基于有限元的圆形谐振腔分析

天津工业大学
毕业论文
基于有限元的圆形金属谐振腔的分析
姓名：刘永超
院(系)别：电子与信息工程学院
专业：通信工程
班级：通信094
指导教师：夏靖
2013年 6 月7 日
天津工业大学毕业论文任务书
院长教研室主任指导教师
毕业论文开题报告表
天津工业大学毕业论文进度检查记录
摘要
微波谐振腔其内部的电磁场分布在空间三个坐标方向上都将受到限制，均成驻波分布。

微波谐振腔在微波电路中起着与低频LC振荡回路相同的作用，是一种具有储能和选频特性的谐振器件。

本文主要研究圆形谐振腔的特性参数的计算和仿真，以及谐振腔内部的电磁场分布和变化规律。

研究方法主要是利用有限元分析法，有限元方法是求解偏微分方程的数值方法之一，广泛应用于各种工业领域。

有限元方法是求解电磁场问题的重要工具之一。

仿真所用软件为HFSS，对圆形谐振腔进行仿真，然后与理论结果进行比较。

本文首先介绍了有限元和圆形谐振腔的理论基础知识。

然后用HFSS对圆形金属谐振腔的特性参数和其内部的电磁场分布进行仿真。

仿真结果有：圆形金属谐振腔中各种不同TEM模式的谐振频率、品质因数和收敛性；圆形金属谐振腔内横截面和垂直截面上的电磁场分布与变化；腔体内介质高度对特性参数的影响。

关键词：圆形金属谐振腔；有限元法；HFSS仿真；电磁场
ABSTRACT
Microwave resonant cavity of internal electromagnetic field distribution in space three coordinate direction will be limited, all into standing wave distribution. Microwave resonator in microwave circuits plays and low frequency oscillation loop of the same role LC, and it is one kind of devices which has the energy storage and choose the resonance frequency characteristics. In this paper, we study the properties of the circular cavity parameters calculation and simulation, and the change regularity and the electromagnetic field distribution within the cavity. Research methods mainly using finite element analysis, finite element method (fem) is one of the numerical methods for solving partial differential equations, is widely used in various industrial fields. The finite element method is one of the important tool for solving electromagnetic field problems. Simulation software HFSS, used for circular cavity are simulated, and compared with theoretical results.
Firstly，this paper introduces the finite element theory of circular cavity basics. Then use HFSS to circular metal characteristics of the resonator parameters and its internal distribution of the electromagnetic field simulation. Simulation results are: the circular metal cavity in various different TEM mode's resonant frequency, quality factor and convergence; Circular metal inside the cavity of the electromagnetic field distribution on cross section and vertical section and change;Cavity medium height on the influence of the characteristic parameters in the body.
Key words：Circular metal resonator; finite element method; HFSS simulation;
electromagnetic waves
目录
第一章绪论 (1)
1.1研究背景以及概况 (1)
1.2谐振腔的发展和应用 (2)
1.3本文的主要工作 (3)
第二章有限元分析方法 (4)
2.1有限元方法简介 (4)
2.1.1有限元方法由来 (4)
2.1.2有限元方法基本特点 (4)
2.1.3有限元方法的基本步骤 (5)
2.1.4应用领域 (6)
2.2有限元分析示例 (6)
2.3有限元方程组的求解 (9)
2.3.1确定性问题矩阵方程求解的直接法 (9)
2.3.2确定性问题矩阵方程求解的迭代法 (10)
2.3.3本征值问题的解 (11)
第三章圆形金属谐振腔理论 (12)
3.1引言 (12)
3.2谐振频率f0的概念与计算方法 (13)
3.3品质因数Q0的概念与计算方法 (15)
3.4圆形金属谐振腔 (17)
3.4.1圆形金属谐振腔基本原理 (17)
3.4.2圆柱腔中的三种常用振荡模 (18)
3.5圆形金属谐振腔的激励与耦合 (23)
3.5.1直接耦合 (23)
3.5.2环耦合与探针耦合 (24)
3.5.3孔耦合 (24)
第四章微波谐振腔的仿真 (25)
4.1电磁仿真软件ANSOFT HFSS (25)
4.2圆形金属谐振腔的的仿真步骤 (26)
4.2.1圆柱谐振腔的品质因数和谐振频率仿真 (26)
4.2.2圆柱谐振腔内部电磁场分布仿真 (30)
结束语 (42)
参考文献 (43)
附录 (44)
外文资料 (44)
中文翻译 (47)
谢辞 (49)
第一章绪论
1.1研究背景以及概况
目前，随着移动通信、卫星通信的迅速发展和通讯设备进一步向多功能、便携化、全数字化和高集成化方向发展，极大地推动了电子元器件的小型化、片式化和低成本化，以及其间组合化、功能集成化的发展进程。

