九年级数学下册 专训1 圆的基本性质同步练习 (新版)沪科版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题
专训1：圆的基本性质
名师点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弦、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．
弦、弧之间的关系
1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
(第2题)
2．如图，在⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵
，则下列结论正确的是( )
A ．AB>2CD
B ．AB ＝2CD
C ．AB<2C
D D ．以上都不正确
3．如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等，求证：AD ︵＝BC ︵
.
(第3题)
圆周角、圆心角之间的关系
4．如图，AB ，AC ，BC 都是⊙O 的弦，且∠CAB ＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.
(第4题)
弧、圆周角之间的关系
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．
(第5题)
弦、圆心角之间的关系
6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．
(第6题)
弦、弧、圆心角之间的关系
7．等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．【导学号：31782088】
(第7题)
专训2：垂径定理的四种应用技巧
名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．
巧用垂径定理求点的坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，C D⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．【导学号：31782089】
(第2题)
巧用垂径定理证明
3．如图，在△AOB中，OA＝OB，以点O为圆心的圆交AB于C，D两点．求证：AC＝BD.
(第3题)
巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)
4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2 m ，拱顶高出水面2.4 m ，现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
答案
专训1
1．C 点拨：(1)(2)(3)正确，(4)中弧包括优弧、劣弧和半圆，所以不正确． 2．C
3．证明：∵AB＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.
4．证明：在⊙O 中，∠CAB，∠COB 是CB ︵
所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA .
又∵∠C AB ＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.
5．解：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ADC，∠ABC 是AC ︵
所对的圆周角， ∴∠ADC＝∠ABC＝40°.
6．解：BD ＝DE ＝EC.理由如下：连接OD ，OE. ∵OB＝OD ＝OE ＝OC ，∠B＝∠C＝60°， ∴△BOD 与△COE 都是等边三角形． ∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.∴BD＝DE ＝EC.
点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD ，OE ，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．
7．解：四边形OBDC 是菱形，理由如下： 连接AD ，设AD 与BC 交于P 点， ∵AB＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵.
同理BD ︵＝CD ︵，∴AB ︵＋BD ︵＝AC ︵＋CD ︵，即ABD ︵和ACD ︵
都是半圆．∴AD 为⊙O 的直径，即AD 过圆心O.∵AB＝BC ＝CA ，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.∴∠BOD＝∠COD＝60°.∴OB＝OD ＝BD ，OC ＝CD ＝DO.∴OB＝OC ＝BD ＝CD ，∴四边形OBDC 是菱形．
专训2
(第1题)
1．解：如图，连接CM ，作MN⊥CD 于N ，CH⊥OA 于H. ∵四边形OCDB 为平行四边形， ∴CD＝OB ＝8，CN ＝MH ，CH ＝MN. 又∵MN⊥CD ，∴CN＝DN ＝1
2CD ＝4.
∵OA＝10，∴半圆M 的半径MO ＝MC ＝5. 在Rt △MNC 中，MN ＝CM 2
－CN 2
＝52
－42
＝3. ∴CH＝3，又OH ＝OM －MH ＝5－4＝1. ∴点C 的坐标为(1，3)．
2．解：如图，易知点C 关于MN 的对称点为点D ，
连接AD ，交MN 于点P ，连接PC ，易知此时PA ＋PC 最小且PA ＋PC ＝AD.过点D 作DH⊥AB 于点H ，连接OA ，OC.易知AE ＝4，CF ＝3，由勾股定理易得OE ＝3，OF ＝4，∴DH＝EF ＝7，又AH ＝AE ＋EH ＝4＋3＝7.∴AD＝7 2.即PA ＋PC 的最小值为7 2.
点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度．
(第2题)
(第3题)
3．证明：如图，过点O 作OE⊥CD 于点E ，则CE ＝DE. ∵OA＝OB ，∴AE＝BE. ∵AE－CE ＝BE －DE ， ∴AC＝BD.
4．解：如图，设弧形拱桥AB 所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，ON ，作OD⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．
(第4题)
设OA ＝r m ，则OD ＝OC －DC ＝(r －2.4) m ，AD ＝1
2AB ＝3.6 m .
在Rt △AOD 中，OA 2
＝AD 2
＋OD 2
， 即r 2
＝3.62
＋(r －2.4)2
，解得r ＝3.9.
在Rt △OHN 中，OH ＝ON 2
－NH 2
＝ 3.92
－1.52
＝3.6(m )．
所以FN ＝DH ＝OH －OD ＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m )．因为2.1 m ＞2 m ，所以此货船能顺利通过这座拱桥．。