于{}1210min ,x x x x <<-均有()()00g x g >=， 所以()()11f x x f x x +>-，所以()()141142f x x x f x x +->-， 由()()43f x f x =可得()()3142f x f x x >-，
结合函数()f x 在()10,x 上单调递增，可得3142x x x >-即3412x x x --<-， 令()()()2221,0h x f x x f x x x x x =+--≤<-，
同理可得()()()()
2
222410x x h x x x x x --'=
>+-， 由()00h =可得当210x x x <<-时，()()00h x h >=，
所以()()22f x x f x x +>-，所以()()224224f x x x f x x x +->-+， 由()()54f x f x =可得()()2452f x x f x ->，
结合函数()f x 在()2,x +∞上单调递增，可得5242x x x <-即5422x x x +<， 所以21543422x x x x x x ->+--即()21532x x x x ->-，得证. 【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算能力与推理能力，属于难题.。