高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 ：既有大小又有方向的量。

记作：AB 或a 。

：向量的大小〔或长度〕，记作：||AB 或||a 。

：长度为1的向量。

假设e 是单位向量，则||1e =。

：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的向量。

：长度和方向都相同的向量。

：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-。

8.三角形法则：
AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=〔指向被减数〕
9.平行四边形法则：
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔。

当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：假设(,)a x y =，则2||a x y =
+，2
2||a a =，2||()a b a b +=+
与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||
a b
a b θ⋅=
⋅
14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型判断正误：
〔1〕假设a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

〔2〕假设ma mb =，则a b =。

〔3〕假设ma na =，则m n =。

〔4〕假设a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。

〔5〕假设||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。

〔6〕假设||||a b a b +=-，则a b ⊥。

4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。

5.已知点C 在线段AB 上，且3
5
AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。

题型3.向量的数乘运算
(1,4),(3,8)a b =-=-，则1
32
a b -= 。

题型4根据图形由已知向量求未知向量
ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，
表示AD 。

ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。

题型5.向量的坐标运算
6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = 。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底
12,e e 是平面内的一组基底，判断以下每组向量是否能构成一组基底：
A.1212e e e e +-和
B.1221326e e e e --和4
C.122133e e e e +-和
D.221e e e -和 题型7.结合三角函数求向量坐标
O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。

题型8.求数量积
||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求〔1〕a b ⋅，〔2〕()a a b ⋅+，
〔3〕1
()2
a b b -
⋅，〔4〕(2)(3)a b a b -⋅+。

题型9.求向量的夹角
3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。

题型10.求向量的模
1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sin θ，假设 =〔2，0〕，﹣=〔1，﹣〕，则|×〔+〕|=〔 〕 A ． 4
B ．
C ． 6
D ． 2
||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求〔1〕||a b +，〔2〕|23|a b -。

||1||2a b ==，，|32|3a b -=，求|3|a b +。

题型11.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||
a e a =±
】 (12,5)a =平行的单位向量是 1
(1,)2
m =-平行的单位向量是 。

题型12.向量的平行与垂直
1.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，〔1〕k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？〔2〕k 为何值时向量ka b +与3a b -平行？
2.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-。

3．假设向量=〔2cos α，﹣1〕，=〔，tan α〕，且∥，则sin α=〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
题型13.三点共线问题
3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 。

(1,3)A -，(8,1)B -，假设点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。

(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？
题型14.判断多边形的形状
1．已知P 为三角形ABC 内部任一点〔不包括边界〕，且满足(﹣
〕•〔
+
﹣2
〕=0，
则△ABC 的形状一定为〔 〕 A ． 等边三角形
B ． 直角三角形
C ． 钝三角形
D ． 等腰三角形
2.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形。

题型15.平面向量的综合应用
1.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，〔1〕假设a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围； 〔2〕假设a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。

2.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ， 〔1〕假设0AB AC ⋅=，求c 的值；〔2〕假设5c =，求sin A 的值。

提高题
1．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是〔〕
A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2．已知点G是△ABC的重心，假设A=，•=3，则||的最小值为〔〕A．B．C．D．2
3．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=〔〕
A．﹣B．C．﹣D．
4．已知函数f〔x〕=sin〔2πx+φ〕的部分图象如下图，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C
的直线与该图象交于D，E两点，则〔〕•的值为〔〕
A．B．C．1D．2
5．已知P为三角形ABC内部任一点〔不包括边界〕，且满足(﹣〕•〔+﹣2〕=0，
则△ABC的形状一定为〔〕
A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形6．如下图，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积
之比等于〔〕
A．B．C．D．7．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的〔〕
A．垂心B．外心C．重心D．内心8．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=〔〕A．B．C．D．〔向量数量积的运算坐标化〕
9．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为〔〕
A．B．C．D．10．已知向量=〔cosθ，sinθ〕和．
〔1〕假设∥，求角θ的集合；
〔2〕假设，且|﹣|=，求的值．
11．已知向量且，函数f〔x〕=2
〔I〕求函数f〔x〕的最小正周期及单调递增区间；
〔II〕假设，分别求tanx及的值．
DBBBDCDAB。