滤波器地小型化问题也受到了很大的重视，因为它是实现整机微型化的重要因素。

移动通讯基站接收机的滤波器多采用腔体结构。

由于移动通讯系统的工作频率比较低（大约2GHz），传统金属谐振腔滤波器一般都是体积庞大且笨重。

因此，研制铝、铜等普通材料设计的小型化、微型化腔体滤波器对移动通信有重要意义。

此外，现代通信不但要求微波无缘器件体积更小，而且还希望插损更小，频率选择性更好，寄生频带更远等。

因此，发展小型化、高性能的微波滤波器是当前十分热门的研究课题。

众所周知，无线电通信资源日益紧张，分配到各类通信系统的频率间隔越来越密。

这要求滤波器阻带高衰减以除去干扰：通带内低插损，以降低前端系统对信号的衰减，提高灵敏度；同时保持一个宽的阻带以抑制杂散信号。

因此，滤波器尺寸的缩小同时保证其性能的提高将是未来滤波器研究的方向[1]。

目前，人们主要考虑从以下几个方面来实现滤波器的小型化。

其一是利用高介电常数材料来减小滤波器地体积。

这是由于介电常数越大，波导波长越短。

一般滤波器都是有二分之一或四分之一波长谐振器构成，因此采用高介电常数材料可以有效的减小滤波器的体积。

其二是改变微波谐振器的结构形式。

微波谐振器的结构形式多种多样，通过改变微波谐振器的结构形式，可以在保持较好的滤波特性的前提下减小一定的体积。

其三是采用多层技术来减小滤波器地体积，并为滤波器地设计提供了多层的结构和多维设计空间。

在考虑到传输时的低损耗性和谐振时的稳定性,传统的微波谐振腔一般为基模工作的圆柱腔，其基模或低阶模在低频段有较大的模式间隔。

高阶模式一直是被力图压抑的。

但是，当谐振频率提高，比如从微波波段提升至毫米波段或亚毫米波段，如果依旧使用基模,就会造成腔体的尺寸随频率的提高而变得越来越小，给实际的工程设计和制作带来很多困难。

值得欣慰的是,随着近年来微波器件向高频率和高功率方向的法则，同轴谐振腔及高阶工作模式的理论研究增多，其内涵的部分有点被认识，成为微波器件的重要发展方向之一。

与圆柱腔的基模或低阶模不同.在高频系统中采用同轴腔的高阶模式，可以同时实现高频率和高功率。

一定结构的同轴腔，其高阶模也可以有较大的模式间隔。

对于相同的场幅值波动而言，高次模同轴腔可利用的阴极发射面积比相应矩形腔和圆柱体
基模的阴极发射面积大。

故可以减轻阴极负荷和减小空间电荷密度：对于给定的工作频率，同轴腔体得尺寸和对应模式的阶数可随意调节，以适应不同的频率和功率[2]。

1.2谐振腔的发展和应用
自电磁学开创以来，随着电磁场理论的不断丰富，现代无线技术得到了迅速发展。

在微波和毫米波波段，由于电路和器件具有明显的相位滞后，导致集总参数失效，使用的器件成为传输线、波导、谐振腔等。

其中谐振腔是微波毫米波设备和系统中不可或缺的重要部件。

最初的谐振腔，是由低频LC谐振回路在应用频率不断提高的情况下演变而来[3]，如图1-1所示。

当谐振频率需要提高时，我们可以通过拉大电容板的间距来减小电容C，和减小电感线圈的圈数来减小电感L的方式来实现（如图1-1（b））；并联电感进一步减小电感（如图1-1（c，d））；继续增加并联电感的数目，直至导线之间联成一片，则形成了一个封闭的导体空腔（如图1-1（e））。

