电磁场的数值计算方法

电磁场的数值计算方法
物理系0702班学生杜星星
指导老师任丽英摘要：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。

本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。

关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法
引言
自从1864年Maxwell建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段, 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。

在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。

上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。

但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。

本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。

1电磁场数值计算方法的发展历史
在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法[1]，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。

五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。

1964年美国加州大学学者Winslow以矢量位为求解变量，用有限差分法在
计算机上成功地解算了二维非线性磁场
[1]，此后有限差分法在工程电磁场计算领域大为发展。

1965年，Winslow首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969年加拿大MeGill大学P. P. Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算[2]；七十年代初，P. P. Silvester和M. V. K. Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。

此后有关有限元法探讨的论文越来越多，有限元法运用的范围由静态场到涡流场到辐射场，由线性场到非线性场，由各向同性媒质到各向异性、要考虑磁滞损耗，由工程电磁场到生物电磁场等等。

有人认为有限元法是求解工程电磁场的最有效最成功的方法。

有限元法和有限差分法都是求解边值问题的方法，属于微分方程法。

对于开区域或要求求解连续分布场量的区域，这类方法就会受到自身的限制。

1972年英国卢瑟福实验室的C.W.Trowbridge等人提出了积分方程法的思想，给出了二维、三维场问题的离散形式[2]，由于此种方法只需离散源区，不需考虑边界条件，所以它较好地解决了无界开域场和要求连续计算场量的问题。

该方法计算精度高，但计算量很大。

该实验室Sinkin等人又在积分方程法基础上提出了边界积分方程法(又称边界元法)，用此解决线性场的计算，计算量大为减小。

此后该室的学者们将积分方程与微分方程法结合起来，提出了求解三维静磁场的双标量位法等。

在解决天线辐射场、散射场问题中，矩量法是一个很重要的数值计算方法。

1968年R. F. Harrington发表了专著“Field computation by Moment Method”，对散射场、天线辐射场、波导场等方面的问题起了很好的推进作用。

除以上所介绍的方法外，随着电磁场数值分析的不断发展，各种新方法不断涌现，如计算电场的模拟电荷法，最小二乘配点法，求解磁场的模拟电流法，以及计算场的图论模型法，快速Fourier变换法、有限体元法、无网格计算法等等。

各种方法互相配合，出现了一些混合方法，如：矩量法—模拟电荷法、模拟电荷法—有限元法、有限元法—边界元法等，有效地解决了一些实际问题。

近年来人工神经网络，小波理论[3]等也引入了电磁场的数值计算中，瞬态电磁场计算如时域有限差分法的应用有了长足的发展。

总之随着现有的电磁场数值计算方法的不断深入发展、提高和完善，新的方法不断产生。

在电磁场的数值解法不断发展的同时，人们并没有忘记长期以来所运用的解析方法。

解析法计算结果精确，且可以用解析式表达计算结果，受这些特点吸引，解析法与数值计算方法相结合形成的半解析法应运而生，也成为了一种主流解算方法，并还在不断发展。

电磁场数值计算方法发展走向成熟的一个重要标志是：成熟的方法越来越多地应用于工程实际问题中，商业化通用软件包不断出现[4]。

一个商业化软件包通常由下面几部分组成：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧网格图形显示
生、节点形成空调剖分、网格自动产模拟化：数、边界条件几何尺寸、材料性能参数据定义：前处理 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧非线性叠代
求解代数方程组成离散方程组系数矩阵形数据处理
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧算与显示局部场域分布的精细计
显示受力和损耗计算与图形
质区含线性媒质和非线性媒场图显示按要求输出计算结果后处理)(
以上三部分中前、后处理占用了软件包语句的90%以上，编程的主要工作量在此，而数据处理，也就是我们目前正在学习的数值计算方法仅占软件语句的10%以内，但它却是占用计算机内存量和消耗CPU 时间的主要部分。

2 电磁场数值计算方法的分类
求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell 方程的解，借助于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。

