初一数学下册第二学期 二元一次方程组数学试题word版

初一数学下册第二学期 二元一次方程组数学试题word 版
一、选择题
1．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号
a b c d
称为22⨯阶行列式，并且规
定：
a b a d b c c d
=⨯-⨯，例如，
32
3(2)2(1)62412
=⨯--⨯-=-+=---．二元一
次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为x y D x D
D y D
⎧=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，其中1122a D a b b =
，1122x b a D c b =，11
22
y a c D a c =．问题：对于用上面的方法解二元一次方程
组3137x y x y -=⎧⎨+=⎩
时，下面的说法错误．．的是（ ）． A ．311013
D -=
=
B ．10x D =
C ．方程组的解为1
2x y =⎧⎨
=⎩
D ．20y D =-
2．把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式（ ） A ．23y x =-
B ．23y x =+
C ．13
22
x y =
+ D ．1
32
x y =
+ 3．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（ ） A ．50人，40人 B ．30人，60人 C ．40人，50人 D ．60人，30人
4．方程()()2
1
8
235m n
m x n y ---++=是二元一次方程，则（ ）
A ．2
3m n =⎧⎨
=⎩
B ．2
3m n =-⎧⎨
=-⎩
C ．2
3
m n =⎧⎨
=-⎩
D ．2
3
m n =-⎧⎨
=⎩
5．已知31x y =⎧⎨
=⎩是方程组102ax by x by -=⎧⎨+=⎩的解，则x a
y b
=⎧⎨=⎩是哪一个方程的解（ ） A ．34x y +=
B ．34x y -=
C ．439x y -=
D ．439x y +=
6．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x 平方千米，林地面积y 平方千
米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（）
A．180
0 250
x y
y x
+=
⎧⎪
⎨
-=
⎪⎩
B．
180
250
x y
x y
+=
⎧⎪
⎨
-=
⎪⎩
C．
180
250
x y
x y
+=
⎧⎪
⎨
=⋅
⎪⎩
D．
180
250
x y
y x
+=
⎧⎪
⎨
=⋅
⎪⎩
7．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B落在点B′处，B AD
∠'比BAE
∠大48︒.设BAE
∠和B AD
∠'的度数分别为x︒和y︒，那么x和y满足的方程组是( )
A．
48
90
y x
y x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
48
2
y x
y x
-=
⎧
⎨
=
⎩
C．
48
290
x y
y x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
48
290
y x
y x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
8．设1a，2a，…，2018
a是从1，0，-1这三个数取值的一列数，若
1
a+
2
a+…+
2018
a=69，222
122018
(1)(1)(1)4001
a a a
+++++=，则
1
a，
2
a，…，
2018
a中为0的个数是（）
A．173 B．888 C．957 D．69
9．某校开展社团活动，参加活动的同学要分组活动，若每组7人，则余3人；若每组8人，则少5人；求课外活动小组的人数x和分成的组数y，可列方程组为( )
A．
73
85
y x
y x
=-
⎧
⎨
=+
⎩
B．
73
85
y x
y x
=+
⎧
⎨
+=
⎩
C．
73
85
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
D．
73
85
y x
y x
=+
⎧
⎨
=+
⎩
10．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知5 个大桶加上1 个小桶可以盛酒3 斛，1个大桶加上5 个小桶可以盛酒 2 斛，…“则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒斛，则可列方程组正确的是（）
A．
52
53
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
53
52
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
53
52
x y
x y
+=
⎧
⎨
=+
⎩
D．
5=+3
52
x y
x y
⎧
⎨
+=
⎩
11．下列四组数值中，方程组
25
34
a b c
a b c
a b c
++=
⎧
⎪
-+=-
⎨
⎪--=-
⎩
的解是( )
A．
1
1
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
B．
1
2
1
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
C．
1
1
2
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
D．
1
2
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
12．解为1
2x y =⎧⎨=⎩的方程组是（ ）
A ．1
35x y x y -=⎧⎨+=⎩
B ．1
35x y x y -=-⎧⎨+=-⎩
C ．3
31x y x y -=⎧⎨-=⎩
D ．23
35x y x y -=-⎧⎨+=⎩
二、填空题
13．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
14．如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，11BC =，7DE =，则图中阴影部分面积是____．
15．2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持.同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去699元；语文组购买了A 、B 两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A 、B 的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B 种书的单价相同，乙种书与A 种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则乙种书籍比甲种书籍多买了__________本．
16．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
17．2018年10月21日，重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕，来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色．组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品，其中甲纪念品5元/件，乙纪念品7元/件，丙纪念品10元/件．要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍，总费用为346元．若使购买的纪念品总数最多，则应购买纪念品共_____件．
18．方程组11
111
21132x y x z y z ⎧+=⎪⎪
⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
的解为______.
