2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测文科数学试题(解析版)

2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测文科数学试题（解析
版）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,,故选.
2. 复数( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,故选C.
3. 若满足，则的最大值为( )
A. 1
B. 3
C. 9
D. 12
【答案】C
【解析】根据不等式组画出可行域如图所示：
联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线
在轴上的截距最大，此时，有最大值为.
故选C.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解
对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4. 已知，则( )
A. -6
B. 6
C.
D.
【答案】A
【解析】原式.故选A.
5. 已知等差数列中，,则( )
A. 3
B. 7
C. 13
D. 15
【答案】D
【解析】由于数列为等差数列,依题意得.解得,所以.
6. 执行下面的程序框图，则输出的=( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得程序的作用是求和
.
故选C.
7. 已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若，则
D. 若，则与所成的角和与所成的角相等
【答案】B
【解析】B选项错误.如下图所示,平面,平面与平面相交于,但是与不平行.故选B.
8. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实
二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为
∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为
设“勾”为，“股”为，则，解得或.
∵
∴，即.
∴
∴小正方形的边长为
∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为.
故选D.
9. 已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】依题意得,由于三角形为等腰直角三角形,则
,,两边除以得,解得.故选B.
10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥,可以看作正方体的一个角.故其外接球直径为正方体的对角线,即
,所以外接球的体积为,故选C.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积与体积有关的知识.在求有关几何体外接球有关的题目中,有一种类型是将几何体补形成长方体或者正方体的题目.如本题中,几何体为三棱锥,恰好是正方体的一个角,故三棱锥的外接球,恰好为正方体的外接球.再结合正方体对角线的求法求得外接球的直径,进而求得外接球的表面积.
11. 下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：
其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )
①寿命在300-400的频数是90；
②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；
③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：
④寿命超过的频率为0.3
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
【答案】B
【解析】若①正确，则对应的频率为，则对应的频率为，则②错误；电子元件的平均寿命为，则③正确；寿命超过的频率为
，则④正确，故不符合题意；
若②正确，则对应的频率为，则①错误；电子元件的平均寿命为
，则③错误；寿命超过的频率为，则④错误，故符合题意.
故选B.
12. 设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时,,且为增函数.同理当时,,所以函数为偶函数.故函数关
于轴对称,且左减右增.要使,则需,两边平方化简得,解得,故选A.
【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查利用函数的奇偶性解不等式.得到一个函数,要首先研究函数的定义域,接着研究函数的奇偶性及单调性等等知识.通过观察可发现函数符合偶函数的定义,即
.通过定义验证可知,函数为偶函数,根据图象的对称性列不等式可求得的取值范围.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数，这个函数的图象在处的切线方程为__________．
【答案】.
【解析】切点为,,即斜率为,由点斜式得.
14. 已知，若，则的最大值为__________．
【答案】0.
【解析】..
15. 已知数列的前项和为，若，则__________．
【答案】.
【解析】当时,,解得.当时,,两式相减得,即
,数列是公比为的等比数列,故.当时上式也满足,故.
16. 已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则的横坐标为
__________．
【答案】.
【解析】抛物线焦点为,设,由两点间距离公式得,解得. 【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质,考查两点间的距离公式,对方程的求解需要一定的运算能力.首先根据抛物线的标准方程,写出抛物线的交点坐标.其次设出抛物线上一点的坐标,在设点的坐标的时候,考虑
到是二次的,故设其纵坐标,横坐标用纵坐标来表示,然后根据两点间的距离公式列方程,求得点的横坐标.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知.
(Ⅰ)求的值域；
(Ⅱ)若为的中线，已知，求的长.
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
【解析】【试题分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式,将函数化简为,求得的取值范围,进而求得函数的最大值与最小值,即可求得函数的值域.(2)由(1)求得,利用余弦定理求得
,根据勾股定理的逆定理可判断出三角形为直角三角形.由此求得的长.
【试题解析】
（Ⅰ），
化简得.
因为，所以，
当时，取得最大值1，
当或时，取得最小值，
所以，,
所以的值域为.
（Ⅱ）因为，，
由（Ⅰ）知，,
又因为，
根据余弦定理得，
所以.
因为,所以为直角三角形, 为直角.
故在中，,
所以.
18. 为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:
平均每天使用手机小时平均每天使用手机
(I)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的7名女生中，有4人使用国产手机，从这7名女生中任意选取2人，求至少有1人使用国产手机的概率；
(II) 根据列联表，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关（的观测值精确到0.01）.
