2022届山西省太原市高三模拟考试(一)理科数学试卷

太原市2022年高三年级模拟考试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
A
D
A
C
B
C
B
D
B
B
C
二、填空题
13. 4− 14. 22
13
y x −= 15.12 16. ①②④
三、简答题
17. 解：（1）由23n n S a +=
，得1123(2)n n S a n −−+=≥， 两式相减得：120n n n a a a −+−=
，即11
3n n a a −=，………………………………………………..…………….3分 令1n =得11a =，故{}n a 是首项为1公比为13的等比数列，1
13n n a −
=
；………………………………….4分
（2）当1n =时，
1
1
4b a =， 14b =，…………………………………………………………………………….5分 当2n ≥时，
3
1212313(21)n n n
b b b b n a a a a ++++=+− ， 又
13
1121231
13(23)n n n b b b b n a a a a −−−++++=+− ， 两式相减，得
113(21)3(23)34n n n n
n
b n n n a −−=−−−=⋅， 所以4n b n =, 当1n =时14b =也适合，因此4n b n =. …………………………………………………………………….8分
（3）22(1)16(1)n n n
n c b n =−−， ……………………………………………………………………………….9分 设212n n n d c c −=+2216[(2)(21)]16(41)n n n =−−=−，
则212316(21)n n T d d d d n n =++++=+ . …………………………………………………………….12分
18. 解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率2232439
4
32C p C =⋅=（
）. ………………………4分 （2）设甲班能正确回答题目的人数为X ，X 的取值分别为1，2，
P （X=1）= 13241
2C C =， P （X=2）=232412
C C =，………………………………………………………………6分
则E （X ）=113
12222×
+×= ， D （X ）=2
231311
(1)(2)2
2224
−×
+−×=
, …………………………………………………………………8分 乙班能正确回答题目的人数为Y ，Y 的取值分别为0，1，2， ∵Y ～B （2，
34），∴E （Y ）=33242×=， D （Y ）=3132448
××=, ……………………………………..11分 由E （X ）=E （Y ），D （X ）＜D （Y ）知，由甲班代表学校参加大赛更好. ……………………………..12分 19.解：
（1）因为//AB 平面PCD ，AB ⊂平面OPD ，平面OPD 平面PCD PD =，
所以AB PD ， …………………………………………………………………………………….. 2分 又6
AOD π
∠=，所以23
POD π
∠=，……………………………………………………………………. 3分
又1OD OP ==
，所以PD =. ……………………………………………………………………… 5分
（2）由题意知OC ⊥平面POD ，而1
sin 2
DOP S OD OP DOP =⋅⋅⋅∠△， 所以当OD OP ⊥时，三棱锥P COD −的体积最大. ………………..6分 解法一 易知,,OC OD OP 两两垂直，
以O 为坐标原点，,,OC OD OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz −， 则(1,0,0)C ，(0,0,1)D ，(0,1,0)P ，(1,1,0)PC =− ，(0,1,1)DP =−
. ………………………………7分 设平面PDC 的法向量为1(,,)x y z =n ，
则110,0,PC DP ⋅=
⋅=
n n
取1y =，得平面DPC 的一个法向量为1(1,1,1)=n . ……………………………………9分
z
y
x
易知平面POD 的一个法向量为2(1,0,0)=n ， …………………………………………10分
设二面角O PC D −−的平面角为θ
，则
12
12
cos θ⋅==n n n n ， 由题图知，二面角O PD C −−的平面角为锐角， 所以二面角O PC D −−
. …………………………………………………………………12分 解法二 如图所示，取PD 的中点M ，连接,OM CM . 因为OD OP =，CD CP =，所以OM PD ⊥，CM PD ⊥， 即OMC ∠为所求二面角的平面角. 在等腰Rt OPD △
中可得OM =
，而1OC =
，tan OMC ∴∠
，cos OMC ∠，
故二面角O PD C −−
.