19．在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未解出的普通题要扣去1分．某人解出了10道题，共得了14分，则该次数学竞赛中一共有____道普通题.
20．解三元一次方程组
经过①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到
的二元一次方程组是________．
21．2018年秋，珊瑚中学开启“珊中大阅读”活动,为了充实漂流书吧藏书,号召全校学生捐书,得到各班的大力支持.同时,本部校区的两个年级组也购买藏书充实学校图书室,初二年级组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本,用去8315元;初一年级买了A 、B 两种文学书籍若干本,用去6138元．其中A 、B 的数量分别与甲、乙的数量相等,且甲种书与B 种书的单价相同,乙种书与A 种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元,则甲种书籍比乙种书籍多买了_____________本.
22．已知关于x 、y 的方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩
，其中31a -≤≤，有以下结论：①当2
a =-时，x 、y 的值互为相反数；②当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；③若1x ≤，则 4.l y ≤≤其中所有正确的结论有______(填序号)
23．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F （123）＝6． （1）计算：F （241）＝_________，F （635）＝___________ ；
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：()
()
F s k F t =
，当F (s )＋F (t )＝18时，则k 的最大值是___． 24．已知|x ﹣z+4|+|z ﹣2y+1|+|x+y ﹣z+1|=0，则x+y+z=________．
三、解答题
25．阅读材料：对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()F n ．例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以
(123)6F =．
（1）计算：(134)F ；
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中10025s x =+，360t y =+（19x ≤≤，
19y ≤≤，x ，y 都是正整数），当()()20F s F t +=时，求s
t
的值．
26．阅读以下内容：
已知有理数m ，n 满足m+n ＝3，且3274
232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
求k 的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m ，n 的方程组3274
232
m n k m n +=-⎧⎨
+=-⎩，再求k 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值；
丙同学：先解方程组3
232m n m n +=⎧⎨+=-⎩
，再求k 的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x ，y 的方程组()(
)11821a x by b x ay ⎧+-=⎪
⎨
++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数
x ，也可以用①×2+②×5消去未知数y ．求a 和b 的值．
27．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B
b 满足
|21|2
80a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：
3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
28．已知关于x 、y 的二元一次方程组232
21x y k x y k
-=-⎧⎨
+=-⎩（k 为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）； （2）若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围； （3）若1k ≤，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值．
29． 学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方，已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个.某商店有两种优惠活动，如图所示.请根据以上信息，购进A种魔方多少个时，两种活动费用相同？
30．已知
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程2x y a
+=的一个解．
(1)a=__________；
(2)完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点(x，y)，如果过其中任意两点作直线，你有什么发现？
x013
y620
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
分别根据行列式的定义计算可得结论．
【详解】
A、
31
13
D
-
==3×3-（-1）×1=10，计算正确，不符合题意；
B、D x=1×3-（-1）×7=10，计算正确，不符合题意；
C、方程组的解：x=1020
1
1010
y
==
，=2，计算正确，不符合题意．
D、D y=3×7-1×1=20，计算错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查二元一次方程组的解，理解题意，直接运用公式计算是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
把x看做已知数求出y即可．
【详解】
方程2x−y＝3，解得：y＝2x−3，
故选：A．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
等量关系为：生产的螺栓的工人数+生产螺帽的人数等于90；螺栓总数乘以2等于螺帽总数，把相关数值代入求解即可．
【详解】
解：设生产螺栓和生产螺帽的人数分别为x，y人，
根据题意得
90 15224
x y
x y
+=
⎧
⎨
⨯=
⎩
，
解得
40
50 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴生产螺栓和生产螺帽的人数分别为40人，50人．
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键．4．D
解析：D
【分析】
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【详解】
由题意得211
81
m n ⎧-=⎨
-=⎩且20
30m n -≠⎧⎨
+≠⎩
，
解得2m =-，3n =， 故选D ． 【点睛】
主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
5．D
解析：D 【分析】
将31x y =⎧⎨=⎩代入102ax by x by -=⎧⎨+=⎩后求出,a b 的值，最后把x a
y b =⎧⎨=⎩分别代入四个选项即可.