这个空腔就是应用于微波毫米波器件中的谐振元件：谐振腔。

它具有以下优点：（1）损耗小。

电磁场全部被封闭在金属壁所限制的空腔内，没有辐射损耗；空腔无需填充介质，没有介质损耗；流过高频电流的金属表面增大了，金属中的热损耗很小。

因而使得微波谐振腔具有很高的品质因数和非常大的谐振阻抗；（2）结构坚固，机械制造方便。

图1-1 谐振回路到微波谐振腔的演变
谐振腔的种类很多，按其结构形式可分为两大类[4]：（1）传输型谐振腔，如矩形谐振腔、圆柱形谐振腔、同轴谐振腔、微带谐振腔和介质谐振腔等；（2）非传输型谐振腔，如电容加载同轴谐振腔、环形谐振腔和球形谐振腔等。

随着微波集成技术和微波单片集成技术的迅猛发展，微波谐振腔在各方面得到了广泛的应用。

在微波毫米波信号的产生方面，谐振腔是整个微波毫米波振荡器必不可少的组成部分。

如反射速调管、磁控管等，都是以谐振腔为基础的振荡器；在微波频率的选择与测量方面，用谐振腔为基本元件可构成各种频率选择电路和滤波器，利用谐振腔做成的各个频段的波长计、回波箱等是众
所周知的测量装置；在传统微波管方面，以谐振腔为核心部件的速调管放大器是当前微波频段大功率高增益的主要器件。

1.3本文的主要工作
本文主要任务是对圆形金属谐振腔内的电磁场进行仿真分析，主要工具是一款电磁仿真软件HFSS。

由于是比较简单的谐振腔结构，大部分的公式都已经通过各类书籍查阅到，因此需要做的就是学习这些公式并应用其对谐振腔内的电磁场进行分析。

本文的内容安排如下：
第一章主要介绍本文的研究背景及概况，谐振腔的发展和应用，介绍本论文的主要工作。

第二章主要介绍有限元分析方法的基本理论和有限元方程组的求解的各种计算方法。

第三章主要介绍简单介绍微波谐振腔的一些基本理论，谐振频率和品质因数等特性参数的计算方法。

金属谐振腔的基本特性以及各种激励。

第四章主要介绍运用HFSS微波仿真软件对圆形金属谐振腔进行仿真，首先介绍关于HFSS仿真软件的一些情况，然后进行仿真，与计算得出的结果进行比较，尝试分析。

最后是总结。

对文中谐振腔的研究进行了总结，并且对文中所存在的问题进行了剖析，同时也对进一步的研究进行了探讨。

第二章有限元分析方法
2.1有限元方法简介
2.1.1有限元方法由来
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术，最早由库伦（Courant）于1943年提出，20世纪50年代应用于飞机的设计，20世纪在60、70年代被引进到电磁场问题的求解中。

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。

有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。

有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。

经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

2.1.2有限元方法基本特点
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。

不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界
条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

2.1.3有限元方法的基本步骤
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。

有限元求解问题的基本步骤通常为[10]：
第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。

显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。

对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。

例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。

总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。

联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。

求解结果是单元结点处状态变量的近似值。

对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。

前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

2.1.4应用领域
随着市场竞争的加剧，产品更新周期愈来愈短，企业对新技术的需求更加迫切，而有限元数值模拟技术是提升产品质量、缩短设计周期、提高产品竞争力的一项有效手段，所以，随着计算机技术和计算方法的发展，有限元法在工程设计和科研领域得到了越来越广泛的重视和应用，已经成为解决复杂工程分析计算问题的有效途径，从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源和科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。