附：
参考公式：
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
【解析】【试题分析】(I)利用列举法列举出所有的基本事件,共有种,其中符合题意的有种,故概率为
.(II)计算,所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
【试题解析】
（Ⅰ）设名女生中，使用国产手机的4人分别为，使用非国产手机的3人为.从7人中任选2人，共有21种情况，分别是,，
,,,,.
其中，事件“至少有1人使用国产手机”包含18种情况，
所以，
答:至少有1人使用国产手机的概率.
（Ⅱ）由列联表得：．
由于，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
19. 如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
【答案】（Ⅰ）证明见解析.
（Ⅱ）1.
【解析】【试题分析】(I)利用勾股定理,证明,根据面面垂直的性质定理可得平面,进而.(II)取中点，连接.面面垂直的性质定理可得平面,即是三棱锥的高.
利用等体积法解方程求得点到平面的距离.
【试题解析】
（Ⅰ）证明：由题意可知，，
,，
所以，在△中，，所以；
因为平面平面且是交线，平面
所以平面，
因为平面，所以
（Ⅱ）
解：取中点，连接.
因为且为中点，所以.
因为面，面面，是交线，
所以平面,
故长即为点到平面的距离，
算得.
由（Ⅰ）可知，,是直角三角形,
，所以.
.
设点到平面的距离为，
因为,
所以,解得，
故点到平面的距离为.
20. 已知椭圆的焦距为，且过点. (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设分别是椭圆的下顶点和上顶点，是椭圆上异于的任意一点，过点作轴于为线段的中点，直线与直线交于点为线段的中点，为坐标原点，求证：
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）证明见解析.
【解析】【试题分析】(I)依题意可知,将点代入椭圆方程,结合,解出的值,即求得椭
圆的方程.(II)设，，则，．将的坐标代入椭圆方程,求得的关系式.利用点斜式写出直线的方程,由此求得点的坐标,利用中点坐标求得点的坐标.代入,由此证得
.
【试题解析】
（Ⅰ）由题设知焦距为，所以.
又因为椭圆过点，所以代入椭圆方程得
因为，解得，
故所求椭圆的方程是．
（Ⅱ）设，，则，．
因为点在椭圆上，所以．即．
又，所以直线的方程为．
令，得，所以．
又，为线段的中点，所以．
所以，．
因
页 11第
，
所以
,即
．
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和圆锥曲线的位置关系,考查利用向量的数量积证明两条直线垂直的方法.要求椭圆的标准方程,即求得的值,需要两个条件,题目给定椭圆的焦距和椭圆上一
点的坐标,由此可以建立方程,解,联立方程组可求得的值.
21. 已知函数的.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)比较
与
的大小，并证明. 【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是和
，单调递减区间是
.
（Ⅱ）
，证明见解析.
【解析】【试题分析】(I)对函数求导得,由此可得函数单调递增区间是
和
，
单调递减区间是
.(II)构造函数
,利用导数求得函数的最小值为正数,
由此证得
.
【试题解析】 （Ⅰ）由
可得，
，
令，得，， 令，得或，
令，得
.
故
的单调递增区间是
和，单调递减区间是.
（Ⅱ）.
证明如下： 设
，
则.
显然为增函数， 因为
，
， 所以存在唯一的使得. 当时，,当
时，
.
所以
在
处取得最小值，且
.
又，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数证明不等式.第一问求函数的单调区间,首先求得函数的解析式和定义域,然后对函数求导,对导函数因式分解,由此求得函数的单调区间.要证明函数不等式,可先将函数函数化为一边为零,利用导数求得另一边的最小值为正数,由此证得不等式成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆
的方程为
，直线的极坐标方程为.
(I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;
(Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.
【答案】（Ⅰ）的极坐标方程为；
的平面直角坐标系方程为；
（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，，即可得到的极坐标方程和的平面直角坐标
方程；（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得，，
即可求出
的面积.
试题解析：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，
∵圆的普通方程为，
∴把代入方程得，，
∴的极坐标方程为，的平面直角坐标方程为；
（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得；，. ∴的面积为
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∴的面积为.
23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）当时,不等式
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式的解集；（Ⅱ
）当
时，
，设
，求出
在
上的最大值，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，需解不等式.
当时，上式化为，解得；
当时，上式化为，无解； 当时，①式化为，解得.
∴
的解集为
或.
（Ⅱ）当时，，则当
，恒成立. 设，则在上的最大值为.
∴
，即
，得
.
∴实数的取值范围为.。