【详解】
将31x y =⎧⎨=⎩代入102ax by x by -=⎧⎨+=⎩得：31032a b b -=⎧⎨+=⎩，
解得31a b =⎧⎨=-⎩，即31x y =⎧⎨=-⎩，
当3
1x y =⎧⎨=-⎩
时，
30x y +=，A 选项错误；
36x y -=，B 选项错误； 4315x y -=，C 选项错误； 439x y +=，D 选项正确；
故选D 【点睛】
本题考查对方程的解的理解，方程的解：使方程成立的未知数的值.
6．C
解析：C 【解析】
设耕地面积x 平方千米，林地面积为y 平方千米， 根据题意列方程组180
25%x y x y +=⎧⎨=⨯⎩
.
故选C
7．D
解析：D 【分析】
根据由将正方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠B'AD 比∠BAE 大48°的等量关系即可列
【详解】
解：.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒
由题意可得：48
290y x y x -=⎧⎨+=⎩
故答案为D. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角寻找等量关系是解答本题的关键.
8．A
解析：A 【分析】
首先根据（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 2018+1）2得到a 12+a 22+…+a 20182+2156，然后设有x 个
1，y 个-1，z 个0，得到方程组()21)2220181?1?0?691?(?0?21564001x y z x y z x y z -++⎧⎪
+-+⎨⎪+++⎩
＝＝＝ ，解方程组即可确
定正确的答案． 【详解】
解：（a 1+1）2+（a 2+1）2+…+（a 2018+1）2=a 12+a 22+…+a 20182+2（a 1+a 2+…+a 2018）+2018 =a 12+a 22+…+a 20142+2×69+2018 =a 12+a 22+…+a 20142+2156， 设有x 个1，y 个-1，z 个0
∴()21)2220181?1?0?691?(?0?21564001x y z x y z x y z -++⎧⎪
+-+⎨⎪+++⎩
＝＝＝ 化简得x-y=69，x+y=1845， 解得x=888，y=957，z=173， ∴有888个1，957个-1，173个0， 故答案为173． 【点睛】
本题考查数字的变化类问题，解题关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．
9．A
解析：A 【解析】
分析：根据题意确定等量关系为：若每组7人，则余3人；若每组8人，则少5人，列方程组求解即可.
详解：根据题意可得：73
85
y x y x =-⎧⎨
=+⎩.
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是确定问题的等量关系. 10．B
解析：B
【分析】
设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设一个大桶盛酒 x 斛，一个小桶盛酒 y 斛，
根据题意得：
53
52
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，故选B.
【点睛】
根据文字转化出方程条件是解答本题的关键.
11．B
解析：B
【解析】
分析：首先利用②－①和②+③得出关于a和b的二元一次方程组，从而求出a和b的值，然后将a和b代入任何一个式子得出c的值，从而得出方程组的解．
详解：
0?