2.2有限元分析示例
下面通过一个简单的一维例子来看看有限元方法的建模过程及该方法的特点[11]。

如图2-1所示为一平板电容器，填充的介质的介电常数为。

假设电场只有Z方向的分量，问题就可以简化为一维问题。

问题的支配方程为：
(2-1)
其边界条件为:
(2-2)
E
0 单元1 7 单元2 10
图2-1 平板电容器问题求解示意图
利用式（2-1）与权函数构成内积，可以给出这里的误差泛函：
（2-3）
如图2-2所示，可以将一维区域离散化为N段（单元），每一小段又有编号为“1”和“2”的两个端点（节点），也称为“本地”序号。

当然，与单元一样，每个节点还有相应的全域序号。

n n
1 2
图2-2 区域离散化示意图
假设在单元内部电位函数按照线性规律变化，也就是对于单元内部的函数进行一阶插值：
(2-4)
特别地，在两个节点x1和x2处令其值分别为V1和V2，则式（2-4）可以重新写为（实际上V1和V2就成为了这一子域上待求的系数）：
(2-5)
其中：
=，，，，l=
这时，在离散化的意义下，泛函式（2-2）可以写为：
（2-6）
其中：k是节点的全域符号；K是所有节点的总数；是第k个节点的子域。

由于节点和单元的关系，可以在单元内选取（i=1,2）作为权函数，再利用一些矢量运算恒等式，可以得到：
（2-7）
式中：n为单元的序号；N为单元总数。

注意到，在离散化子域上有：
（2-8）
（2-9）
在实际问题中，应该是域内无源，所以为零。

在每个单元内，式（2-7）左边可以写成线性表达式：
(2-10)
可以用图2-2所示的例子来进行数值实现。

在图2-2所示的离散化情况下又三个未知数，即对应节点全域序号的V1、V2和V3（而其中的V1和V3又由边界条件给定）。

首先将式（2-10）对应单元1中的线性表达式的值代入到求解全部3个未知数的全域矩阵中：
(2-11)
再将式（2-10）对应单元2中的线性表达式的值带入到求解全部3个未知数的全域矩阵中，构成全域矩阵方程：
=（2-12）
再在式（2-12）中加入边界条件V1=0和V3=100，则得最终的矩阵方程：
（2-13）由此可以很方便的解出，V2 =70。

2.3有限元方程组的求解
在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，我们就面临着求解以节点值为未知数的矩阵方程。

将方程写为：
Ax=b（2-14）
式中，系数矩阵A是一个n n方阵，x是带求解的未知量，b表示已知向量。

为了精确描述电磁场工程中的实际问题，许多应用中的系数矩阵的维数（对应离散剖分的节点未知量个数）非常大。

结果，当利用计算机寻求数值解时，我们遇到庞大的计算机内存需求和过长的计算时间。

有限元离散得到的矩阵总是稀疏的、对称的和带状的。

如果充分利用这些性质，就可以大大节省储存量。

比如说，一般的有限元矩阵每行的非零元素少于15个，如果我们只储存非零元素，由于对称性，我们只需要8个元素，因此，对于一个有10000个未知量的方程，只有大约810000个非零矩阵元素需要储存，加上用于几号所需的两个整型数组，总存储量不到相应满秩矩阵存储空间的1/600除存储量降低外，有限元矩阵的特殊性质也能减少运算时间。

大量的零矩阵元素不需产生，加上适当设计算法，它们在求解过程中的运算也可避免。

因此，这正是矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质，使得有限元方法在分析电大尺寸问题时更加有效。

下面介绍矩阵方程的，在此基础上介绍Ansoft HFSS为在一定精度的要求下最大限度地提高效率而设计的自适应迭代算法。

2.3.1确定性问题矩阵方程求解的直接法
当式（2-14）右端的已知激励向量b不为零时，为确定性方程求解。

也就是利用各种等效方法对矩阵A求逆，其中最适用于有限元方法矩阵的是分解法，Ansoft HFSS采用的就是分解法。

LU分解是最基础的一种方法，很多的快速分解方法都是在其基础发展而来的。

这里首先介绍LU分解方法。

如果矩阵可以分解为：
A=LU（2-15）
其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角形矩阵。