数值算法的基本思想[5]就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。

数值计算方法从求解方程的形式看，主要分为积分方程法和微分方程法两大类。

积分方程法主要有矩量法和边界元法，微分方程法主要有有限差分法和有限元法。

对两种方程法的比较，如表一所示。

表一积分方程法和微分方程法的比较
3 几种重要的数值计算方法
3.1 有限差分法
在电磁场数值计算方法中，有限差分法是应用最早的一种方法。

有限差分法以其概念清晰，方法简单、直观，有大致固定的处理和计算模式，具有一定的通用性等特点，在电磁场数值分析领域内得到了广泛的应用。

3.1.1 有限差分法的基本原理
有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

3.1.2 差分与差商
设函数)(x f 的自变量x 有一小增量h x =∆，则)(x f 的增量为
)()()(x f h x f x f -+=∆ （3.1） )(x f ∆为函数)(x f 的一阶差分。

当增量h 足够小，差分f ∆与微分df 之间的差才足够小。

一阶差分f ∆是自变量x 的函数。

按式（1）,计算)(x f ∆的差分)(2x f ∆称二阶差分，且
)()()(2x f h x f x f ∆-+∆=∆ （3.2） 函数)(x f 的一阶导数)('x f 为
()()x x f dx df x f x ∆∆==
'→∆lim 0 应用差分，)('x f 可表示为 '()()()()f x f x h f x f x x h
∆+-≈=∆ （3.3） 故)('x f 可表示为差分)(x f ∆除以有限小差分x ∆的商，称为差商。

同理，函数)(x f 的二阶导数)(''x f 可表示为 222
1()1()()()()()2()()x x x
d f df df dx x dx dx f x h f x f x f x h h h h f x h f x f x h h +∆=-∆+---⎡⎤≈-⎢⎥⎣⎦
+-+-= （3.4） 3.1.3 差分方程的构造
现以二维静态电、磁场泊松方程的第一类边值问题为例，来具体阐明有限差分法的应用。

设具有平行平面场特征的电磁场场域D ,如图1所示,为一由闭合边界L 所界定的平面域，其定解条件可表述为
()()y x F y u x u y x u ,,22222
=∂∂+∂∂=∇ ()D y x ∈, （3.5） ()()y x f y x u L ,,= （3.6）
对于所给定的偏微分方程定解问题，应用有限差分法，首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。

原则上，可以采用任意的网格剖分方式，但这将
直接影响所得差分方程的具体内容，进而影响解题的经济性与计算精度。

为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度，因而经常采用正方形的网格的剖分方式。

现即以这种正方形网格剖分场域
D ，也就是说，用分别与y x ,两坐标轴平行的两簇等距网格线来生成正方形网格，即
ih x x i ==
..)..........2,1,0(±±=i jh y y j == ..)..........2,1,0(±±=j h 为步长，网格线的交点()j i y x O ,称为节
点，这样D 域就离散化为由网格节点标成
的离散点得集合。

对场域D 中节点()j i y x O ,是一典型
节点，它与周围的1，2，3和4点构成一
个对称星型。

设这些离散点上待求函数的
近似值记为 ),(0j i u u =，),1(1j i u u +=，)1,(2+=j i u u ，),1(3j i u u -=，)1,(4-=j i u u 则式（6）可近似离散化为
[][]F j i u j i u j i u h j i u j i u j i u h =-+-++-+-+)1,(),(2)1,(1),1(),(2),1(12
2（3.7） 即
F h j i u j i u j i u j i u j i u 2),(4)1,(),1()1,(),1(=--+-++++ （3.8）
若式（6）F =0,则节点O 上函数u 的值等于其四周相邻点函数值的平均。

因为差分方程（7），（8）只出现待求函数u 在点()j i y x O ,及其四个临近点的值，故称之为五点差分格式[6]，根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值。

3.2 有限元法
传统的变分法在20世纪二三十年代为其新型时期，理论上发展很快，各种变分问题的最后求解都可归结为解尤拉方程的边值问题，然而只有在一些特殊情况下尤拉方程才能求出精确解，在大多数情况下，尤拉方程的精确解无法求出。

x
图1 正方形网格划分 1i +1i -j y -j y 1j y +
四五十年代，随着计算机的出现，使其在实际应用中逐渐为比较灵活、通用的有限差分法所替代。

但是，有限差分法在理论上没有以变分原理为基础，因而其收敛性和数值稳定性往往得不到保证。

随后发展形成的有限元法正是变分法与有限差分法相结合的成果，它取长补短地在理论上以变分原理为基础，在具体方法构造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想[7]。