25?
34?
a b c
a b c
a b c
++=
⎧
⎪
-+=-
⎨
⎪--=-
⎩
①
②
③
，②－①可得：a－2b=－5 ④， ②+③可得：5a－2b=－9
⑤，
④－⑤可得：－4a=4，解得：a=－1，将a=－1代入④可得：b=2，
将a=－1，b=2代入①可得：c=－1，∴方程组的解为：
1
2
1
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，故选B．
点睛：本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据方程组的解的定义，只要检验
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是否是选项中方程的解即可．
【详解】
A、把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程x-y=-1，左边=1≠右边，把
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程y+3x=5，左边=5=右边，
故不是方程组的解，故选项错误；
B 、把12x y =⎧⎨=⎩
代入方程3x+y=-5，左边=5≠右边，故不是方程组的解，故选项错误； C 、把12x y =⎧⎨=⎩
代入方程x-y=3，左边=-1≠右边，故不是方程组的解，故选项错误； D 、把12x y =⎧⎨=⎩代入方程x-2y=-3，左边=-3=右边=-3，把12x y =⎧⎨=⎩
代入方程3x+y=5，左边=5=右边，故是方程组的解，故选项正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．
二、填空题
13．95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知
解析：95
【详解】
设十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意所述的等量关系可得出方程组
14101036x y x y y x +=⎧⎨+--=⎩，求解即可得95x y =⎧⎨=⎩
，即这个两位数为95． 故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
14．51
【分析】
先设小长方形的长、宽分别为、，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由可求得，再根据，可解阴影面积.
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为、，
依题意得：
，即，
解得：，
，
，
解析：51
【分析】
先设小长方形的长、宽分别为x 、y ，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由DC DE EC =+可求得DC ，再根据6ABCD S S S =-⨯阴影小长方形，可解阴影面积.
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为x 、y ，
依题意得：
31127y x y x y +=⎧⎨+-=⎩，即3117x y x y +=⎧⎨-=⎩
， 解得：81x y =⎧⎨=⎩
， 818S ∴=⨯=小长方形，
729DC DE EC ∴=+=+=，
11BC =，
11999ABCD S BC DC ∴=⋅=⨯=，
6996851ABCD S S S ∴=-⨯=-⨯=阴影小长方形，
本题的答案为51.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际应用，利用了求面积中一种常用的方法割补法，面积总量不变，扣掉较容易求出的图形面积，可得解.
15．777
【分析】
设乙种书与A 种书的单价为x 元，则甲种书与B 种书的单价为(x+7)元，甲种书与A 种书的数量为a 本，乙种书与B 种书的数量为b 本，根据单价乘以数量等于总价，建立方程组，整理即可得出b-a
解析：777
【分析】
设乙种书与A 种书的单价为x 元，则甲种书与B 种书的单价为(x+7)元，甲种书与A 种书的数量为a 本，乙种书与B 种书的数量为b 本，根据单价乘以数量等于总价，建立方程组，整理即可得出b-a 的值．
【详解】
设乙种书与A 种书的单价为x 元，则甲种书与B 种书的单价为(x+7)元，
设甲种书与A 种书的数量为a 本，乙种书与B 种书的数量为b 本，
由题意得：()()()()76991761382a x bx ax b x ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩
()()21-得775439-=b a
∴777-=b a
故答案为：777．
【点睛】
本题考查方程组的应用，熟练掌握单价乘以数量等于总价，建立方程组是解题的关键．
16．【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒，
∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x ＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x ，y ，z 都是整数，
则10x+9y+6z ＝108，
∴x ＝1089610--y z ＝3(3632)10
--y z ， ∵0＜x ＜10，且为整数，
∴36﹣3y ﹣2z 是10的倍数，
即：36﹣3y ﹣2z ＝10或20或30，
当36﹣3y ﹣2z ＝10时，y ＝2623
-z ， ∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y ，z 都为整数，
∴26﹣2z ＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z ＝232（舍）或z ＝10或z ＝172（舍）或z ＝7或z ＝112（舍）或z ＝4或z ＝52（舍）或z ＝1，
当z ＝10时，y ＝2，x ＝3，
当z ＝7时，y ＝4，x ＝3，
当z ＝4时，y ＝8，x ＝3
当z ＝1时，y ＝8，x ＝3，
当36﹣3y ﹣2z ＝20时，y ＝1623
-z ，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
17．62
【分析】
设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）
解析：62
【分析】
设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可求出x，y的值，进而可得出（x+y+2y）的值，取其最大值即可得出答案.