那么，先求解：
Ly=b （2-16）然后求解
Ux=y（2-17）
即可得到式（2-14）的解。

因为L是一个下三角矩阵，y可通过向替代过程而高效地获得：
（2-18）
i(2-19)
然后，x可通过后向替代过程而获得：
（2-20）
i n （2-21）
这种分解算法计算的复杂程度正比于O（）（N为矩阵的维数，也即未知数的数目），也并没有利用有限元带状稀疏阵的性质。

若是利用带状稀疏阵的分解算法，则能够有效地提高运算效率，降低计算复杂程度。

Ansoft HFSS的快速算法计算复杂度就在O（）之下。

2.3.2确定性问题矩阵方程求解的迭代法
矩阵方程的迭代法又可以分为直接迭代法和共轭梯度法，后者现在被认为是求解矩阵方程的有效方法。

运用共轭梯度法求解矩阵方程时，首先给出未知量的一个初始猜测，然后再一定的泛函空间中按照搜索向量进行迭代，直到达到设定精度。

共轭梯度法的计算复杂度正比于O（）。

2.3.3本征值问题的解
当式（2-15）右端的已知激励向量b为零时，为对应腔体谐振和波导分析的本征值方程求解。

一个标准的本征值问题由下式定义：
Ax=λx（2-22）
其中，A是一个n n方阵，x是本征向量，λ表示对应的本征值。

显然，仅当下式成立时，
（2-23）
式（2-15）才能有非零解。

在上式中，I表示单位矩阵。

总的来说，本征值问题的解法很多，也比确定性问题更复杂，有些也是以矩阵分解为基础。

有限元方法得到的一般是广义形式的本征值问题：
（2-24）
很明显，如果把B分解为（其中L是一个下三角形），那么广义本征值问题可以改为标准形式：
（2-25）
Lanczos法是有效求解带状稀疏矩阵的本征值问题的方法。

第三章圆形金属谐振腔理论
3.1引言
谐振标志着“平衡”，是自然界中的普遍现象，也是物质运动存在的一种状态。

微波谐振就是微波能量中的电储能和磁储能之间的平衡。

微波频段的谐振一般利用微波谐振腔来实现，微波谐振腔是用短路面，开路面以及其他措施电磁场约束于一定范围之内的装置。

和低频LC震荡电路中具有明确的储存磁能的电感和储存电能的电容不同，微波谐振腔中点，磁储能的区域是无法截然分开的。

微波谐振腔广泛应用于微波信号源，微波滤波器及微波测量技术中，是一种基本的微波元件，它的结构形式很多，其中一类微波谐振腔是和微波传输线类型相对应的，如矩形微波谐振腔，圆柱微波谐振腔，同轴微波谐振腔，微带谐振腔，介质谐振器等传输线型谐振腔：另外一类是如开腔谐振器等其他非传输线型的谐振腔[5]。

传输线型微波谐振腔是由传输线端接微波路面或者开路面构成的。

从电磁波的角度来看，微波传输线是在横截面上形成驻波，而传输方向上形成行波，微波谐振腔则是在三个方向上均形成驻波。

其次，微波传输线的解可以视为电磁波其次Helmholtz方程在横截面上的二维谐振，而谐振是起在微波谐振腔内的三维本征解，本征值是微波谐振腔的谐振频率。

也就是说，有一系列的谐振频率上的电磁波可以存在于微波谐振腔中，这一些满足相应谐振场型的电磁波为谐振模式。

这和在低频LC谐振电路中，仅由一个电感和电容确定的谐振频率不同。

与低频谐振电路相类似，微波谐振腔也利用固有品质因数Q值来描述储能与损耗的关系，但是，微波谐振腔的Q值因为没有辐射损耗而相对较高。

需要特别指出的是，此时的Q值是和特定的谐振模式相关的，也就是每个具体谐振模式的固有品质因数Q值是不同的。

实际上，完全封闭的，与外界没有耦合的微波谐振腔是没有用处的。

微波谐振腔在考虑输入，输出耦合情况下的解与在封闭情况下的本征解是不同的，但是这种变化可以在本征解的基础上建模分析。

这种变化不仅仅体现在谐振模式的电磁场分布的改变和谐振频率的偏移上，而且实际Q值也分为机械品质因数，外部品质因数和内在品质因数。