3.2.1 有限元法的基本原理
有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型数学模型—边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极
值问题；然后，利用剖分插值将变分问题离散
化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一
组多元的代数方程组，求解该方程组，从而获
得边值问题的数值解。

3.2.2 泛函、变分问题简介
在微积分学形成初期，以数学物理问题为
背景，与多元函数的极值问题相对应，已在几
何、力学上提出了若干个求解泛函极值的问题。

如图2中的质点最速降线问题所述，质点A
从定点),(11y x 自由下滑到定点B ),(22y x ，试求
使滑行时间最短的质点下滑轨道)(x y y =。

图示滑行弧段s d 所需时间为
gy x y gy x v s t 2d 12d sec d d 2'+===α 滑行总时间为 x gy y t x y T x y J x x T d 21d )]([)]([2120⎰⎰'+=== （3.9）
（3.9）式)]([x y J J =不仅取决于积分端点1x 和2x ，而且取决于)(x y y =的选取。

J 取决于)(x y ，所以J 是函数)(x y 的函数，称之为)(x y 的泛函，记作)]([x y J 。

于是所述之最速降线问题，在数学上就归结为研究泛函)]([x y J 的极值问题，即
y 图2 最速降线问题
21122[()]min ()0()x x J y x x y x y x y ⎧==⎪⎨⎪==⎩
⎰ （3.10） 泛函的极值问题就称为变分问题。

对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量x 、单个函数)(x y 及其导数)(x y '的已知函数
x y y x F y J x x d ),,(][2
1⎰'= （3.11） 式中F 为x 、y 和y '的已知函数．．．．。

泛函][y J 的自变量不是一般的自变量，而是一个或几个函数所属的函数族)(x y 。

在端点1x 和2x 上分别等于给定值的无．数个．．
函数)(x y 中，仅有一个)(x y 能使定积分][y J 达到极小值，此函)(x y 数称为极值函数。

因此，变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数)(x y ，即分析研究泛函的极值问题。

3.2.3 泛函的变分与尤拉方程
泛函变分问题的经典解法有两种，一种称之为直接解法，另一类是间接解法。

直接解法是直接把泛函的极值问题近似地转化为一般多元函数的极值问题，用有限维子空间中的函数去逼近无穷维空间中的极值函数，从而近似求得泛函的极值。

间接解法是将变分问题转化为尤拉方程（微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。

以式（3.11）这种最简形式来推导尤拉方程。

设函数)(x y 稍有变化，记作y y δ+，y δ称之为)(x y 的变分，它反映了整个函数的变化量。

这样泛函][y J 的值也应随之变动，相应于变分y δ的泛函增量为
x y y x F y y y y x F y J y y J J x x d )],,(),,([][][21⎰'-'+'+=-+=∆δδδ （3.12）
将（3.12）式由多元函数的泰勒公式展开
x y y F y y y y F y y F y y F y y F J d }])(2)([21]{[2222222⎰+''
∂∂+''∂∂∂+∂∂+''∂∂+∂∂=∆ δδδδδδ +++=J J J 32δδδ
（3.13） 式中作为泛函增量J ∆的线性主部为
⎰''∂∂+∂∂=21d ][x x x y y F y y F J δδδ （3.14）
J δ 称为泛函][y J 的一次变分（简称变分）。

而J 2δ、J 3δ……分别是函数变分y δ及其导数y 'δ的二次、三次齐次式……等的积分，依次称为二次变分，三
次变分……令变分问题的解为)(x y y =，且设极值解)(x y y =稍有变动y y δ+，
令
)(x y εηδ= （3.15）
式中ε为任意给定的微量实参数，ε值就确定了),(εx y y =函数族中的某一曲
线，进而确定泛函)],([εx y J 之值；而)(x η是定义于区间],[21x x 且满足
()()021==x x ηη齐次边界条件的可微函数。

于是泛函()εη+y J =()[]ε,x y J =()
εΦ就成为变量ε的函数，且当0=ε时获极值函数的解。

)(εΦ在0=ε时取得极值的
必要条件是 0dx y y F y y F 021x x 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+∂∂=Φ'=Φ'⎰=δδεε)()( （3.16）
利用分部积分，并根据变分与微分顺序可互换原理，(3.16）式可写为
0)]([2
1='
∂∂-∂∂⎰x x ydx y F dx d y F δ （3.17） 由于（3.17）对任意y δ均成立，故有 0)(='
∂∂-∂∂y F dx d y F （3.18） 方程（3.18）就称为泛函（3.11）的极值问题的尤拉方程。