【详解】
设购买甲纪念品x件，丙纪念品y件，则购进乙纪念品2y件，
依题意，得：5x+7×2y+10y＝346，
∴x＝34624
5
y
-
，
∵x，y均为非负整数，
∴346﹣24y为5的整数倍，∴y的尾数为4或9，
∴
50
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
26
9
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
2
14
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴x+y+2y＝62或53或44．∵62＞53＞44，
∴最多可以购买62件纪念品．
故答案为：62．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据题意，求出x ，y 的非负整数解，是解题的关键.
18．【分析】
先将三个方程依次标号，然后相加可得④，由④-①，④-②，④-③即可得出答案.
【详解】
解：由方程组，可得：，
所以④，
由可得：，由可得：，由可得
综上所述方程组的解是.
【点睛】 解析：43445x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩
【分析】 先将三个方程依次标号，然后相加可得
11194
x y z ++=④，由④-①，④-②，④-③即可得出答案.
【详解】 解：由方程组1111121132x y x z
y z ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩
①
②③
，++①②③可得：111922x y z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以11194
x y z ++=④， 由-④①可得：
154,45z z =∴=，由-④②可得：11,44y y =∴=，由-④③可得13,4
x =
4
3 x
∴=
综上所述方程组的解是
4
3
4
4
5 x
y
z
⎧
=
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪=
⎩
.
【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，利用加减消元的思想是解题的关键.
19．16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解. 【详解】
解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：3b+2a-(x-a)=1
解析：16
【解析】
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：
（2）×3-（1）得x=16,
∴该次数学竞赛中一共有16道普通题.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 20．4x+3y=27x+5y=3.
【解析】
【分析】
根据加减消元的方法即可进行求解.
【详解】
解：①－③得4x+3y=2,
③×4＋②得7x+5y=3,
∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是4
解析：.
【解析】
【分析】
根据加减消元的方法即可进行求解.
【详解】
解：①－③得4x+3y=2,
③×4＋②得7x+5y=3,
∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元的方法是解题关键.
21．311
【分析】
根据已知条件设出甲乙的单价和数量,根据甲乙一共用去8315元, A、B一共用去6138元组成方程组,整理方程组即可解题.
【详解】
解：设乙的单价为x元/本，则甲为（7+x）元/本
解析：311
【分析】
根据已知条件设出甲乙的单价和数量,根据甲乙一共用去8315元, A、B一共用去6138元组成方程组,整理方程组即可解题.