20. 解：（1）设直线AB 的方程为4x my =+，它与抛物线的两个交点为A ()11,x y 和B ()22,x y ， 联立直线与抛物线方程24,2,
x my y px =+
= 消去x 得：2280y pmy p −−=，
122y y pm ∴+= ，① 128y y p =− ， ② ……………………………………………2分 OA OB ⊥ ，1OA OB k k =− ，12120x x y y +=
即， 2
12122
()04y y y y p
∴+=， 1680p −=，2p ∴=， ………………………………………………………..5分 抛物线方程为24y x =. ……………………………………………………………………………….…..6分 （2）设点,,,A B C D 的纵坐标依次为1234,,,y y y y ，设直线AF 的方程为1x ny =+， 联立方程21,4,
x ny y x =
+ = 消去x 得：2440y ny −−=，
134y y ∴=− ， …………………………………………………………………………8分
同理244y y =−， …………………………………………………………………………9分
M
由（1）中②可知：1216y y =−， 341y y ∴=−，…………………………………………………...............10分 1
21||||sin ||||21sin 2
AF BF AFB S AF BF S CF DF CF DF CFD ∠∠∴=1243y y y y =16=，即12S S 为定值16. …………………...............12分 21．解:（1）函数()1x f x xe x =−−的定义域是R ，
()(1)1x f x x e +′=−，…………………..………1分 令()(1)1x
g x x e =+−， []1,1x ∈− ，则
()(2)0x g x x e +′=>．∴()f x ′在[]1,1−上单调递增．又0x =时，()0f x ′=， ∴在[)1,0−上，()0f x ′<，()f x 单调递减；在[]0,1上，()0,()f x f x >′单调递增，…………………3分
又1(1)f e
−=−，(1)2f e =−，(0)1f =−， ∴函数()f x 在区间[]1,1−上的最小值为1−，最大值为2e −． …………………………………………5分
（2）解法一：
由()ln 2f x x m =+−，得ln 1x xe x x m −−+=，0x >，
令()ln 1x g x xe x x =−−+，则1(1)(1)()1x x x
x x xe g x e xe x +−′−−=+=，……………………………6分 令()1,()(1)0x x m x xe m x x e ′
=
−=+>则，则()m x 在(0,)+∞上单调递增， ………………7分 且110,(1)102m m e =−<=−> ， ∴存在01,12x
∈ ，使得()00m x =，即00
1x e x =，从而00ln x x =−， ∴当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0g x ′<，则()g x 单调递减；
当()0,x x ∈+∞时．()0m x >，即()0g x ′>，则()g x 单调递增．
∴()0min 00000000
1()ln 112x g x g x x e x x x x x x −−+⋅−++， ………………9分 又易知，当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞.
∴当2m <时，方程()ln 2f x x m =+−没有实根；
当2m =时，方程()ln 2f x x m =+−有1个实根；
当2m >时，方程()ln 2f x x m =+−有2个实根． …………………………………………………..12分
22.解：（1）因为P
的极坐标为3)4π
，所以324x π==−，324
y π=， 所以P 的直角坐标为(2,2)−； ……………………………………………………..2分
由2cos 24sin 30ρθρθ+−=
，得2222cos sin 4sin 30ρθρθρθ−+−=， 所以22430x y y −+−=
， 即22(2)1y x −−=. ……………………………………………………..5分 （2）将325x t =−+，425
y t =+代入22(2)1y x −−=，得 271250255
t t +−=， ……………………………………………………..7分 12607
t t +=−， ……………………………………………………..8分 P 坐标为(2,2)−，点M 对应参数值为123027
t t +=− , ∴点P 到线段AB 中点M 距离为307
. ……………………………………………………..10分
23.解： (1) 由()1f x ≥−，得
(1)(21)1,(1)(21)1,(1)(21)1,111,,1,22x x x x x x x x x −−+−≥−−−−−≥− −−−≥− ≥<≤<
或或 解得 1111,122
x x x −≤<≤<=,或或， ……………………………………………………..…………………………………………..3分 即11x −≤≤， …………………………………………………………………………………..…………………………………………..4分 故满足不等式()1f x ≥−的最大整数1a = . ……………………………………………………..5分
(2)由(1)知,1,()x y ∈+∞,
又因为4x y +=，设1m x =−，1n y =−，因此,m n R +∈且2m n +=
, 22
11x y z x y =+−−22(1)(1)n m m n
+++22(3)(3)m n m n −−+9966m n m n =−++−+ 119()10m n
=+−8≥， ………………………………….9分 当且仅当m n =即当且仅当x y =时等号成立，所以z 的最小值为8. ………………………………….10分
（注：其他正确解法相应付分）。