综上所述，有限元法的基本特点是：
（1）离散化过程保持了明显的物理意义。

这是因为，变分原理描述了支配
物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理、静电学中的
汤姆逊定理等）。

（2）优异的解题能力。

与其他数值计算方法相比较，有限元法在适应场
域边界几何形状，以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优
点。

（3）从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一个重要分支，很少
有其他方法应用的这样广泛。

它使微分方程的解法和理论面目一新，推动了泛
函分析与计算方法的发展。

3.3 矩量法
矩量法，是近年来在天线、微波技术和电磁波散射等方面广泛应用的一种方法。

从这些实际问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂等特征出发，矩量法是将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程的问题[7]，借助于计算机，求得其数值解，从而在所得激励源分布的数值解基础上，即可算出辐射场的分布及其波阻抗等特性参数。

3.3.1矩量法的基本原理
先选定基函数对未知函数进行近似展开，代入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的意义下方程的余量等于0，由此将连续的算子方程转换为代数方程。

原则上，矩量法可用于求解微分方程和积分方程，但用于微分方程时所得到的代数方程组的系数矩阵往往是病态的，故在电磁场问题中主要用于求解积分方程。

3.3.2 加权余量法
设给定边值问题的场方程统一表述为如下的算子方程，即
g f L =)( （3.19）
已知边界条件为
()b s s r u u =1 （3.20） ()b s s r q n u
=∂∂2 （3.21）
其中: L 是线性算子,f 是待求函数, g 是已知的源。

若u 为精确解，则方程(3.19)和边界条件(3.20),(3.21)应该完全满足。

但大多数情况下，不能得到u 的精确解，只能通过数值方法进行估计。

构造一个由有限个线性无关函数i N (i =1,2,…,n )所组成的基函数集合{}N ，借以展开待求函数u 的近似解为
{}{}u N u N u T i
n
i i ==∑=1~ （3.22） 将u
~代入式(3.19)中必然存在误差，即 ()g u L u
R -=~~ (3.23) 取一个归属于试探函数的权函数集合{}W ，令
()0~=-⎰dV g u L W v j
(j =1,2, …,n ) （3.24）
式(3.24)由n 个方程构成的方程组，它等价于人为地强制近似解u
~，使其因不能精确地满足场方程而导致的误差在平均的含义上等于零。

按式(3.24)展开，所构成的各种求解积分或微分方程近似解的方法可被统称为加权余量法[8]。

因为
按给定权函数j W 展开式的式(3.24)，即意味着余量g u L R -=~对j
W 取矩的一组平衡式，故式(3.24)的构造亦就被称为矩量法。

基于加权余量式(3.24)，进行移项处理，便得
gdV W dV u L W v j
v j ⎰⎰=~ (j =1,2, …,n ) （3.25） 将式(3.22)代入式(3.25)的左端，有
()dV N L W u u N L W i v
j n
i i n i i i v j ⎰∑∑⎰===⎪⎭⎫ ⎝⎛11 （3.26） 为了书写方便，令()()i j i v j n
i i N L W dV N L W u ,1≡⎰∑= 和g W gdV W j v j ,=⎰
代入(3.26)式，则可写成
()g W dV N L W u j i v j n
i i ,1=⎰∑= ()n 21j ⋯⋯=,, （3.27）
这样，即展开成含n 个未知数i u 的n 个方程。

若用矩阵形式表示，则有
[]{}{}g u l = （3.28）
综上所述，矩量法的特点是：矩量法将连续方程离散化为代数方程组, 既适用于求解微分方程, 又适用于求解积分方程。

它的求解过程简单, 求解步骤统一, 应用起来比较方便，然而需要一定的数学技巧, 如离散化的程度、基函数与权函数的选取, 矩阵求解过程等。

另外必须指出的是, 矩量法可以达到所需要的精确度、解析部分简单, 可计算量很大, 即使用高速大容量计算机, 计算任务也很繁琐。

4 电磁场数值计算的应用前景
电磁场数值计算方法近六十年来发展如此之快，除由于从事这方面的科研人员的努力之外，主要是其研究成果迅速被电机、电器、变压器、加速器、微波器件、计算机磁头等领域采用[9]，对改善产品性能、降低生产成本，起着越来越大的作用。