【详解】
解：设乙的单价为x元/本，则甲为（7+x）元/本,甲购买了a本,乙买了b本,
∴A的单价为x元/本，B为（7+x）元/本, A购买了a本,B买了b本,
依题意得：
①-②得：7a-7b=2177,
∴a-b=311,
即甲种书籍比乙种书籍多买了311本.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,难度较大,设三个未知数并整理方程是解题关键. 22．①②③
【分析】
解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，再逐一判断即可．
【详解】
解方程组，得，
，
，，
当时，，，x ，y 的值互为相反数，结论正确；
当时，，，方程两
解析：①②③
【分析】
解方程组得出x 、y 的表达式，根据a 的取值范围确定x 、y 的取值范围，再逐一判断即可．
【详解】
解方程组343x y a
x y a +=-⎧-=⎨⎩，得{
121x a y a =+=-， 31a -≤≤，
53x ∴-≤≤，04y ≤≤，
①当2a =-时，123x a =+=-，13y a =-=，x ，y 的值互为相反数，结论正确； ②当1a =时，23x y a +=+=，43a -=，方程4x y a +=-两边相等，结论正确； ③当1x ≤时，121a +≤，
解得0a ≤，且31a -≤≤，
30a ∴-≤≤，
114a ∴≤-≤，
14y ∴≤≤结论正确，
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组.关键是根据条件，求出x 、y 的表达式及x 、y 的取值范围．
23．14
【解析】
分析: （1）根据F （n ）的定义式，分别将n=241和n=635代入F （n ）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y 结合F （s ）+F （t ）=18
解析：14
54
【解析】
分析: （1）根据F （n ）的定义式，分别将n=241和n=635代入F （n ）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y 结合F （s ）+F （t ）=18，即可得出关于x 、y 的二元一次方程，解之即可得出x 、y 的值，再根据“相异数”的定义结合F （n ）的定义式，即可求出F （s ）、F （t ）的值，将其代入k=()()
F s F t 中，找出最大值即可. 详解: ：（1）F （241）=（421+142+214）÷
111=7；
F（635）=（365+536+653）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．
∴y≠1，y≠5．
∴
1
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴
()
()
6
12
F s
F t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
()
()
9
9
F s
F t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
()
()
10
8
F s
F t
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴k＝
()
()
F s
F t
＝
1
2
或k＝
()
()
F s
F t
＝1或k＝
()
()
F s
F t
＝
5
4
，
∴k的最大值为5
4
．
点睛: 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（241）、F（635）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程.
24．9
【解析】
由题意得,解得,
所以x+y+z=9.
解析：9
【解析】
由题意得
40
210
10
x z
z y
x y z
-+=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪+-+=
⎩
,解得
1
3
5
x
y
z
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
所以x+y+z=9.
三、解答题
25．（1）(134)8F =；（2）
325361
s t =． 【分析】 （1）由题意直接根据()F n 的定义把“相异数”任意两个数位上的数字对调后得到的三个不同的新三位数进行代入计算即可；
（2）根据题意由“相异数”的定义进行分析，并根据()F n 的定义求出()F s 和()F t ，进而依据()()20F s F t +=建立不定方程进行分析即可求解．
【详解】
解：（1）(134)(314431143)1118F =++÷=；
（2）∵s ，t 都是“相异数”，10025s x =+，360t y =+，
∴()(2051052010052)1117F s x x x x =+++++÷=+，
()(6301006330610)1119F t y y y y =+++++÷=+．
∵()()20F s F t +=，
∴791620x y x y +++=++=，
∴4x y +=，
∵19x ≤≤，19y ≤≤，且x ，y 都是正整数，
13x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩
，31x y =⎧⎨=⎩ ∵s 是“相异数”，
∴2x ≠，5x ≠．
∵t 是“相异数”，
∴3y ≠，6y ≠．
∴31x y =⎧⎨=⎩
是符合条件的解 ∴100325325s =⨯+=，3601361t =+= ∴
325361
s t =． 【点睛】 本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②，
①×3﹣②×2得：5m ＝21k ﹣8，
解得：m ＝2185
k -， ②×3﹣①×2得：5n ＝2﹣14k ，
解得：n ＝2145
k -， 代入m+n ＝3得：
21821455
k k --+＝3， 去分母得：21k ﹣8+2﹣14k ＝15，
移项合并得：7k ＝21，
解得：k ＝3；
选择乙， 3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
①②， ①+②得：5m+5n ＝7k ﹣6，
解得：m+n ＝7-65
k ， 代入m+n ＝3得：
7-65
k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，
解得：k ＝3；
选择丙， 联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩
①②， ①×3﹣②得：m ＝11，
把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，
代入3m+2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，
解得：k ＝3；
（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：52b a =⎧⎨=⎩
， 检验符合题意，
则a 和b 的值分别为2，5．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
27．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭
；（3）证明见解析
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可； （2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1）210a b --=，
又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=
0=，即210280
a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23
a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+
⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42
t =， 解得，83
t =±
， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向
下平移14
3
个单位长度得到的，
∴点D的坐标是
14 1,
3
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
；
（3）证明：过点E作//
EF CD，交y轴于点F，如图所示，
则ECD CEF
∠=∠，
2
BCE ECD
∠=∠，
33
BCD ECD CEF
∴∠=∠=∠，
过点O作//
OG AB，交PE于点G，如图所示，
则OGP BPE
∠=∠，
PE平分OPB
∠，
OPE BPE
∴∠=∠，
OGP OPE
∴∠=∠，
由平移得//
CD AB，
//
OG FE
∴，
FEP OGP
∴∠=∠，
FEP OPE
∴∠=∠，
CEP CEF FEP
∠=∠+∠，
CEP CEF OPE
∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE
∴∠=∠-∠，
3()
BCD CEP OPE
∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
28．（1）214342k x k
y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
；（2）k ＜﹣52；（3）m 的值为1或2． 【分析】
（1）把k 当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；
（2）将（1）中得,x y 的值代入+x y ＞5 ，即可求出k 的取值范围；
（3）将（1）中得,x y 的值代入23m x y =-得m=7k ﹣5．由于m ＞0，得出7k ﹣5＞0，及
1k ≤得出解集517
＜k ≤ 进而得出m 的值为1或2 【详解】
（1）2x 322x+y=1-k? y k -=-⎧⎨⎩
①② ②+①，得4x ＝2k ﹣1， 即214
k x -= ； ②﹣①，得2y ＝﹣4k +3 即342k y -=
所以原方程组的解为214342k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
（2）方程组的解x 、y 满足x +y ＞5， 所以
2134542
k k --+> ， 整理得﹣6k ＞15， 所以52
k ＜﹣ ； （3）m ＝2x ﹣3y ＝21342342k k --⨯
-⨯ ＝7k ﹣5
由于m 为正整数，所以m ＞0
即7k ﹣5＞0，k ＞
57 所以57
＜k ≤1
当k ＝
67
时，m ＝7k ﹣5＝1； 当k ＝1时，m ＝7k ﹣5＝2．
答：m 的值为1或2．
【点睛】 本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.
29．（1）A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个；（2）购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【解析】
【分析】
（1）设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，根据“购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 种魔方m 个（0＜m ≤50），则购进B 种魔方（100-m ）个，根据图片描述列出两种活动方案需花费的总价格，使得两种价格相等求得m ．
【详解】
解：(1)设A 种魔方的单价为x 元/个，B 种魔方的单价为y 元/个，
根据题意，得
2613034x y x y +=⎧⎨=⎩
解此方程组，得
2015
x y =⎧⎨=⎩ 答：A 种魔方的单价为20元/个，B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个，则购进B 种魔方(100－m)个，
根据题意，得
0.8×20m ＋0.4×15(100－m)＝20m ＋15(100－m －m)，
解此方程，得m ＝45.
答：购进A 种魔方45个时，两种活动费用相同.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、解题的关键是找准等量关系，列出关于x 、y 的二元一次方程组.
30．（1）4；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据代入法，把已知的二元一次方程的解代入方程即可求解a 的值；
（2）利用（1）中的a 值，得到二元一次方程组，代入求解完成表格，然后描点即可.
【详解】
（1）将
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入2x+y=a，解得a=4.
（2）完成表格如下：
x-10123
y6420-2
由图可知，如果过其中任意两点作直线，其他点也在这条直线上．
【点睛】
解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．。