众所周知，任何电磁器件，包括国民经济中应用极其广泛的电机与变压器，其能量转换都是通过电磁场来实现的。

但传统的电磁产品的设计方式由于客观条件与手段的限制，把场的实际分布参数当作集中参数处理，不可避免地带来相当大的误差。

在迫不得已的情况下，只能用模拟、实验等方法处理，其耗费大、周期长，可借鉴的经验不多，而实验的模拟也不都是有条件的，此外，工农业和日常生活中所用电磁装置越来越多，生产和销售竞争剧烈，因此有效的设计方法显然受到重视。

在采用电磁场数值计算以前的任何方法，即使是十分精巧的代数解析方法，也只能适用于特别简单的几何结构以及一些特殊的假定模型，有时模型甚至简化到不能容忍的程度，但除此之外别无它法。

因为实际的电磁场问题，特别是电机电磁场，其边界情况十分复杂，加上铁的饱和以及导体中的涡流效应，解析方法是无能为力的。

而数值方法可以模拟复杂的形状，可以适应非线性问题，可以进行涡流的分布计算。

电磁场的数值计算与流体力学分析、温度分析、机械应力分析、电磁力分析和生产计划等等有机联系起来，由计算机完成全部设计，构成所谓CAE[10]系统(Computer Aided Engineering)。

CAE系统基本可包括设计与制造的全部过程，产品的设计、制造方案、准备零件、草图、计算、成本核算、生产、机床数控和试验、模拟和产品的自动测试都可能列入到CAE系统中。

目前CAE系统在西方国家发展很快，估计每年增长40%，尤其在机械行业中，形成了所谓CADMAT即计算机辅助设计、加工与试验。

从长远观点看，电磁场数值计算要发挥更实际的作用，必须与其他多种学科相结合以形成CAE系统，CAE的发展必然给工业结构上带来巨大的变化。

结束语
数值计算是一门计算的艺术，电磁场的数值计算横跨了多个学科，是数学理论、电磁理论和计算机应用能力的完美组合。

通过本次论文设计，我对差分、变分、泛函、加权余量法等数学知识有了深刻的认识，掌握了有限差分法、有限元法、矩量法的基本原理，并能进行简单的运算。

但若用数值计算方法解决复杂的电磁场问题，则在很大程度上依赖于数学知识及计算机编程能力，这就需要进一步系统学习相关的理论知识。

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Electromagnetic numerical method
Department of Physics 0702 Student Du XingXing
Tutor Ren LiYing Abstract：Numerical calculation, which is widely used in many fields, such as electric, military affairs, economy, ecology, medical treatment, astronomy, geology and so on is a method of getting the numerical approximate solution in the studying and solving of mathematical problems. This paper reviews the development history and classification of the electromagnetic numerical calculation, and explicitly introduces three typical numerical calculation methods --the finite difference method, the finite element method, and the moment method. Besides, it also gives a thorough elaboration of each method from the angles of problem solving train of thought, principle, step, characteristic and application, and makes a deep analysis of the differences between the distinct methods. And, in the end, this paper also launches a preliminary probe of the application prospect of the electromagnetic numerical calculation.
Key words：Electromagnetic field; Numerical calculation; Finite difference method; Finite element method; Method of moment
致谢
光阴似箭，岁月如梭，不知不觉我即将走完大学生涯的第四个年头，回想这一路走来的日子，父母的疼爱关心，老师的悉心教诲，朋友的支持帮助一直陪伴着我，让我渐渐长大，也慢慢走向成熟。

首先，我要衷心感谢一直以来给予我无私帮助和关爱的老师们，特别是我的导师任丽英老师。

谢谢你们这四年以来对我的关心和照顾，从你们身上，我学会了如何学习，如何工作，如何做人。

其次，我还要真诚地感谢物本0702班的各位同学，在这四年当中，你们给予了我很多帮助，在我的学习、工作、生活各个方面，你们给我提出了很多宝贵的建议，我的成长同样离不开你们。

再次，我要感谢我的父母及家人，没有人比你们更爱我，你们对我的关爱让我深深感受到了生活的美好，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。

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